8.1矩阵序列在线视频

大家好！

我们今天介绍的，是矩阵级数。

主要内容包括：第一，

矩阵级数的定义和性质；

第二，

矩阵幂级数；

第三，我们要用矩阵级数来定义矩阵函数。

我们先来看，

矩阵级数的相关定义和性质。

由 m 乘 n 矩阵构成的序列An，

它所形成的无穷和，

就是，把这个序列里的矩阵加起来。

这样的一个无穷和，我们称为矩阵级数。

给了一个矩阵级数，

我们下面来看它的部分和：

SN就是，把矩阵级数中

前N个矩阵求和，加在一起。

这个称作，这个矩阵级数的部分和。

矩阵级数的部分和

SN，构成了一个矩阵序列。

如果，这个矩阵序列收敛到某个矩阵S，

也就是，部分和序列SN的极限，是矩阵S，

我们就称，这个矩阵级数收敛。

它的和，为矩阵S。

如果部分和序列SN发散，

我们就称，这个矩阵序列发散。

这是我们给出的，

矩阵序列收敛和发散的定义。

下面我们来简单说明一下，

固定矩阵中任何一个位置，

比如说，第 i 行 第 j 列

我们考虑，所有这个位置上的数，

我们就会得到一个数的级数。

把第 i 行第 j 列上元素，加在一起。

所以我们看到，一个矩阵级数

相当于 m 乘以 n 个，数的级数。

这 m 乘 n 个，数的级数

如果每个都收敛的话，

则我们的矩阵级数就收敛；

如果有一个数项级数发散的话，

那我们的矩阵级数就发散。

我们可以用同样的办法，来定义

矩阵级数的绝对收敛。

也就是，给了一个矩阵级数，

如果它所对应的，m 乘以 n 个数项级数，

全部都绝对收敛，

我们就称，这个矩阵级数绝对收敛。

好了，在给了这个矩阵级数的相关定义之后，

我们来看一下，矩阵级数的性质。

假设我们现在有，两个收敛的矩阵级数。

第一个是，把Ak加在一起,

这个矩阵级数，和是矩阵A；

第二个，把矩阵级数BK加在一起，

这个矩阵级数的和是B。

我们的第一个性质

说的是，

如果把两个矩阵级数，对应矩阵加在一起，

我们得到一个新的矩阵级数，

叫做这两个级数的和级数。

那么，这个和级数的和

就等于，两个矩阵级数和的和。

第二个性质，对矩阵级数的每一项

乘以一个常数 λ，

得到了新的矩阵级数。

它的和等于 ，λ倍的原来的矩阵级数的和。

性质三，

如果矩阵级数绝对收敛，

那么这个矩阵级数一定是收敛的。

性质四，对于绝对收敛的矩阵级数，

任意改变求和顺序，并不改变它的和。

关于这四个性质的证明，很简单。

因为矩阵级数，就是一些数的级数，

所以矩阵级数，也满足数的级数性质。

所以，由数的级数

很容易推出，我们的性质1到性质4。

下面我们来看性质5，

性质5说的是，矩阵级数

绝对收敛的充分必要条件

对矩阵级数中，每个矩阵取范数，求和。

这样的一个数项级数，收敛。

换一句话说也就是，

给了一个矩阵级数，它绝对收敛

当且仅当，对每一个矩阵级数中的矩阵，应用

矩阵范数。它们范数的和收敛。

这个定理的作用是，

判断一个矩阵级数，绝对收敛与否

现在只要看一个数项级数的收敛。

而不是像以前，

我们需要看每一个位置上的数项级数。

那样的话，

我们要看 m 乘以 n 个，数项级数。

而现在，我们只需要看，矩阵级数

所对应的矩阵范数的级数，是否收敛。

这个定理的证明很简单，

因为矩阵范数是相互等价的，

所以，我们只要考虑矩阵的M1范数。

如果矩阵级数，

它所对应的，M1范数级数收敛。

我们就知道，

对于矩阵级数，每一个位置所对应的数项级数，

它是由矩阵的M1范数控制的，

所以它们也都收敛，

所以，这 m 乘 n 个，数项级数都收敛，

我们的矩阵级数也就收敛了。

反之，

如果矩阵级数收敛，

那它所对应的，m 乘 n 个，数项级数也就收敛。

而我们矩阵级数中，矩阵所对应的M1范数，

就是 m 乘 n 个，数项级数的和，

所以也就收敛了

接下来，我们来看第二部分，

就是矩阵的幂级数。

我们现在，给矩阵幂级数的定义：

假设，A是一个 n 阶方阵,

则我们有下面的矩阵级数

矩阵级数中的每一项，都是一个系数

乘上矩阵A的方幂，A的 k 次方。

如果是这样的矩阵级数，

我们就把它，称作矩阵A的幂级数。

换一句话说，就是矩阵幂级数的每一项

都是系数乘上A的方幂。

在考虑矩阵幂级数的性质之前，

我们先回忆一下数的幂级数。

数的幂级数的理论是这样的：

对任意一个数的幂级数，都有一个收敛半径 r.

而在区间，负r到r中间，

我们的，数的幂级数，

它是绝对收敛的；

而在这个区间以外

我们的幂级数是发散的。另外，数的幂级数

它的收敛半径怎么求呢？

是这样，

我们取第 n+1 项的系数，

比上第 n 项的系数.

