当前课程知识点：线性系统理论 > 第三周（第二部分：线性系统的时域理论）：系统的状态空间描述（二）、系统的运动分析及稳定性 > LST2-2-2 状态转移矩阵及其属性和算法（二） > 视频
状态转移矩阵的性质给大家介绍过了
这样我们就心里有数
有了一些怎么来计算状态转移矩阵的方法
那我们下面就讨论一下这个问题
我们介绍这些性质到具体计算的时候
总结成下面一些计算的方法
第一个方法就是直接利用它的定义做级数展开
这个定义由*这个式子给出
那么这个式子在什么地方有用呢
当A有一些特殊形式
特别是A的有限次幂会出现等于0的情况
这种情况下的话 我们实际上就可以截断
得到的是一个多项式的表达
但这种情况一般比较少
有时候我们也不太容易得到这个闭式的表达
下面就给了一个例子
让大家看一下这个闭式表达其实一般来说并不是特别好求
我们有A矩阵是0 1 -2 -3
然后求e^At 我们可以把A直接代进去按定义来做
但是我在这里想强调一下
就是说这种按定义的计算方法
比较适合在计算机里面做递推的实现 便于编程
但是如果说A的形式给出来
我们能够进行手算的话
我们一般不用这种方法来做手算
我们把A代到幂级数表达式里面
可以看到刚才那个例子
这里面有单位阵
[1 0 0 1]+[0 1 -2 -3]t+[0 1 -2 -3]^2*t^2/2!+...
这样一直加下去
最后我们经过整理得到e^At的四个元素
分别的幂级数求和的方式
第一个元素是1-t^2+t^3+... 等等
我们很难一眼看出这个闭式的表达是什么
仍然是得到四个级数
一般来说 用计算机求个数值解是可以接受的
但是如果我们是做理论分析
那么这种就不便于做解析的计算
正在常用的实际上还是做其他的计算方法
特别是拉普拉斯反变换的方法
我们前边其实已经提到了
在讲拉普拉斯变换为基础
做求解状态响应的里面我们已经提到
实际上e^At是(SI-A)的逆
这个矩阵的拉普拉斯反变换
证明就不展开了
但是是可以根据(SI-A)的逆它的级数展开
和e^At的级数展开 之间依次做对应关系
我们是可以对的上
也就是说这个关系是成立的
我们把(SI-A)的逆称为预解矩阵
前面通过例子也给大家展示过
就是怎样把这个预解矩阵给计算出来
然后跟输入项或者是初始状态乘在一起
然后得出x(t)的表达式来
这里面大家已经看到过计算的步骤
应该说在我们手算的里面中
这种方法还是非常常用的
第三种计算方法实际上是我们在介绍状态转移矩阵
它的性质里面也专门强调了
基于相似变换来计算e^At的方法
我们也把它分成A的特征值互异
也就是说A可以通过相似进行对角化的情况
这种情况我们根据性质九
已经给出e^At=T*e^(lamda*t)*T^(-1)这样的一个形式
其中lamda=T^(-1)*A*T相似变换为一个对角型的
这里我们给出一个具体计算的例子
A=[0 1 -2 -3]
我们刚才已经给出了这个例子
那里面我们看到的是一个级数的形式很难看出它的闭式
现在我们就用相似对角化的方法来算
我们首先看它的特征多项式
(SI-A)的行列式求出来是s^2+3s+2
这样我们知道它有两个不一样的特征值
特征根一个是-1 一个是-2
我们分别对这两个特征根求它相应的特征向量
可以计算出来一个特征向量是[1 -1]
这是属于-1这个特征值的
属于-2特征值的特征向量我们求出来是[1 -2]
于是我们有一个相似变化阵T
它是由这两个特征向量组成的[1 -1;1 -2]
那么它的逆求出来了T逆
这样的话 我们知道e^At=T*e^(lamda*t)*T^(-1)
那么这个T和T逆分别乘在e^(lamda*t)两侧
e^(lamda*t)是什么呢
就是这两个特征值作为指数乘上-t
就是e^(-t)和e^(-2*t)作为对角线的
这样一个对角型的矩阵指数
通过把这两个矩阵再乘进来
最终我们就得到了e^(At)的闭合的表达式
就是[2e^(-t)-e^(-2t) e^(-t)-2e^(-2t)
然后-2e^(-t)+2e^(-2t) -e^(-t)+2e^(-2t)]
这是一个闭合的表达式
这个形式就比前面幂级数的形式更加方便了
而且是完全精确的
当然我们对于计算e^(At)的方法来说呢
也要考虑到其它的情况
比如说A是有特征值重根的时候
我们一般来说不能够把它直接化成对角形式
这个时候我们就对它进行约当标准型的转换
也是通过相似变换
我们假设e^(At)可以通过T相似变换为J这个约当块的形式
我们最后出来的结果e^At=T*e^(J*t)*T^(-1)
而e^(J*t)可以直接按照公式给写出来
这里也给大家举一个例子
A[-3 1 0 0 -3 1 -4 0 0]是这样一个3*3的矩阵
我们要计算它的矩阵指数e^(A*t)
这个时候我们来求一下特征多项式
这个特征多项式求出来的结果发现是有重根的
-1是两重根 有一个另外的单根是-4
从而我们可以知道
通过计算它的约旦标准型
我们可以化出它的约当标准型是
上面有一个2*2的约当块 -1是它的特征值
次对角线上是1
底下的-4是单独另外一个约当块
那么根据我们前面介绍过的性质十
我们可以直接写出来e^(J*t)
e^(J*t)就是e^(-t)提在外面的话就是1 1 t 这样的形式
如果把e^(-t)给乘进去 就是现在我们看到的这个形式
就是[e^(-t) t*e^(-t) 0
0 e^(-t) 0 0 0 e^(-4t)]这样一个形式
接下来我们还要把相似变换阵求出来
相似变化阵这里略去它具体的计算过程
这里面涉及到利用广义特征向量的问题
我们以前给大家介绍过相关的知识
那么大家可以按照这个方法把T和T逆都求出来
这样我们就可以把e^(A*t)完整的通过T和T逆以及e^(J*t)
表达式合并以后得到如下的计算结果
这个表达式稍微复杂一点
但是大家仍然可以看到它是一个闭合的表达式
这里面出现了e^(-t) t*e^(-t) e^(-4t)
这样的一些指数函数的形式
其他的都是一些组合的系数项
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