9.1 特征值的界的估计在线视频

我们接下来，要介绍一下

跟特征值相关的一些问题。

其主要内容包括：

第一，特征值的估计；

第二，

特征值的包含区域；

第三，

特征值的分离。

我们接下来，来看

第一个问题，也就是特征值的估计。

我们要给出，一个方阵A，它的特征值模长的

上界，的一些估计。

下面一个引理，

是一个简单的不等式。

它是Cauchy-Schwarz不等式的，简单的推论。

但是，我们会在下面的一些证明中，

应用这个不等式。

这是我们，关于特征值估计的，第一个定理。

任给方阵A，

假设λi，是它的任意一个特征值。

第一，

我们有，λi的模长

小于等于，方阵A的m无穷范数；

第二，

特征值 λ，

它的实部的绝对值，

小于等于，矩阵B的m无穷范数，

其中B等于，A加上A的共轭转置，除以2；

第三，

特征值λ，它的虚部绝对值，

小于等于，

方阵C的m无穷范数，

其中，C等于

A减掉，A的共轭转置AH，除以2。

这是，我们关于方阵特征值，

它的模长，第一个估计。

我们接下来，

从这个定理，

可以得到一些简单的推论。

第一点，

Hermite矩阵，它的特征值是实数；

而反Hermite矩阵，

它的特征值为，零或者是纯虚数。

主要原因是，

如果

A，是Hermite矩阵，

那A的共轭转置，AH就等于A。

所以这时候，我们就有

C等于，A减掉A的共轭转置，除以2。

这时候的矩阵C，就是零矩阵。

根据，我们刚才的定理的，第三个结果，

我们知道，

特征值λ，它的虚部绝对值是0.

所以，特征值是一个实数。

我们对于实矩阵，

它的特征值的虚部，

会有一个，比刚才定理更好的估计。

是下面这个定理。

大家可以看到，如果我们的方阵A是

实矩阵，

那它的任意特征值，

虚部的绝对值，有下面一个更好的估计。

前面，原来的矩阵C的m无穷范数，

多了一个小于一的因子。

这个定理的证明，十分复杂

中间涉及到了，很多估计和精确的计算。

我们接着来看一个

具体的例子。

给定了这样一个方阵A，

我们要估计，它特征值的上界。

大家注意，

我们的这个方阵A，它是一个反对称矩阵，

也就是反Hermite。

第一点，

通过方阵，计算方阵A的m无穷范数。

我们发现，它的M无穷范数是等于零点六。

所以我知道，方阵A它的特征值绝对值，

是小于零点六的。

也就是，

在这个黄色的圆内部。

通过计算，

矩阵B

等于，A加上A的共轭转置，除以2。

和矩阵C

等于，A减掉A的共轭转置，除以2。

我们发现这个方阵A，

它是个反Hermite矩阵，

所以，它的特征值实部为零。

而虚部，小于零点六。

这是我们刚才用第一个定理的估计。

实际上，我们的方阵A是一个实矩阵，

我们可以应用，对它虚部的更好的估计。

得到它的虚部，实际上是，在负的0点346

和正的0点346之间。

所以我们知道，

它的特征值是一个实数，

在虚轴的这个区间之内。

而实际上，方阵A它特征值的真实值

正的0点3i和负的0点3i。

所以我们发现，

我们的估计，还是比较准确的。

最后一个，关于矩阵特征值的估计，

是下面的Shur不等式。

也就是，任给方阵A，

假设它的特征值为，λ1，λ2，... ，λn

则我们知道，这些特征值

模长的平方和，小于等于

方阵A的F范数平方。

也就是，这个方阵所有元素的

绝对值得平方和。

等式成立当且仅当，方阵A

是一个正规矩阵。