8.3 矩阵函数计算 2在线视频

下面我们来看，我们的第三个方法：

利用Jordan标准型来求矩阵函数。

它的原理，比方法二稍微复杂一些。

原理的第一点，就是Jordan块的

矩阵函数很好求。

对于Jordan块，我们来看，

下面的方阵 J，就是一个Jordan块。

它的主对角线，是所对应的特征值λi。

主对角线右上方，的这条斜线

上面的数全都是1。

所以，我们的方阵J，是一个

ri乘上ri阶的Jordan块。

对于Jordan块，它的矩阵函数

我们有如下的公式：

这个公式是不含有参数T的，

而这个公式是含有参数T。

我们发现这两个公式里面

平行于主对角线的斜线上，

所有的数都是相同的。

所以根据这一点，

我们先把这样的斜线来进行编号，

我们规定，主对角线是第零条线，

它的编号是零。

然后右上方，平行于它，

紧挨着它的那条斜线，

我们把它编号为1。

依次，我们右上方的斜线，分别编号为第一条，

第二条，。。。

直到右上角的第 ri-1 条线。

在对这些平行于主对角线上的斜线

进行编号之后，

我们下面可以来解释一下，

我们的Jordan块的函数值。

它的公式，

对于第一个公式，不含有参数T

我们来看一下,

在第 k 条斜线上我们所做的事情如下:

