当前课程知识点:矩阵论及其应用 > 第一单元 预备知识 > 1.4 相似矩阵的定义及性质 > 1.4 相似矩阵的定义及性质
同学们好
矩阵特征值和相似对角化
在矩阵的理论和方法中占有重要地位
许多对矩阵性质的研究
可以通过研究更简单的相似矩阵而得到解决
这一讲
我们先来学习
相似矩阵的定义和性质
设A B都是n阶方阵
如果存在可逆矩阵P
使得P的逆AP等于B
则称A与B相似
记为这样一个记号
由于I的逆乘A乘I等于A
所以矩阵的相似具有自身性
即任何一个n阶方阵都与自身相似
若A相似于B
则由P的逆AP可以得到
P的逆的逆乘B乘P的逆等于A
于是B相似于A
这个性质称为对称性
若A相似于B
B相似于C
则由这两个式子可以得到
PQ的逆乘以A乘以PQ等于C
于是A相似于C
即相似矩阵具有传递性
因而得到如下性质1.
相似是矩阵之间的一种重要关系
还具有如下性质
从性质2的(1)-(3)看到
两个相似的矩阵
必定具有相同的秩
相同的行列式
相同的特征值多项式
进而具有相同的特征值
相同的迹
从(4)看到
若一个矩阵A与对角矩阵相似
则这个对角矩阵的对角元
就是A的特征值
从(5)看到
若A与B相似
则求A的K次幂问题
可以转化为求B的k次幂
从(6)看到
若A与B相似
则f(A)与f(B)相似
下面只给出(5)和(6)的证明
先看(5)
由A相似于B得到
P逆AP等于B
两边左乘P右乘P的逆
得到A等于PBP逆
于是A的K次幂等于k个PBP逆的乘积
再利用矩阵乘法的结合律
将中间位置的PP逆结合
最终得到PB的k次幂P逆
这个性质给我们提供了一个很好的求矩阵k次幂的思路
例如
当A与一个对角矩阵相似
即B是对角矩阵时
求A的k次幂就转化为一个对角矩阵的k次幂
而一个对角矩阵的k次幂
只需要把对角元k次幂
有了(5)
(6)的证明是直接的
这里仅展示如下
-1.1 特征值与特征向量的定义与求法
-1.2 特征值与特征向量计算举例
-1.3 特征值与特征向量的性质
-1.4 相似矩阵的定义及性质
-1.5 可对角化的条件
-1.6 可对角化的计算举例
-第1单元作业(共15个单选题)
--第1单元作业(共15个单选题)
-2.1 Jordan标准形的定义及方法1
-2.2 求Jordan标准型的方法2—初等变换法
-2.3 求Jordan标准型的方法3—行列式因子法
-2.4 相似变换矩阵的计算
-2.5 应用案例一、Jordan标准型的应用举例
-第2单元作业(共15个单选题)
--第2单元作业(共15个单选题)
-3.1 Hamilton-Cayley定理
-3.2 最小多项式
-第3单元作业(共10个单选题)
--第3单元作业(共10个单选题)
-4.1 酉矩阵的定义及性质
-4.2 Schur分解定理
-第4单元作业(共10个单选题)
--第4单元作业(共10个单选题)
-5.1 矩阵的LU分解
-5.2 初等反射与初等旋转矩阵
-5.3 矩阵的QR分解
-5.4 矩阵的奇异值分解
-5.5 矩阵的满秩分解
-5.6 应用案例二、QR算法与最小二乘问题
-第5单元作业(共15个单选题)
--第5单元作业(共15个单选题)
-6.1 广义逆矩阵与线性方程组
-6.2 Moore-Penrose逆A+及其应用
-第6单元作业(共10个单选题)
--第6单元作业(共10个单选题)
-7.1 向量范数
--7.1 向量范数
-7.2 方阵范数
--7.2 方阵范数
-7.3 范数的应用 1-数值分析
-7.4 范数的应用 2
-第7单元作业(共15个单选题)
--第7单元作业
-8.1 矩阵序列
--8.1矩阵序列
-8.2 矩阵函数计算 1
-8.3 矩阵函数计算 2
-8.4 矩阵函数计算 3
-8.5 矩阵的微分和积分
-8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
--8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
-第8 单元作业(共15个单选题)
--第8 单元作业(共15个单选题)
-9.1 特征值的界的估计
-9.2 特征值的包含区域
-9.3 特征值的分离
-第9单元作业(共15个单选题)
--第9单元作业(共15个单选题)