7.2 方阵范数在线视频

大家好

我们接下来要说的是方阵的范数。

这一节包括的内容有，方阵范数的定义；

方阵范数的构造，

包括直接借用和导出范数两种方法；

第三，就是方阵范数的性质，也就是

各种范数的相容性。

我们下面来定义方阵范数。

但是我们先来说一下，

我们定义方阵范数的两个看法：

第一，方阵可以看成是一个向量，

所以，它应该满足向量范数的性质，

第二，方阵又具有乘法，

所以我们还应该增加方阵乘法

所满足的性质。

根据上面两个看法，

我们下面给出方阵范数的定义

任给一个方阵A

对应一个实数，来作为它的范数

满足下面的几条性质

第一，就是非负性

也就是方阵的范数要大于等于零，

方阵的范数等于零当且仅当

方阵是零矩阵。

第二，是齐次性。

也就是任何一个常数

K乘上A的范数

应该等于K的绝对值乘上A的范数

第三，是三角不等式

也就是两个矩阵和的范数，

要小于等于它们范数的和。

第四，就是相容性。

也就是两个矩阵AB乘积的范数

要小于等于它们范数的乘积。

很容易可以看出来，上面的定义里面

第一条到第三条就是向量范数的公理，

而最后一条相容性，

是我们为矩阵乘法所准备的性质。

从上面方阵范数的定义可以看出，

方阵的范数就是向量的范数

加上乘法的相容性质。

所以，方阵范数满足向量范数的性质。

比如说，两个方阵范数的差

要小于等于这两个方阵差的范数；

再有，就是一个矩阵

它的负矩阵的范数

跟它自己的范数是相等的；

还有就是各个方阵范数之间

是相互等价的。

接下来，我们来看方阵范数的构造。

要想得到方阵范数的具体实例，

我们是要用已知的向量范数

通过向量范数来得到方阵范数，

主要是以下的两个途径：

第一，就是直接把方阵看成向量，

借用我们已知的向量范数。

但是我们需要验证，我们所借用的向量范数

是否满足相容性。

如果它满足相容性

我们就得到了一个方阵范数，

有时候我们需要做一些简单的修改，

使得向量范数满足相容性条件。

另外一个方法，就是所谓的导出范数

它是应用向量范数来导出矩阵范数

但是定义比较复杂

我们会在稍后的来详细说明。

下面我们来看第一种方法

就是把方阵范数作为向量范数的推广，

我们把方阵看成是向量，

所以就直接借用向量范数。

所以它满足方阵范数定义里面前三条公理。

我们下面需要验证的是乘法的相容性，

有时候需要做一些适当的修改，

使得向量范数满足相容性。

我们下面来看一些具体的例子：

第一个例子，就是我们借用向量1范数

来定义我们的方阵范数，

也就是对于方阵中的每一个元素

我们取绝对值，然后求和

很容易验证，这样所定义出来的向量范数

满足乘法的相容性，

所以我们得到了一个方阵范数，

我们把它称之为方阵的M1范数。

第二个例子，

我们是借用向量的2范数

来定义我们的方阵范数

也就是对于一个矩阵A

我们把它元素的绝对值，平方之后，求和

然后再开方。

也是很容易验证

这样定义出来的方阵范数

满足乘法的相容性，

我们得到了一个新的方阵范数，

我们称之为Frobenius范数，

或者是 F范数。

第三个例子，通过上面的两个例子

我们看到，我们直接借用已知的向量范数

通过验证它们满足乘法相容性

我们得到了方阵范数。

下面，我们想直接借用向量的无穷范数

来定义方阵范数。

也就是对于一个方阵A，

我们把它里面元素最大的绝对值

来作为方阵范数。

但是我们发现

这样所定义出来的，不满足乘法的相容性。

比如，A是所有元素

都是1的二乘二矩阵；

B等于A，也是所有元素

等于1的二乘二矩阵。

我们计算它们的乘积

AB，得到的是所有元素

都是2的二乘二矩阵.

很容易可以看出来

这时候A中元素的最大绝对值是1，

B中的元素最大绝对值也是1

它们的乘积是小于AB中

元素最大绝对值，2的，

所以它不满足乘法的相容性。

所以，我们需要做一些简单的修改，

就是，在方阵所有元素最大的绝对值前面

乘上了方阵的阶数n.