首先，

第 k 条斜线上，我们要除以 k 的阶乘，

然后，我们还要对函数，求 k 阶导数，

然后，带入特征值λi。

这样，就得到了我们第一个公式，

不含有参数Jordan块的

函数值的公式。

而第二个公式，含有参数T的，

我们发现，我们要做的事情就是：

在第K条线上，要除以K的阶乘，

然后，我们还要乘上参数T的K次方，

然后，对所对应的函数求K阶导数，

带入的是 λi乘上t。

这样我们就得到了，

含有参数T，Jordan块的函数值公式。

我们简单来看一下，

怎么来得到这样的

Jordan块的函数公式？

我们先要计算它的K次方。

对于Jordan块 J，它的 K 次方，

我们有下面的公式。

这个公式是怎么来的呢？

实际上很简单，

就是把，Jordan块矩阵

写成两个矩阵的和：

一个矩阵， λi乘上单位矩阵；

另一个矩阵是 U。

也就是，把Jordan块写成

一个数量矩阵，

加上矩阵 U。

大家看一下，我们的矩阵 U。

是这样一个矩阵，

它的主对角线，斜上方的一条线

也就是，我们所说的第一条线上，数全都是1，

而其他的数全都是零，

这是我们的矩阵 U。

我们下面，把Jordan块

写成了，一个数量阵

加上 U。

由于这两个矩阵乘法，是可以交换的，

所以我们在求，它们和的K次方的时候，

可以应用二项式公式。

由二项式公式，

我们得到，这个k次方如下。

所以，要把J的K次方写出来，

我们下面唯一要做的事情，

就是，要了解矩阵 U，

它的方幂是什么样子的？

方阵 U，它的方幂有下面的特点：

每多乘一个 U，矩阵中，平行于主对角线

而且上面数全都是1的，这样的斜线

会向右上方移动一排。

我们下面写出来了，

矩阵 U，它带有数1的这条斜线，

是紧挨着主对角线的。

然后 U 平方，多乘了一个 U，

这个带有全都是1的斜线，

向右上方移动了一下。

然后 U 的三次方，又多乘了一个 U，

这时候，这个带有1的斜线，

又向右上方，移动了一下，。。。

直到，U 的第 ri-1 次方，

我们这个带有1的斜线，就会移出矩阵。

这时候，我们就知道，

U 的 ri-1 次方，就等于零矩阵。

所以我们知道，U 矩阵它的方幂，有如下特点。

根据这样的特点，

我们很容易，就得到了Jordan块

J，它的K次方的公式。

下面，我们在得到了J的K次方公式之后，

我们可以来求矩阵函数。

我们下面先来求的，是

带有参数T的Jordan块

J，所对应的矩阵函数。

我们把它带入到，矩阵函数

所对应的幂级数之中，求和；

然后，拆开组合数，和T的K次方；

把它改写成导数形式；

我们就得到了，我们所需要的公式2，

也就是，带有参数Jordan块的

函数，它的公式。

而对于没有参数T的第一个公式，

我们只要，把第二公式中的T取成1，

就可以得到对应的。

下面，我们来看一些具体的例子。

这是一个Jordan块，

我们要出它所对应的函数值。

这些函数，有的带有参数T，

有的不带有参数T。

我们需要知道的就是，

对于不带有参数T的函数，

我们所做的事情，只有两个：

第一个就是，在

平行于主对角线上的第K条线上，

要除以K的阶乘，

然后，把函数求K阶导数之后，带入特征值。

而我们现在所看到了，函数是指数函数。

所以，它的任意阶导数都是它自己。

所以，我们在这个例子上，所做的事情

就是在第K条线上除K的阶乘，

然后把特征值带入指数函数。

下一个带有参数T的，

所以我们所做的事情，就是以下的三个：

第一个就是，在第K条线上，要除以K的阶乘；

第二个事情就是，

要在第K条线上，乘上T的K次方；

然后，对于所对应的函数，求K阶导数，

带入的是，特征值 λi乘上参数T。

所以大家可以看到，

对于e的At次方，

我们所做的事情就是：

主对角线，所对应的K是零，

所以，我们除的是零的阶乘，是1，

然后，乘上T的零次方，

然后，带入的是，特征值乘上T，

所以，我们所做的，最终的事情就是

带入特征值λi乘上T。

这是主对角线，而主对角线上方的这条斜线，

对应的K是1，

所以我们除以1的阶乘，

还是1。然后乘上T的一次方，

所以，大家可以看到，我们乘了个T的一次方，

然后是对指数函数，求一阶导数。

但是，指数函数求任意阶导数，都是它自己。

所以没变。

然后接下来，我们带入的是，特征值2

乘上参数T。

然后类似的，第二条线，第三条线。。。

我们所做的事情都是这三个。

刚才我们看到的，Jordan块

它的矩阵函数很好求。

接下来，对于Jordan矩阵。

假如说，我们的Jordan矩阵 J，

它实际上是一个准对角矩阵。

主对角线上，就是一些

Jordan块构成的。

很容易可以看出来，Jordan矩阵，

它的矩阵函数，

实际上就是，对它主对角线上的，

每个Jordan块来求函数值。

无论是带有参数T，还是不带有参数T，

都是这样。

所以，我们有如下Jordan矩阵

矩阵函数的公式。

下面有一些对应的例子。

这个是，一个Jordan矩阵，

它有3个Jordan块，

所以，我们在求它所对应的函数值的时候，

实际上就是，对每一个Jordan块，来求函数值。

那接下来，

对于一个一般的矩阵，我们应该怎么办呢？

我们知道，任何一个矩阵

都相似于某一个Jordan矩阵。

这个Jordan矩阵，

叫做它的Jordan标准形。

换句话说就是，对任意方阵A，

我们可以找到一个可逆矩阵P，

使得P的逆，乘上A，再乘上P，

等于Jordan矩阵 J。

那如何来利用

我们说过的，Jordan矩阵的函数值

来求方阵A的函数值？

我们发现，我们有如下的公式，

无论是带有参数T，还是不带有参数T。

我们方阵A的函数，

都等于，它所对应的

Jordan标准形的函数，

左右分别乘上，相似变换矩阵P

和它的逆P逆。

我们来看一个具体的例子。

对于给出来的方阵A，

我们要求如下的矩阵函数。

我们所要做的事情：

第一个就是，

要求方阵A的Jordan标准形。

很容易看到，

对于如下的矩阵P，

我们有，P的逆，乘上A，乘上P,

就等于A所对应的约当标准形。

接下来，对于我们要求的矩阵函数，

我们所要做的事情很简单。

就是，先求出Jordan标准形

所对应的矩阵函数。

而Jordan标准形

所对应的矩阵函数，

也就是，对它的每一个Jordan块

来求矩阵函数，

然后左右分别乘上

相似变换矩阵P，和它的逆P逆。

无论是带有参数T，

还是不带有参数T，都是这样的。