当前课程知识点：矩阵论及其应用 > 第五单元 矩阵分解 > 5.3 矩阵的QR分解 > 5.3 矩阵的QR分解
下面我们将介绍矩阵的QR分解
先来看什么是QR分解
是说如果矩阵A
可以写成一个酉矩阵Q
和上三角矩阵R的乘积
称这样的分解为A的QR分解
或酉三角分解
如果是实矩阵也称为正三角分解
第一个问题
这样的分解有没有
下面的定理告诉我们
任意矩阵都有QR分解
而且证明的过程就是分解的过程
我们提供两个QR分解的算法
先看用Householder变换法
将矩阵A按列分块
不妨设第一列\az1为非零向量
则存在Householder矩阵H1
使得H1\az1是e1的r11倍
那么H1A的第一列变为第一个分量是r11
其余为0
右下角的n-1阶矩阵
记为Bn-1
同样的方法
知存在n-1阶Householder矩阵H2~
可以将Bn-1的第一列化成第一个分量是r22
其余为0
在H2～的左上角分块对接1阶的单位矩阵
令它为H2
由前面的性质知H2是n阶的Householder矩阵
且H2H1A变为对角是r11,r22
右下角是n-2阶的矩阵
如此继续下去
n-1步之后可以将A变为上三角矩阵R
因为Householder都是自逆的
所以取Q为H1H2…Hn-1
显然依然是酉矩阵
这就完成了分解
看个4阶矩阵的例子
要求将A做QR分解
先取第一列\az1=0101
取\lz1= 根号2
计算出u1是这样的
先算出H1
和A相乘后将第一列变为 根号2 000
再取右下角的3阶矩阵
对它的第一列做同样的处理
令第一列为\beta_2
取\lz2=根号2
计算出单位向量u2~
以及3阶Householder矩阵H2~是这样的
取4阶Householder矩阵H2为分块对角的
计算H2H1A发现已经是上三角矩阵R了
那么取Q为H1H2
这样A就完成QR分解了
第二种是用Given变换法
依次将矩阵A的第一列的第一个分量
下面都变为0
第二列的第二个分量下面都变为0
等等等等
以达到上三角矩阵的样子
那么先取G12G13…G1n
将第一列变为和e1平行
然后考虑第二列
取G23G24…G2n
将第二列第二个分量下面都变为0
而且这个过程对第一列的分量没有影响
接下去考虑第三列第四列
一直到最后一列
这样就变为上三角矩阵记为R
因为Givens矩阵都是酉矩阵
所以取Q为G12^HG13^H…Gn-1,n^H
注意
最多有n(n-1)/2个乘积项
显然它们乘完后还是酉矩阵
与前面构造的方法相比
步骤相对繁琐一些
但是过程相对简单
还是4阶矩阵的例子
对第一列0101
用公式取u1=0
v1=1
则G12是这样的
且G12A将第一列变为1001
继续用公式
取u2=v2=1/根号2
则G14是这样的
且G14乘上去后
将第一列变为 根号2000
这样第一列就完成了
下面继续看第二列
0 -110
取u3=-1/根号2
v3= 1/根号2
则G23是这样的
且G23乘上去后就变为上三角矩阵
记它为R
那么取Q 为G12^HG14^HG23^H
和Householder的方法比较
两个酉矩阵是不一样的
给个注记
当矩阵A
是满秩方阵时
也可以用Schimidt正交化的方法
给出A的QR分解
我们这里就省略了
对方阵进行QR分解时
本质上是对列向量做变换
所以和矩阵形状没有关系
总结为下面的定理
是说长方阵也有qr分解
其中q依然是酉矩阵
R是阶梯形的矩阵
比如取之前例子中A的前2列进行qr分解时
求出的Q和前面是一样的
R实际就是取例子中的前两列
-1.1 特征值与特征向量的定义与求法
-1.2 特征值与特征向量计算举例
-1.3 特征值与特征向量的性质
-1.4 相似矩阵的定义及性质
-1.5 可对角化的条件
-1.6 可对角化的计算举例
-第1单元作业（共15个单选题）
--第1单元作业（共15个单选题）
-2.1 Jordan标准形的定义及方法1
-2.2 求Jordan标准型的方法2—初等变换法
-2.3 求Jordan标准型的方法3—行列式因子法
-2.4 相似变换矩阵的计算
-2.5 应用案例一、Jordan标准型的应用举例
-第2单元作业（共15个单选题）
--第2单元作业（共15个单选题）
-3.1 Hamilton-Cayley定理
-3.2 最小多项式
-第3单元作业（共10个单选题）
--第3单元作业（共10个单选题）
-4.1 酉矩阵的定义及性质
-4.2 Schur分解定理
-第4单元作业（共10个单选题）
--第4单元作业（共10个单选题）
-5.1 矩阵的LU分解
-5.2 初等反射与初等旋转矩阵
-5.3 矩阵的QR分解
-5.4 矩阵的奇异值分解
-5.5 矩阵的满秩分解
-5.6 应用案例二、QR算法与最小二乘问题
-第5单元作业（共15个单选题）
--第5单元作业（共15个单选题）
-6.1 广义逆矩阵与线性方程组
-6.2 Moore-Penrose逆A+及其应用
-第6单元作业（共10个单选题）
--第6单元作业（共10个单选题）
-7.1 向量范数
--7.1 向量范数
-7.2 方阵范数
--7.2 方阵范数
-7.3 范数的应用 1-数值分析
-7.4 范数的应用 2
-第7单元作业(共15个单选题)
--第7单元作业
-8.1 矩阵序列
--8.1矩阵序列
-8.2 矩阵函数计算 1
-8.3 矩阵函数计算 2
-8.4 矩阵函数计算 3
-8.5 矩阵的微分和积分
-8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
--8.6 矩阵函数的应用一阶常系数线性微分方程组的初值问题
-第8 单元作业(共15个单选题)
--第8 单元作业(共15个单选题)
-9.1 特征值的界的估计
-9.2 特征值的包含区域
-9.3 特征值的分离
-第9单元作业(共15个单选题)
--第9单元作业(共15个单选题)
