当前课程知识点：矩阵论及其应用 > 第四单元 酉相似下的标准型 > 4.2 Schur分解定理 > 4.2 Schur分解定理
下面来看Schur分解定理
先介绍一个引理
是说对任意n元单位向量u1
一定存在一个酉矩阵
使得u1是它的列向量
可以这样找酉矩阵
设u1=(c1,c2,…,cn)
考虑以分量ci为系数的齐次线性方程组
c1x1+c2x2+…+cnxn=0
找到线性无关解后再Schimidt正交单位化
得到了n-1个两两正交的单位向量
再和c1合起来就是我们要找的酉矩阵
这一节的主要结论是下面的Schur分解定理
是说
假设A是n阶复矩阵
那么一定存在酉矩阵U使得
A相似到上三角矩阵T
因为是酉矩阵
我们也称A酉相似与矩阵T
T就是酉相似下的标准型
证明的思路用归纳法
假设n=1显然是对的
对一般的n
我们先取A的特征值 λ1
u1是对应的特征向量
不妨假设这个向量长度是唯一的
那么由上面的引理可以把它扩充为
酉矩阵大写的U1
U1是它的第一列向量
那么由于列之间是正交的
那么计算U1HAU1发现第一列是1000
左下角我们记为A1
是n-1阶矩阵
由归纳假设
对A1存在酉矩阵
使得vHa1v是上三角矩阵T1
再分块对角构造新的酉矩阵U2
那么U1*U2就是我们要的酉矩阵U
它会使得使得UHAU是上三角矩阵T
上三角矩阵对角线上的元素
恰好是A的所有的特征值
从Schur定理知道
在酉相似下
A已经很接近对角矩阵
那么我们想知道
A什么时候能有酉相似到对角矩阵
先看个定义
是说如果矩阵A满足A^HA=AA^H
称A是正规矩阵
这样的矩阵有很多
比方说
实对称矩阵
反实对称矩阵
Hermite矩阵
也就说A^H=A
反Hermite矩阵
也就说A^-A的
还有前面说的酉矩阵
正交矩阵
都是我们常见的正规矩阵
先看看满足正规条件的
上三角矩阵是什么样子的
下面的引理是说
正规上三角或者下三角矩阵
都是对焦矩阵
这个我们通过计算就能知道了
设T是上三角矩阵
分别计算T^HT,和TT^H,
我们只需要计算出主对角线上的元素
因为是正规矩阵
所以对角线上的元素相等
比较后发现上三角矩阵T中
除了主对角线的元素
其他都是0
所以是对角矩阵
下面的定理回答了我们的问题
矩阵A酉相似与对角矩阵
当且仅当A是正规矩阵
具体推导过程
是用Schur分解定理将矩阵A
转化为上三角具体T的正规性判断
由上面的引理即可完成证明
具体的过程我们也就省略了
现在就能回答线性代数中
一般都不证明的事实
实对称矩阵的特征值都是实数
这里我们考虑的范围更广
是说
Hermite矩阵的特征值都是实数
反Hermite矩阵的特征值为0或纯虚数
证明思路是通过正规矩阵条件
将A酉相似到对角矩阵
对角线上的元素都是特征值
那么由Hermite条件
两边同时取共轭
可以推出特征值都是实数
反Hermite的类似处理
线性代数中处理实二次型时
建立了与对称矩阵的一一对应关系
而且引入了重要的一类矩阵-正定矩阵
类似我们可以考虑复二次型矩阵
那么它对应的矩阵应该是Hermite矩阵
A^HA=A
同样我们有Hermite正定矩阵
定义是这样的
设A是一个Hermite矩阵
对任意非零向量x
x^hAx始终大于0
称A是Hermite正定的
如果这个结果始终大于等于0
那么称A是半正定的
如何判断正定呢
我们有下面等价的描述
在承认一个定理的同时 我们会发现
由第二条就能推出
Hermite正定矩阵的行列式都大于0
因为它的行列式恰好是特征值的乘积
下面我们来看看这个等价条件怎么来推导
1推2
因为A是正规的
那么一定存在存在酉矩阵U
使得U^HAU是对角矩阵
对角线上的元素都是特征值
两边同乘单位向量ei
也就是第二个分量是1其他分量都为0的
那么这样就取出了特征值λi
因为Uei是非零向量
所以特征值都是正实数
2推3
这里将对角矩阵
取根号分为两个矩阵的乘积
那么A就能分解为两个矩阵相乘
用可逆条件可以判断M是满秩的
或者说可逆的
这样的话A就可以分解成
M^Hi*M的
3推1 任取非零向量x
我们只要去计算x^H*Ax总是大于0就可以
把A的分解代入之后呢
转化为
恰好是等于
Mx这个向量的
长度的平方
因为M是满秩的
Mx是一个非0的向量
那么我们得到的长度就应该大于0
从而说明它是一个正定矩阵
这样的话这个判定条件我们就推完了
Hermite半正定
也有类似的表达方式
证明的过程也是一样的 我们就省略了
最后介绍用行列的方式判断正定性
就是下面的定理
是说A是Hermite正定的
当且进度A的各阶顺序主子式>0
这个在具体计算时比较方便
-1.1 特征值与特征向量的定义与求法
-1.2 特征值与特征向量计算举例
-1.3 特征值与特征向量的性质
-1.4 相似矩阵的定义及性质
-1.5 可对角化的条件
-1.6 可对角化的计算举例
-第1单元作业（共15个单选题）
--第1单元作业（共15个单选题）
-2.1 Jordan标准形的定义及方法1
-2.2 求Jordan标准型的方法2—初等变换法
-2.3 求Jordan标准型的方法3—行列式因子法
-2.4 相似变换矩阵的计算
-2.5 应用案例一、Jordan标准型的应用举例
-第2单元作业（共15个单选题）
--第2单元作业（共15个单选题）
-3.1 Hamilton-Cayley定理
-3.2 最小多项式
-第3单元作业（共10个单选题）
--第3单元作业（共10个单选题）
-4.1 酉矩阵的定义及性质
-4.2 Schur分解定理
-第4单元作业（共10个单选题）
--第4单元作业（共10个单选题）
-5.1 矩阵的LU分解
-5.2 初等反射与初等旋转矩阵
-5.3 矩阵的QR分解
-5.4 矩阵的奇异值分解
-5.5 矩阵的满秩分解
-5.6 应用案例二、QR算法与最小二乘问题
-第5单元作业（共15个单选题）
--第5单元作业（共15个单选题）
-6.1 广义逆矩阵与线性方程组
-6.2 Moore-Penrose逆A+及其应用
-第6单元作业（共10个单选题）
--第6单元作业（共10个单选题）
-7.1 向量范数
--7.1 向量范数
-7.2 方阵范数
--7.2 方阵范数
-7.3 范数的应用 1-数值分析
-7.4 范数的应用 2
-第7单元作业(共15个单选题)
--第7单元作业
-8.1 矩阵序列
--8.1矩阵序列
-8.2 矩阵函数计算 1
-8.3 矩阵函数计算 2
-8.4 矩阵函数计算 3
-8.5 矩阵的微分和积分
-8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
--8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
-第8 单元作业(共15个单选题)
--第8 单元作业(共15个单选题)
-9.1 特征值的界的估计
-9.2 特征值的包含区域
-9.3 特征值的分离
-第9单元作业(共15个单选题)
--第9单元作业(共15个单选题)
