7.4 范数的应用 2在线视频

下面我们来讲，

范数的第二个应用，就是矩阵序列。

这节包括的内容有：矩阵序列的极限；

矩阵的谱半径以及收敛矩阵。

我们先来给出，矩阵序列的极限的定义：

给出一个矩阵序列，序列中

每一个矩阵，相同位置上的数

会构成一个数列。

比如说，第 i 行第 j 列上，

每个矩阵上的数，构成了这样的一个数列。

所以，给了一个矩阵序列，

我们就会有 m 乘以 n 个数列。

如果，所有的这 m 乘 n 个数列，都收敛

我们就称，这个矩阵序列是收敛的。

而这个矩阵序列的极限

就是，它所对应每个位置上的数列的极限

所排成的矩阵。

所以我们看到，我们的矩阵序列

相当于 m 乘以 n 个数列。

当这 m 乘 n 个数列都收敛的时候，

我们的矩阵序列也就收敛了；

如果这 m 乘 n 个数列中，有一个数列不收敛，

那我们的矩阵序列就不收敛，是发散的。

我们下面给出，一个关于矩阵极限的定理：

一个矩阵序列收敛，

也就是，矩阵数列Ak有极限

A，它的充分必要条件是，矩阵序列中，

矩阵Ak减掉A的范数，

当 k 趋近无穷的时候，极限是零。

大家注意，这个定理的意义在于

我们在矩阵序列收敛的原始定义中，

需要检验 m 乘以 n 个数列的收敛，

但是这个定理告诉我们，

我们只需要，检验一个数列的收敛，就可以

判断序列的收敛性。

作为推论，

我们有以下的简单结论：

如果，矩阵序列Ak收敛到A

那么，矩阵序列每个矩阵的范数，它也有极限。

这个极限就是A的范数。

但是这个命题的逆命题是不成立的，

比如说，如下的例子

给出的矩阵序列Ak，

它并不收敛，

虽然这个序列中，

每个矩阵，它的范数是个常数。

我们下面来看一些，矩阵序列收敛的性质。

假设Ak序列，它有极限A。

而Bk序列，它有极限B。

第一个性质说的是，

矩阵序列线性组合的极限

等于极限的线性组合；

第二个性质说的是，乘积序列的极限

等于极限的乘积；

第三个性质说的是，

对于一个给定的，一个收敛矩阵序列

左乘或右乘

矩阵，所得到的新的序列，的极限

就等于原来序列极限

左乘和右乘相同的矩阵。

这三个性质的证明，其实很简单

就是因为我们矩阵的运算，

实际上就是，数的加法和乘法

而我们知道，数列的极限

与数的加法和乘法是可以交换顺序的，

所以我们得到矩阵运算

与取极限也是可以交换顺序。

下面第四条性质说的是，

如果我们有一个矩阵序列，

Ak收敛到矩阵A，

而且这个序列中的每个矩阵，都可逆。

而且它的极限A，也可逆。

这时候我们可以得到结论就是

这个序列中，每个矩阵的逆

所构成的矩阵序列，也是收敛的。

它收敛到了，原来极限A的逆矩阵。

大家注意

我们这个定理中，有一些可逆的条件。

就是，要求我们序列中每个矩阵都要可逆，

而且它的极限A，也要可逆。

这些条件是不可以缺少。

比如下面的例子

下面的矩阵序列Ak,

它收敛到如下的矩阵A，

但是矩阵A不可逆。

虽然，我们序列中的每个矩阵都可逆，

但是，它的逆矩阵序列是发散。

接下来我们来说，这一节的第二个问题

矩阵的谱半径。

我们先来给出，谱半径的定义

给出一个 n 阶方阵A，

它所有的特征值为，λ1，λ2到λn.

