3.2 最小多项式在线视频

接下来我们来学习最小多项式

又Hamilton-Cayley定理知道

任何一个方阵A

都会有一个多项式f(λ)

使得f(A)=0

至少我们可以取A的特征多项式φ(λ)

问题是

能不能找到次数比φ(λ)更低的多项式m(λ)

使得m(A)=0

看个简单的例子

A是一个2阶单位矩阵

那么特征多项式是(λ-1)²

但实际你会发现

如果取m(\lamda)=\lamda -1的话

将A带入后也是0

说明确实有次数低的多项式

对于这样的多项式我们给个定义

如果多项式使得f(A)为零

称之为矩阵A的零化多项式

其中首项系数是1

次数最低的称为A的最小多项式

记为mA(λ)

判断一个多项式能不能零化A

我们有下面的定理

是说f(λ)能零化A

当且仅当最小多项式m(λ)|f(λ)

特别有m(λ)|特征多项式\phi(λ)

因为m(λ)次数最低

首项都是1

所以一定是唯一的

用带余除法和零化的条件就能证明

这里我们就省略了

除了最小多项式是特征多项式的因子以外

我们还有更精确的结果

是说m(λ)和\phi(λ)有相同的零点

这为后面求最小多项式提供了方法

思路是这样的

因为m(λ)|\phi(λ)

所以m(λ)的零点都是\phi(λ)的零点

反过来假设\lamda_0是特征多项式的一个零点

也是特征值

那么存在特征向量x

使得Ax=\lam0x

用A的矩阵多项式m(A)与x相乘

恰好等于m(\lam0)倍的x

由于m(A)是0

x是非零向量

这就推出\lam0是最小多项式的根

除了这个之外

我们还有一个结论是说

相似矩阵具有相同的最小多项式

根据相似性可以推出互相整除

因为首相是1所以它们一定要相等的

结合前面的结论

最小多项式是特征多项式因子

而且有相同的零点

我们可以用试探的方式写出

所有可能的最小多项式

带入后再检验能不零化A

看这个例子

已经知道特征多项式是(λ-2)(λ-1)²

零点有1和2

所以最小多项式有两种可能

(λ-2)(λ-1)和(λ-2)(λ-1)²

把A带入后发现前一个不能零化A

所以最小多项式就只能是特征多项式

第二个例子

求一个r阶Jordan块的最小多项式

先求特征多项式\phi(λ)

等于(λ-λi)r次方

这时最小多项可能有r种可能性

将A带入后很容易计算

前面讲Jordan块的展开时

专门讲过这种幂零矩阵的计算

结论是Jordan块的最小多项式

就是特征多项式

因为相似矩阵有相同的最小多项式

那么矩阵A的最小多项式

就可以转化为计算Jordan标准型的最小多项式

而Jordan标准型是分块对角的

同一个特征值的Jordan块

只要能零化阶数最高的就行

所以我们有下面的定理

是说A的最小多项式

就是不同特征值

对应阶数最高的

Jordan块的特征多项式的乘积

同时能看出矩阵A

什么时候可以对角化

当且仅当Jordan块都是1阶的

也就是最小多项式没有重根

看一个Jordan块的例子

这里你会发现我们需要考虑

特征值2的3阶块

和特征值-1的2阶块

取对应特征多项相乘

就会得到整个jordan矩阵的最小多项式

再看个例子

这里要先求出A的Jordan标准型

前面已经求过了

那么的A的最小多项式就很容易写出来了

应该是(λ-2)(λ-1)²

因为是不同的特征值对应的块

最后再介绍

用行列式因子求最小多项式

结论是这样说的

矩阵A的最小多项式

恰好是特征多项式除以第n-1个行列式因子

也就是SMITH标准型中最后一个不变因子

小的Dn

具体不证明了

不过大家可以这样理解

Jordan标准型可以通过初等因子写出来

而初等因子呢

是通过smith标准型中的不变因子分解获得

因为有连续的整除关系

所以不同特征值对应的初等因子

阶数最高的应该在最后一个不变因子中

那么它恰好可以零化所有的Jordan块

也就是最小多项式

这个方法主要困难是求行列式因子

如果选取恰当的话可以起到事半功倍的效果

还是用前面的例子

我们通过观察发现有一个二阶子式等于-1

那么断定2阶行列式因子就是1

这样的话最小多项式就是特征多项式了