当前课程知识点:矩阵论及其应用 > 第八单元 矩阵分析 > 8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题 > 8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
作为矩阵函数的另一个应用,我们来解一下
一阶常系数的微分方程组。
这就是一个,一阶常系数微分方程组的形式。
我们可以先把这个微分方程组,
写成矩阵的样子。
也就是,
dx/dt=Ax+f(t).
其中,
A是系数矩阵,
也就是方程组中,
未知函数xi的系数,构成的矩阵。
X是变量所形成的列,
它是我们要求的未知函数。
而dx/dt,
是这些变量关于t的导数,所构成的列。
而f(t),
是所谓的,已知函数向量。
也就是常数向量,
它的每个元素,都是t的函数。
我们要考虑的具体问题,
是一阶常系数微分方程组的初值问题。
也就是,给定一阶常系数微分方程组
和一个初始条件,
就是当t等于t0的时候,
我们的x,取值向量x0。
下面我们来解释一下,为什么上面
大家看到的方程组,
叫做一阶常系数
微分线性方程组?
所谓的一阶的意思就是,未知函数关于
变量t的导数,都是
一阶导数。
常系数,
它的意思就是
我们未知变量xi,
它的系数都是常数。
所以我们的系数矩阵A,是个常数矩阵。
x(t),
是 n 维的未知函数向量。
线性的意思就是,
每个函数xi(t),
和它关于t的导数,都是一次方的。
f(t) 是n维的,已知函数向量。
如果f(t) 恒等于0,
我们称,这个微分方程组是齐次的。
否则的话,
我们称,方程组是非齐次的。
x0是初始向量
在介绍我们所关心的一阶常系数
线性微分方程组之后,
我们来看一下,
如何来利用矩阵函数求解。
它的求解思路,
首先我们把方程,改写成下面这个样子。
也就是,把等号右边的Ax,挪到左边,
然后在两边,同时乘上e的负At次方。
经过整理,发现这时候,
等式的左边,
可以凑成,e的负At次方的,关于t的导数.。
所以这时候,两边我们在t0到t上
进行积分。
我们就得到了,
关于未知函数x(t) 的解,
这就是我们的求解公式。
大家可以看到,求解公式里面,
主要的事情就是,要求解e的At次方。
这个矩阵函数,
而在公式中,还有一个
关于矩阵函数的积分,
其中有一项是,e的负At次方.
如何求e的负At次方呢?
我们只需要把,e的At次方,它其中所有的t,
都换成负t。
这样就得到了,积分中的e的负At次方.
下面是我们求解公式的两个特殊情况:
第一,
我们的已知函数恒等于零,
也就是方程组是齐次的。
这时候,它的解有以下的简单形式。
第二个特殊情况,
我们的初始时刻t0,
是0的时候。
我们的求解公式,是下面这个样。
如果把初始时刻的向量,
换成任意一个列向量c的话,
我们所得到的是,
这个一阶常系数线性非齐次的
微分方程组的通解。
特别的是,
当常数列,恒等于零的时候,
我们得到的是
齐次的微分方程组的通解。
所以我们很容易可以看到,非齐次
线性方程组的通解,实际上是它的一个特解,
加上它所对应的齐次
线性方程组的通解。
下面我们用一个具体例子,来看一下
如何用矩阵函数e的At次方来求解,
一阶常系数的线性微分方程组。
我们有如下的线性微分方程组,
我们要求它的初值问题。
第一步,我们先把这个微分方程组
写成矩阵形式。
其中A是如下的矩阵,
而 f(t) 是我们已知函数的列。
初值x0,
由下面这个列向量给出。
接下来,先计算e的At次方,这个矩阵函数。
这个过程就是,我们以前所说的,
先来计算矩阵a的特征值;
然后利用待定系数法,假设出
带余除法中的余式;
根据我们以前,矩阵函数的理论,
我们可以得到未知待定系数的,如下的方程。
求解方程,可以得到这些未知的系数,
然后把它带入到,我们所要求的矩阵方程中,
我们得到了e的at次方.
对于公式中,e的负At次方的积分,
我们只需要,把刚刚求出的e的At次方中,
所有的t,都换成负t。
这样就得到了,e的负At次方。
接下来,我们依次来计算,
e的At次方,乘以x0。
和e的负At次方,乘上常数序列f(t),
在制定区间上的积分。
得到积分之后,
我们再把它乘上,e的At次方,
最后把所得到的结果代入公式,
我们就求得了,
我们所要求的,一阶常系数
线性微分方程组的解x(t)。
-1.1 特征值与特征向量的定义与求法
-1.2 特征值与特征向量计算举例
-1.3 特征值与特征向量的性质
-1.4 相似矩阵的定义及性质
-1.5 可对角化的条件
-1.6 可对角化的计算举例
-第1单元作业(共15个单选题)
--第1单元作业(共15个单选题)
-2.1 Jordan标准形的定义及方法1
-2.2 求Jordan标准型的方法2—初等变换法
-2.3 求Jordan标准型的方法3—行列式因子法
-2.4 相似变换矩阵的计算
-2.5 应用案例一、Jordan标准型的应用举例
-第2单元作业(共15个单选题)
--第2单元作业(共15个单选题)
-3.1 Hamilton-Cayley定理
-3.2 最小多项式
-第3单元作业(共10个单选题)
--第3单元作业(共10个单选题)
-4.1 酉矩阵的定义及性质
-4.2 Schur分解定理
-第4单元作业(共10个单选题)
--第4单元作业(共10个单选题)
-5.1 矩阵的LU分解
-5.2 初等反射与初等旋转矩阵
-5.3 矩阵的QR分解
-5.4 矩阵的奇异值分解
-5.5 矩阵的满秩分解
-5.6 应用案例二、QR算法与最小二乘问题
-第5单元作业(共15个单选题)
--第5单元作业(共15个单选题)
-6.1 广义逆矩阵与线性方程组
-6.2 Moore-Penrose逆A+及其应用
-第6单元作业(共10个单选题)
--第6单元作业(共10个单选题)
-7.1 向量范数
--7.1 向量范数
-7.2 方阵范数
--7.2 方阵范数
-7.3 范数的应用 1-数值分析
-7.4 范数的应用 2
-第7单元作业(共15个单选题)
--第7单元作业
-8.1 矩阵序列
--8.1矩阵序列
-8.2 矩阵函数计算 1
-8.3 矩阵函数计算 2
-8.4 矩阵函数计算 3
-8.5 矩阵的微分和积分
-8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
--8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
-第8 单元作业(共15个单选题)
--第8 单元作业(共15个单选题)
-9.1 特征值的界的估计
-9.2 特征值的包含区域
-9.3 特征值的分离
-第9单元作业(共15个单选题)
--第9单元作业(共15个单选题)