当前课程知识点：矩阵论及其应用 > 第一单元 预备知识 > 1.5 可对角化的条件 > 1.5 可对角化的条件
同学们好
我们知道
对于矩阵运算来说
对角矩阵是一类最简单的矩阵
对于任意一个n阶矩阵A
是否可以将它化为对角矩阵
并保持A的许多原有性质
在理论和应用方面都具有重要意义
这一讲
主要介绍矩阵的对角化问题
如果一个矩阵A与对角矩阵相似
则称矩阵A可相似对角化
简称A可对角化
那么一个矩阵可对角化的条件是什么
下面的定理1告诉我们
一个矩阵可对角化的充分必要条件是
它具有n个线性无关的特征向量
证明如下
若A相似于对角矩阵兰姆达
即存在可逆矩阵P
使得P逆AP等于兰姆达
两边左乘P
得到AP等于兰姆达P
此时
将矩阵P进行列分块
得到
再根据分块矩阵的乘法
得到这两个分块矩阵相等
于是得到对应的n个列子块
APj等于兰姆达jPj
注意到P可逆
故上式中的Pj均为非零向量
且P1
P2
…
Pn
线性无关
同时
由特征值和特征向量的定义可知
这些Pj分别是矩阵A
属于特征值兰姆达j的特征向量
其中j等于1
2
…
n
因此必要性得证
再看充分性
设A有n个线性无关的特征向量
P1
P2
…
Pn
对应的特征值依次为兰姆达1
兰姆达2
…
兰姆达n
则APj等于兰姆达jPj
其中Pj不等于零
j=1,2,…,n
如果
以P1
P2
…
Pn为列构
造矩阵P
则P可逆
此时我们不难看到
这些过程都是可以反推回去
从而得到A与对角矩阵兰姆达相似
在此不再赘述
从定理的证明过程
立即可以得到如下推论
推论1
若一个矩阵A可对角化
则必存在可逆矩阵P
使得P逆AP等于对角矩阵兰姆达
其中对角矩阵兰姆达的
主对角元素即为A的n个特征值
可逆矩阵P由对应于
特征值兰姆达j的n个线性无关的特征向量
p1 p2 ......pn
作列向量构成
进一步地
如果不计p1 p2 ......pn（或兰姆达j）的排列顺序
则P（或兰姆达）唯一
但需注意P的列Pj与的对应性
进一步地
利用定理1
并结合特征值和特征向量的有关性质
比如
一个矩阵的不同特征值对应的特征向量必线性无关
一个矩阵的每一个互异特征值
对应的所有线性无关的特征值向量
合在一起得到的向量组仍然是线性无关的
可以得到如下两个可对角化的判定条件
这里以定理的形式给出
定理2
若n阶方阵A的n个特征值互不相同
则A必可对角化
定理3 n阶方阵A
可对角化的充分必要条件是
对于A的每个nj重特征值兰姆达j
均有
兰姆达jI-A矩阵的秩等于n-nj
即方阵可对角化的充要条件是
它的每一个特征值的代数重数与几何重数相等
-1.1 特征值与特征向量的定义与求法
-1.2 特征值与特征向量计算举例
-1.3 特征值与特征向量的性质
-1.4 相似矩阵的定义及性质
-1.5 可对角化的条件
-1.6 可对角化的计算举例
-第1单元作业（共15个单选题）
--第1单元作业（共15个单选题）
-2.1 Jordan标准形的定义及方法1
-2.2 求Jordan标准型的方法2—初等变换法
-2.3 求Jordan标准型的方法3—行列式因子法
-2.4 相似变换矩阵的计算
-2.5 应用案例一、Jordan标准型的应用举例
-第2单元作业（共15个单选题）
--第2单元作业（共15个单选题）
-3.1 Hamilton-Cayley定理
-3.2 最小多项式
-第3单元作业（共10个单选题）
--第3单元作业（共10个单选题）
-4.1 酉矩阵的定义及性质
-4.2 Schur分解定理
-第4单元作业（共10个单选题）
--第4单元作业（共10个单选题）
-5.1 矩阵的LU分解
-5.2 初等反射与初等旋转矩阵
-5.3 矩阵的QR分解
-5.4 矩阵的奇异值分解
-5.5 矩阵的满秩分解
-5.6 应用案例二、QR算法与最小二乘问题
-第5单元作业（共15个单选题）
--第5单元作业（共15个单选题）
-6.1 广义逆矩阵与线性方程组
-6.2 Moore-Penrose逆A+及其应用
-第6单元作业（共10个单选题）
--第6单元作业（共10个单选题）
-7.1 向量范数
--7.1 向量范数
-7.2 方阵范数
--7.2 方阵范数
-7.3 范数的应用 1-数值分析
-7.4 范数的应用 2
-第7单元作业(共15个单选题)
--第7单元作业
-8.1 矩阵序列
--8.1矩阵序列
-8.2 矩阵函数计算 1
-8.3 矩阵函数计算 2
-8.4 矩阵函数计算 3
-8.5 矩阵的微分和积分
-8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
--8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
-第8 单元作业(共15个单选题)
--第8 单元作业(共15个单选题)
-9.1 特征值的界的估计
-9.2 特征值的包含区域
-9.3 特征值的分离
-第9单元作业(共15个单选题)
--第9单元作业(共15个单选题)
