8.2 矩阵函数计算 1在线视频

我们下面来介绍，矩阵函数的计算方法。

我们定义的矩阵函数，是一个矩阵的级数。

如何来计算这个级数的和函数，

也就是如何来计算矩阵函数的函数值？

我们有以下的四个方法，

有简单到一般。

第一个方法，是利用H-C定理；

第二个方法，是对于可对角化的矩阵，

来求矩阵函数；

第三个方法，是Jordan标准型，

来求矩阵函数；

第四个方法，是用待定系数法

或者叫做有限级数表示法，来求解矩阵函数。

我们下面来介绍第一个方法。

第一个方法，就是利用H-C定理。

也就是，

Hamilton-Cayley定理。

我们来回忆一下

Hamilton-Cayley定理。

所说的内容就是，对于任何一个方阵A，

它的特征多项式零化这个方阵。

也就是，把方阵A带到它的特征多项式之后，

我们所得到的是零矩阵。

接下来，我们来看一下

我们的HC定理方法的原理：

由于特征多项式零化方阵A，

也就是，把A带到特征多项式φ里面，

φ(A)应该等于零矩阵。

这样的一个关系式，给出了我们方阵A

方幂之间的一个关系。

我们可以利用这样的一个关系

来化简矩阵级数，

把它变成有限多项。

但是，每项前面的系数，会变成一个数项级数。

所以我们就计算数项级数，

来得到矩阵函数的函数值。

我们来看一个具体的例子，

下面给定一个2乘2的方阵A，

我们要求它对应的矩阵函数。

比如说，e的A次方，或者是e的At次方等。

我们利用的方法，是H-C定理。

先来求方阵A的特征多项式，

我们发现，它的特征多项式非常简单，

就是λ平方加1。

根据H-C定理，

把方阵A带如特征多项式之后，

我们得到的是零矩阵。

也就是，A平方加上单位矩阵等于零。

所以，我们所得到的关系就是

A的平方应该等于负的单位矩阵。

进一步的我们会看到，

对于方阵A，

它的偶数次方，就等于正的单位矩阵，

或者是负的单位矩阵；

而方阵A的奇数次方，就等于A或者负A。

所以，对于任何一个A的幂级数，

它本质上只有两项。

一项是A，另一项是单位矩阵。

通过合并同类项，

这时候，矩阵的幂级数就会变成两项的和。

而每一项前面的系数都是一个数项级数。

我们只需要对数项级数求和就可以。

比如说，e的A次方。 根据定义，

实际上，我们是把指数函数，E的 x 次方

展成幂级数，

然后把方阵A带入幂级数，

得到方阵A的幂级数。

根据我们刚才所说的，A方阵的特点

A的偶数次方是正负单位矩阵，

而A的奇数次方是正负A。

所以，我们把A的方幂

全都换成对应的单位矩阵，

或者A。我们所得到的方阵A的幂级数，

现在只有两项。

一项是单位矩阵，

另一项是A。

但是这两项前面的系数是两个数项级数，

我们把这两个数项级数求和，

就得到了，我们的矩阵幂级数

所对应的矩阵函数的函数值。

所以，大家可以看到，H-C定理

就是把复杂的矩阵幂级数求和，

变成了简单一些的数项幂级数求和。

对于其他的矩阵函数，

e的At次方等等，

我们都可以利用相同的办法来处理。

所以这是我们的第一个方法，

下面我们来看第二个方法，

给定的方阵A，是可以对角化的矩阵。

我们的这个方法的原理是，对于对角矩阵，

它所对应的函数，函数值很好求。

我们下面来简单看一下，

假如说，我们现在有一个对角矩阵λ，

现在要求，它所对应的矩阵函数的函数值。

叫做 f(λ)。

我们发现，根据定义，很容易可以看出，

对于对角阵λ，它所对应的矩阵函数

F的函数值。

实际上就是，把对角矩阵

对角线上的数取函数值。

所以，我们看到对角矩阵

它所对应的矩阵函数很好求。

这种情况就是，增加了参数 t，

我们现在要求的是， 对角矩阵λ乘上 t，

所对应的矩阵函数的函数值。

经过简单的计算，

我们发现， 这个函数值实际上就是，

对于λ主对角线上的每一个数λi，

把它乘上 t 之后，带入我们的函数。

所以，我们的带有参数 t 的矩阵函数，

对角矩阵的函数值，

实际上就是，对角线上的每个数

乘上参数 t 之后，取函数值。

所以通过上面的情况，

我们发现，对于对角矩阵

它的矩阵函数很好求。

无论是，这个函数不包含参数T，

那也就是，它的对角矩阵的函数

也就是，对角线上的每个数取函数值；

如果我们的函数包含参数T，那对角矩阵

它的函数值，也就是对角线上的数

乘上T之后，再取函数值。

我们下面有一些简单的例子：

比如说，λ是这样一个对角阵，

我们要求它所对应的矩阵函数。

如果不带参数T的话，

我们实际上就是，对对角线上

这些数，来取对应的数的函数值；

如果还有参数T的话，

我们就是，对这些对角线上的数，

乘上参数T之后，再取函数值。

我们发现，对角矩阵的矩阵函数值，很好求。

下面我们来看一下

对于可对角化的矩阵，

它的函数值应该怎么求？

假如说，方阵A是一个可对角化的矩阵。

我们先把它对角化，

也就是，找一个可逆矩阵P。

也就是，我们所说的相似变换矩阵。

使得P的逆，乘上A，乘上P，等于对角阵，

这就是A的对角化。

由此我们知道

方阵A等于，P乘上对角矩阵λ，乘上P的逆。

在不含参数的情况下，

我们可以看到，方阵A的函数值

就等于，相似变换矩阵

P，乘上A所对应的对角矩阵λ的函数值，

再乘上相似变换矩阵P的逆。

如果含有参数T的情况，

那方阵A乘上T，的函数值

实际上就等于，相似变换矩阵

P，乘上λ矩阵带有参数T的函数值，

再乘上变换矩阵P的逆。

所以我们可以看到，如果矩阵可以对角化，

它所对应的矩阵函数值

实际上是，它所对应的对角矩阵的函数值，

左右分别乘上相似变换矩阵P和它的逆。

所以我们知道，对于可对角化的矩阵，

它的函数值很好求。

下面我们来看一个具体例子，

对于这样的一个方阵A，

我们想要求，如下的矩阵函数。

我们要做的第一个事情，

就是把方阵A对角化。

我们需要求，它所对应的特征值，

以及每个特征值

所对应的，线性无关的特征向量。

我们得到了这些向量，分别叫p1p2p3。

然后，把这些线性无关的特征向量，作为列

我们得到了，相似变换矩阵的P。

这时候我们也就有了，方阵A的对角化。

也就是P的逆，乘上A，乘上P，

等于如下的对角阵。

根据我们刚才所说的原理，

这时候我们就知道

方阵A所对应的矩阵函数，

实际上就是，它对角化

所得到的对角矩阵，的方阵函数，

左右分别乘上，P和P的逆。

这就是我们所说的第二个方法。