当前课程知识点:矩阵论及其应用 > 第三单元 最小多项式 > 3.2 最小多项式 > 3.2 最小多项式
接下来我们来学习最小多项式
又Hamilton-Cayley定理知道
任何一个方阵A
都会有一个多项式f(λ)
使得f(A)=0
至少我们可以取A的特征多项式φ(λ)
问题是
能不能找到次数比φ(λ)更低的多项式m(λ)
使得m(A)=0
看个简单的例子
A是一个2阶单位矩阵
那么特征多项式是(λ-1)²
但实际你会发现
如果取m(\lamda)=\lamda -1的话
将A带入后也是0
说明确实有次数低的多项式
对于这样的多项式我们给个定义
如果多项式使得f(A)为零
称之为矩阵A的零化多项式
其中首项系数是1
次数最低的称为A的最小多项式
记为mA(λ)
判断一个多项式能不能零化A
我们有下面的定理
是说f(λ)能零化A
当且仅当最小多项式m(λ)|f(λ)
特别有m(λ)|特征多项式\phi(λ)
因为m(λ)次数最低
首项都是1
所以一定是唯一的
用带余除法和零化的条件就能证明
这里我们就省略了
除了最小多项式是特征多项式的因子以外
我们还有更精确的结果
是说m(λ)和\phi(λ)有相同的零点
这为后面求最小多项式提供了方法
思路是这样的
因为m(λ)|\phi(λ)
所以m(λ)的零点都是\phi(λ)的零点
反过来假设\lamda_0是特征多项式的一个零点
也是特征值
那么存在特征向量x
使得Ax=\lam0x
用A的矩阵多项式m(A)与x相乘
恰好等于m(\lam0)倍的x
由于m(A)是0
x是非零向量
这就推出\lam0是最小多项式的根
除了这个之外
我们还有一个结论是说
相似矩阵具有相同的最小多项式
根据相似性可以推出互相整除
因为首相是1所以它们一定要相等的
结合前面的结论
最小多项式是特征多项式因子
而且有相同的零点
我们可以用试探的方式写出
所有可能的最小多项式
带入后再检验能不零化A
看这个例子
已经知道特征多项式是(λ-2)(λ-1)²
零点有1和2
所以最小多项式有两种可能
(λ-2)(λ-1)和(λ-2)(λ-1)²
把A带入后发现前一个不能零化A
所以最小多项式就只能是特征多项式
第二个例子
求一个r阶Jordan块的最小多项式
先求特征多项式\phi(λ)
等于(λ-λi)r次方
这时最小多项可能有r种可能性
将A带入后很容易计算
前面讲Jordan块的展开时
专门讲过这种幂零矩阵的计算
结论是Jordan块的最小多项式
就是特征多项式
因为相似矩阵有相同的最小多项式
那么矩阵A的最小多项式
就可以转化为计算Jordan标准型的最小多项式
而Jordan标准型是分块对角的
同一个特征值的Jordan块
只要能零化阶数最高的就行
所以我们有下面的定理
是说A的最小多项式
就是不同特征值
对应阶数最高的
Jordan块的特征多项式的乘积
同时能看出矩阵A
什么时候可以对角化
当且仅当Jordan块都是1阶的
也就是最小多项式没有重根
看一个Jordan块的例子
这里你会发现我们需要考虑
特征值2的3阶块
和特征值-1的2阶块
取对应特征多项相乘
就会得到整个jordan矩阵的最小多项式
再看个例子
这里要先求出A的Jordan标准型
前面已经求过了
那么的A的最小多项式就很容易写出来了
应该是(λ-2)(λ-1)²
因为是不同的特征值对应的块
最后再介绍
用行列式因子求最小多项式
结论是这样说的
矩阵A的最小多项式
恰好是特征多项式除以第n-1个行列式因子
也就是SMITH标准型中最后一个不变因子
小的Dn
具体不证明了
不过大家可以这样理解
Jordan标准型可以通过初等因子写出来
而初等因子呢
是通过smith标准型中的不变因子分解获得
因为有连续的整除关系
所以不同特征值对应的初等因子
阶数最高的应该在最后一个不变因子中
那么它恰好可以零化所有的Jordan块
也就是最小多项式
这个方法主要困难是求行列式因子
如果选取恰当的话可以起到事半功倍的效果
还是用前面的例子
我们通过观察发现有一个二阶子式等于-1
那么断定2阶行列式因子就是1
这样的话最小多项式就是特征多项式了
-1.1 特征值与特征向量的定义与求法
-1.2 特征值与特征向量计算举例
-1.3 特征值与特征向量的性质
-1.4 相似矩阵的定义及性质
-1.5 可对角化的条件
-1.6 可对角化的计算举例
-第1单元作业(共15个单选题)
--第1单元作业(共15个单选题)
-2.1 Jordan标准形的定义及方法1
-2.2 求Jordan标准型的方法2—初等变换法
-2.3 求Jordan标准型的方法3—行列式因子法
-2.4 相似变换矩阵的计算
-2.5 应用案例一、Jordan标准型的应用举例
-第2单元作业(共15个单选题)
--第2单元作业(共15个单选题)
-3.1 Hamilton-Cayley定理
-3.2 最小多项式
-第3单元作业(共10个单选题)
--第3单元作业(共10个单选题)
-4.1 酉矩阵的定义及性质
-4.2 Schur分解定理
-第4单元作业(共10个单选题)
--第4单元作业(共10个单选题)
-5.1 矩阵的LU分解
-5.2 初等反射与初等旋转矩阵
-5.3 矩阵的QR分解
-5.4 矩阵的奇异值分解
-5.5 矩阵的满秩分解
-5.6 应用案例二、QR算法与最小二乘问题
-第5单元作业(共15个单选题)
--第5单元作业(共15个单选题)
-6.1 广义逆矩阵与线性方程组
-6.2 Moore-Penrose逆A+及其应用
-第6单元作业(共10个单选题)
--第6单元作业(共10个单选题)
-7.1 向量范数
--7.1 向量范数
-7.2 方阵范数
--7.2 方阵范数
-7.3 范数的应用 1-数值分析
-7.4 范数的应用 2
-第7单元作业(共15个单选题)
--第7单元作业
-8.1 矩阵序列
--8.1矩阵序列
-8.2 矩阵函数计算 1
-8.3 矩阵函数计算 2
-8.4 矩阵函数计算 3
-8.5 矩阵的微分和积分
-8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
--8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
-第8 单元作业(共15个单选题)
--第8 单元作业(共15个单选题)
-9.1 特征值的界的估计
-9.2 特征值的包含区域
-9.3 特征值的分离
-第9单元作业(共15个单选题)
--第9单元作业(共15个单选题)