我们这样所得到的，就满足乘法的相容性，

这样我们得到了一个新的方阵范数，

我们把它叫做方阵

M无穷范数。

我们看到了，三个具体的例子

就是方阵的

M1范数，F范数和M无穷范数。

下面我们来看一下这些范数的性质

第一条性质就是

这三种范数，对任何一个矩阵A

和它的共轭转置AH，

这三种范数是一样的；

第二个性质是，对一个方阵A

我们对它进行列分块

它的列分别是a1，a2到an。

这时候我们知道这个方阵的M1范数

就是方阵列的向量1范数的和；

而方阵的F范数

就是这个方阵所有列的2范数的

平方和，开根号；

而这个方阵的M无穷范数

就是这些列的无穷范数的最大值

乘以n, 方阵的阶数。

而且我们还知道方阵的F范数。

满足酉不变性。

也就是，对这个方阵乘上酉矩阵，

并不改变这个方阵的范数。

接下来我们要说的是

方阵范数和向量范数的相容性。

我们先给出定义：

给了一个方阵范数和一个向量范数

如果，对任意的方阵A和任意的向量x

A乘以x的向量范数,

是小于等于, A的方阵范数

乘上x的向量范数,

我们称这两个范数是相容的。

下面我们来简单说明一下范数的相容性质：

我们有两个相容性质，

第一个是，方阵范数定义中的乘法相容性质，

也就是两个方阵乘积的范数

小于等于这两个方阵范数的乘积；

第二个相容性质是

方阵范数和向量范数的相容性。

也就是方阵与向量乘积的

向量范数，小于等于方阵范数乘上向量范数。

我们定义这两个相容性的目的，

主要是希望，在对范数做估计的时候，

能够方便和简单一些。

因为根据范数的相容性

我们就不必来对矩阵乘法进行计算，

而直接得到向量范数，

或者是矩阵范数的简单估计，

这样会方便一些。

作为例子

我们给出一些矩阵与向量范数相容的例子

第一，方阵的M1范数

与向量的1范数是相容的；

第二，

矩阵的F函数与向量的2范数是相容的；

第三，

矩阵的M无穷范数，与向量的1范数，

2范数和无穷范数都是相容的。

第四个例子是， 任给一个向量范数

我们都可以找到一个方阵范数与之相容。

下面我们来看第二个构造

方阵范数的方法，就是导出范数。

已知一个向量范数，

我们想用这个向量范数来导出方阵范数。

它的导出函数的定义如下：

任给一个方阵A，

A乘上x的向量范数，

比上x自己的向量范数,

这个比值对所有非零向量x的最大值,

我们把它定义成A的导出范数。

对于导出范数，

我们有如下的定理

第一， 由向量所导出的范数

确实是方阵范数满足方阵范数的公理；

第二

我们导出的方阵范数是规范的，

也就是单位矩阵的范数等于1；

第三

我们由向量范数所导出的方阵范数

与原来的向量范数是相容的。

接下来我们来看一些具体的

导出的方阵范数

第一是，由向量1范数

所导出的方阵范数。它的定义如下，

是对向量的每一列的元素，取绝对值求和，

我们得到的是，这一列所有元素绝对值的和

叫做列和。

对所有的方阵里面的列和，取最大值

我们得到了就是方阵的1范数。

所以，方阵的1范数，又称之为列和范数。

而方阵的2范数，等于这个方阵的共轭转置

乘上它自己所得到的

这个矩阵，的最大的绝对值，开根号，

就是方阵的2范数，

它是由向量的2范数导出的。

第三个，由向量的无穷范数导出的，

我们称之为方阵的无穷范数。

它的定义是，对矩阵里每一行元素，

取绝对值，求和，得到的行和。

对所有的行和，取最大值，

我们得到的就是方阵的无穷范数。

所以，方阵无穷范数

称之为行和范数。

我们可以看出来方阵的导出范数

与原来的向量范数看上去很不一样，

所以向量的导出范数是比较复杂。

我们来看一些，向量导出范数的简单性质：

第一条就是，A的共轭转置的1范数

等于A的无穷范数；

而A的共轭转置的无穷范数，

又等于A方阵的1范数；

方阵的2范数等于它共轭转置的2范数；

方阵的2范数

满足酉不变性。

下面我们看到的是一个具体的

方阵范数的例子

对于给定的方阵A，

我们计算了它一些常见的方阵范数。