这个比值，绝对值的极限，

我们把它叫做 ρ。

如果 ρ 不等于零，

则，这个幂级数的收敛半径

就等于 ρ 分之一；

如果 ρ 等于零，

那我们这个幂级数，的收敛半径就是正无穷；

如果 ρ 等于正无穷，

那我们这个幂级数，的收敛半径 r 就等于零。

应用数的幂级数的收敛半径，

我们可以有下面的定理：

任给一个数的幂级数，

假设它的收敛半径 r，

如果， 对于给定的矩阵A，

它的谱半径 ρ 小于收敛半径，

而我们知道，把A带进数的幂级数，

所得到的矩阵幂级数，绝对收敛的。

反之，

如果矩阵A的谱半径

ρ， 大于幂级数的收敛半径 r，

把A带到幂级数中，

我们得到的矩阵幂级数是发散的。

这个定理说明了，矩阵幂级数的收敛与发散，

主要是比较，矩阵的谱半径

与所对应的数的幂级数的收敛半径。

但是，矩阵的谱半径不太好算，

所以，我们通常是应用矩阵的范数来近似。

所以，我们有下面的推论：

就是，任给数的幂级数，它的收敛半径是 r。

如果存在一个矩阵范数，

使得，A矩阵的范数小于收敛半径 r，

那我们矩阵A所对应的，

矩阵幂级数是绝对收敛的。

另一个简单的推论是，

如果数的幂级数，它的收敛半径是正无穷，

那么对任何一个方阵A，

我们所得到的A的幂级数， 也是绝对收敛。

我们下面，利用我们的矩阵幂级数的理论，

来看一个具体的例子。

就是对这个矩阵幂级数，

来判断它的收敛或者发散的性质。

这个问题有两个做法：

第一个做法就是，

如果这样来取方阵A的话，

我们所得到的对应幂级数，

和谱半径分别如下。

所以， 通过比较方阵的谱半径

和幂级数的收敛半径，

我们知道这个幂级数是收敛的；

第二个方法是， 我们把A

选成了，六分之一倍的这个矩阵，

所以我们所得到的数的幂级数也不同，

所以它的谱半径也不同，

但是在比较谱半径，

和幂级数的收敛半径的时候，

我们发现这个矩阵级数还是绝对收敛。

下面，我们来简单介绍一类

特殊的矩阵幂级数，

叫做Neumann级数。

它所对应的矩阵幂级数，就是把方阵A

所有方幂加在一起。

也就是对任一个矩阵A，

我们对A的 k 次方求和，k从零到正无穷，

这就是我们所介绍的Neumann级数。

下面的结论是，Neumann级数

收敛的充分必要条件是，方阵A

它的谱半径小于1。

这时候，收敛的Neumann级数，

它的和为，单位矩阵减掉A，的逆矩阵。

换一句话说就是，

A所对应的Neumann级数，收敛

当且仅当A是一个收敛矩阵。

下面有一个简单的推论，就是矩阵A，

如果存在一个矩阵范数，

使得A的矩阵范数小于1，

则它所对应的Neumann级数收敛。

收敛到，单位矩阵减掉A，的逆矩阵。

下面我们来看一个简单的例子，

对于这个方阵A，

我们要判断

它所对应的Neumann级数，

是收敛还是发散？

如果收敛的话求和。

我们的想法是

对于这样一个矩阵，很难去算出它的谱半径，

所以，我们就借助一些常见的矩阵范数。

结果我们发现，这个矩阵A

它的 1 范数是等于零点九，小于1.

所以我们知道，

根据刚才的推论，

它所对应的Neumann级数是收敛的。

收敛到单位矩阵减A的逆矩阵。

接下来， 我们来介绍矩阵函数的定义。

所谓的矩阵函数，就是以矩阵为变量，

而且所对应的取值也为矩阵。

这样的对应关系

也就是，任意给定的一个矩阵

它所取的函数值也是一个矩阵。

我们下面要定义矩阵函数，

定义矩阵函数的方法，就是幂级数法。

也就是给了一个方阵，

我们用一个幂级数，来表示它的函数取值。

如果这个幂级数收敛，

那这个幂级数的和矩阵，

就是这个方阵所对应的函数值。

具体来说，

任意给定的幂级数，假设它的收敛半径是 r，

它的和函数为F（A）。

对任意的方阵A，

如果方阵A的谱半径，

小于给定幂级数的收敛半径，

则所对应的矩阵幂级数收敛。

它的和矩阵就是，A方阵

所对应的矩阵函数值，

我们把它记做FA。

对于常见的函数，

我们可以把它转成幂级数。

如果给定的方阵，谱半径

小于所对应幂级数的收敛半径的时候，

我们可以把方阵带入幂级数求和，

这样我们就得到了，所对应的矩阵函数。

比如，我们常见的指数函数，e 的 x 次方,

或者是正弦函数sinx,

余弦函数cosx,

以及对数函数Inx等等。

我们可以，把这些函数展成麦克劳林级数，

然后对于任意的方阵A，

只要它的谱半径

小于，这些函数所展成的幂级数的收敛半径，

我们把方阵A带到幂级数当中，

我们的所得到的矩阵幂级数

就是所对应的矩阵函数。

所以对于矩阵函数来说，

我们也有指数函数，

正弦函数，

余弦函数，

对数函数等等。

有时候我们需要，在矩阵函数中

加入相应的参数 t,

把原来矩阵 f(A) 中的变量，由A变成At，

这样我们所得到的矩阵函数 f(At).

比如下面，我们加入参数 t 之后，

所得到的指数函数，

正弦函数，

余弦函数。