对所有特征值，取绝对值

我们选取这个最大的绝对值，

就定义为，这个方阵A的谱半径。

记为 ρ（A）。

所以，谱半径就是

所有特征值中，最大的绝对值。

谱半径具有下面的一些性质：

第一，

矩阵A的 k 次方，

它的谱半径等于，矩阵A的谱半径的 k 次方;

第二，矩阵A的2范数

等于，矩阵A的共轭转置乘上矩阵A，

这个矩阵的谱半径开根号。

也等于，矩阵A乘上它的共轭转置

AH，它的谱半径再开根号。

第三个性质是，

如果方阵A是一个Hermite矩阵

或者是实对称矩阵

那它的方阵的2范数

就等于这个方阵的谱半径.。

下面我们要说的是

谱半径与矩阵范数之间的关系，

包括两个不等式。

我们先来说定理1：

给定 n 阶方阵A，和任意一个矩阵范数，

我们知道，A的矩阵范数

总是大于等于谱半径的。

定理2与定理1刚好相反：

给了 n 阶方阵A，

和任意一个很小的数，ε 大于0

我们总能找到一个矩阵范数，

使得A的矩阵范数，是小于等于A的谱半径

加上这个很小的数ε。

我们定理1说的意思就是

矩阵A的谱半径，是小于等于

它所有的矩阵范数；

定理二所说的是，

虽然它的谱半径小于等于所有的矩阵范数，

但是，我们可以找到A的矩阵范数，

使得这个矩阵范数，跟它的谱半径

可以任意的接近。

接下来，我们来看一下，这两个定理的证明。

定理一的证明很简单，

就是，对任意一个矩阵A的特征值，

我们取它的一个非零的特征向量 x，

我们得到了，A乘上x等于λ乘上x。

然后再取任何一个矩阵范数，

并取一个与之相融的向量范数。

我们两边应用这个向量范数，

这时候我们就可以得到，特征值的绝对值

总是小于等于这个向量范数。

所以，我们方阵A的谱半径，

也就小于等于任何一个方阵范数。

对于定理二的证明，

我们是要找一个矩阵范数，

使得它，和方阵A的谱半径十分接近。

我们所要找的过程就是

先对A，求出它的Jordan 标准型。

然后用下面的w矩阵，

对它继续做相似。

最终我们发现，我们所要找的矩阵范数，

就是，方阵A在一系列相似之后的无穷范数。

我们来说明一下，上面的两个定理。

谱半径，在矩阵分析中具有很重要的作用。

但是，它在计算过程中会十分麻烦。

所以，在平时应用之中

我们往往是用矩阵范数，

来作为谱半径的近似。

比如，下面这个例子

我们给定了方阵A

想要估计它的谱半径。

我们所做的就是，计算方阵A

常用的一些方阵范数，如下。

所以，在计算了这些方阵范数之后，

我们知道，方阵A的特征值

是小于等于所有这些矩阵范数的。

所以，我们给出的方阵A的特征值估计就是

λ绝对值，小于等于零点四。

但是这个方阵A

它实际的特征值，就是

零和正负零点四乘上i。

所以，我们的这个例子中

利用方阵范数，来估计特征值，是非常准确的。

但通常情况下，

我们利用方阵范数，所给出了特征值

实际上会比较保守的。

接下来，我们来看我们的第三个问题，

就是收敛矩阵。 先看收敛矩阵的定义：

给了一个 n 阶方阵A，

如果，矩阵序列A的 k 次方,

当 k 趋近无穷的时候，

它的极限是零，

我们就称，这个矩阵A是收敛矩阵。

收敛矩阵，

我们还有另一个等价的说法：

就是一个矩阵A

它是收敛矩阵的充分必要条件

就是A的谱半径小于1。

但是我们更常用的，是下面的推论：

对于任何一个矩阵A，

如果，我们能找到一个矩阵范数，

使得A的范数小于1，

我们就可以说，这个矩阵A就是收敛矩阵。

这是我们最常用的，判断

矩阵是收敛矩阵的方法，

而不是用谱半径。

接下来我们来说一下，

收敛矩阵的简单应用，

就是用迭代法来解线性方程组：

假如我们有一个线性方程组，

是Ax等于b.

它有精确解，叫做x*。

我们就是，要对这个方程组

先做一个等价变换，

把方程组变成了，x等于，Bx加d。

所谓的等价的意思，就是

把x*带入新的方程组，

它仍然是新的方程组的解。

如果，我们的等价变换中的矩阵B

是收敛矩阵，

我们可以构造，如下的迭代格式：

就是，xk加1，等于bxk加上d。

这样的话，

我们任取一个初始向量x0，

可以利用上面的迭代格式，

得到一系列的向量xk。

由于我们的矩阵B， 是收敛矩阵，

所以很容易就可以知道，

我们的向量序列xk，

它是收敛到，真实的解x*的.

所以，这就是我们的迭代法的原理。

我们通常用的迭代法

就是所谓的Jacobi迭代法

它的迭代格式如下所示。