8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题在线视频

作为矩阵函数的另一个应用，我们来解一下

一阶常系数的微分方程组。

这就是一个，一阶常系数微分方程组的形式。

我们可以先把这个微分方程组，

写成矩阵的样子。

也就是，

dx/dt=Ax+f(t).

其中,

A是系数矩阵,

也就是方程组中,

未知函数xi的系数，构成的矩阵。

X是变量所形成的列，

它是我们要求的未知函数。

而dx/dt，

是这些变量关于t的导数，所构成的列。

而f(t),

是所谓的，已知函数向量。

也就是常数向量，

它的每个元素，都是t的函数。

我们要考虑的具体问题，

是一阶常系数微分方程组的初值问题。

也就是，给定一阶常系数微分方程组

和一个初始条件，

就是当t等于t0的时候，

我们的x，取值向量x0。

下面我们来解释一下，为什么上面

大家看到的方程组，

叫做一阶常系数

微分线性方程组？

所谓的一阶的意思就是，未知函数关于

变量t的导数，都是

一阶导数。

常系数，

它的意思就是

我们未知变量xi，

它的系数都是常数。

所以我们的系数矩阵A，是个常数矩阵。

x(t),

是 n 维的未知函数向量。

线性的意思就是，

每个函数xi(t),

和它关于t的导数，都是一次方的。

f(t) 是n维的，已知函数向量。

如果f(t) 恒等于0，

我们称，这个微分方程组是齐次的。

否则的话，

我们称，方程组是非齐次的。

x0是初始向量

在介绍我们所关心的一阶常系数

线性微分方程组之后，

我们来看一下，

如何来利用矩阵函数求解。

它的求解思路，

首先我们把方程，改写成下面这个样子。

也就是，把等号右边的Ax，挪到左边，

然后在两边，同时乘上e的负At次方。

经过整理，发现这时候，

等式的左边，

可以凑成，e的负At次方的，关于t的导数.。

所以这时候，两边我们在t0到t上

进行积分。

我们就得到了，

关于未知函数x(t) 的解,

这就是我们的求解公式。

大家可以看到，求解公式里面，

主要的事情就是，要求解e的At次方。

这个矩阵函数，

而在公式中，还有一个

关于矩阵函数的积分，

其中有一项是，e的负At次方.

如何求e的负At次方呢？

我们只需要把，e的At次方，它其中所有的t，

都换成负t。

这样就得到了，积分中的e的负At次方.

下面是我们求解公式的两个特殊情况:

第一,

我们的已知函数恒等于零,

也就是方程组是齐次的。

这时候，它的解有以下的简单形式。

第二个特殊情况，

我们的初始时刻t0，

是0的时候。

我们的求解公式，是下面这个样。

如果把初始时刻的向量，

换成任意一个列向量c的话，

我们所得到的是，

这个一阶常系数线性非齐次的

微分方程组的通解。

特别的是，

当常数列，恒等于零的时候，

我们得到的是

齐次的微分方程组的通解。

所以我们很容易可以看到，非齐次

线性方程组的通解，实际上是它的一个特解，

加上它所对应的齐次

线性方程组的通解。

下面我们用一个具体例子，来看一下

如何用矩阵函数e的At次方来求解,

一阶常系数的线性微分方程组。

我们有如下的线性微分方程组，

我们要求它的初值问题。

第一步，我们先把这个微分方程组

写成矩阵形式。

其中A是如下的矩阵,

而 f(t) 是我们已知函数的列。

初值x0，

由下面这个列向量给出。

接下来，先计算e的At次方，这个矩阵函数。

这个过程就是，我们以前所说的，

先来计算矩阵a的特征值；

然后利用待定系数法，假设出

带余除法中的余式；

根据我们以前，矩阵函数的理论，

我们可以得到未知待定系数的，如下的方程。

求解方程，可以得到这些未知的系数，

然后把它带入到，我们所要求的矩阵方程中，

我们得到了e的at次方.

对于公式中,e的负At次方的积分,

我们只需要，把刚刚求出的e的At次方中,

所有的t，都换成负t。

这样就得到了，e的负At次方。

接下来，我们依次来计算，

e的At次方，乘以x0。

和e的负At次方，乘上常数序列f(t)，

在制定区间上的积分。

得到积分之后，

我们再把它乘上，e的At次方,

最后把所得到的结果代入公式,

我们就求得了,

我们所要求的，一阶常系数

线性微分方程组的解x(t)。