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常用函数的运算与变换

下一节:SPIE课程:Light in Action-Lasers,Cameras&Other Cool Stuff

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常用函数的运算与变换课程教案、知识点、字幕

各位同学大家好

今天我们继续学习

光学工程中的预备数学知识

上次课介绍了一些常用的函数

今天我们学习这些函数的卷积

和相关运算

以及这些函数的傅里叶变换

首先介绍卷积

来看一下卷积的定义

两个复值函数

f和h的卷积的定义

是这两个函数的乘积的二维积分

其中h在ξη平面上有一个平移量

为了理解卷积的过程

我们来看一个一维的情况

对于两个一维的矩形函数

f(x)和h(x)进行卷积

按照定义的公式

首先进行折叠 也就是取负号

然后进行平移

最后将两个函数相乘

取积分来求得它的面积

这个面积的值

就是在X0处的卷积的函数值

这是图解法获得卷积的过程

首先我们将这个函数进行了折叠

然后开始平移

在平移开始的时候

两个函数没有重叠

所以函数值为0

随着向右平移

两个函数开始重叠了

这样重叠的面积

就不为0了

函数值就不再是0

那这个随着平移的过程

函数值会逐渐变大

当重叠面积最大的时候

它的卷积值

也就是函数值达到最大

然后再逐渐减小

当这个窗口移出

另外一个函数窗口时

那么函数值就变为0了

我们把这些函数值形成一条曲线

可以看到两个矩形函数的卷积

是一个三角函数

这个卷积的结果

和原来的两个矩形函数相比

它的宽度变成了

原来两个函数的宽度之和

所以我们说卷积有展宽的作用

那这个卷积函数

和原来两个函数比较相比

它变平滑了

所以卷积有平滑的效果

我们说卷积具有展宽

和平滑的效果

根据卷积的定义式不难证明

卷积满足交换律

分配律 结合律

还有平移不变性

下面介绍相关的概念

相关的定义是这样的

两个复值函数f和g的相关

它的定义式是

两个函数的乘积的二维积分

其中g在ξη平面上

也有一个平移量

并且还需要对g取共轭

然后再求积分

这个相关反映的

是两个函数的相似程度

我们来看一下图解法

相关时这个平移不需要翻转

而是直接平移

平移之后求得重叠面积

就是这个x0处的相关值

把这个曲线画出来

我们可以得到它的相关曲线

两个不同的函数进行相关

我们称之为互相关

而一个函数和它自己本身相关

我们称之为自相关

自相关函数

一般都会有一个相关峰

也就是一个最大值

我们将相关和卷积

来做一个对比

可以看到首先相关可以用

卷积的形式来表示

表示成这样的一个形式

那么当g为实的偶函数的时候

那么相关和卷积的形式

是完全相同的

但是相关是满足分配律

它不满足交换律

下面介绍空间域的傅里叶变换

我们知道一个随时间变化的信号

可以对它做傅里叶变换

得到它的时间频谱

这个频谱的单位

就是时间的倒数

我们称之为赫兹

而对于光学信息处理中

光学图像它也可以做傅里叶变换

但是这个变换不是在时间上做的

而是在空间上做的

我们得到的是空间域的频率

它的单位是长度的倒数

空间频率 它反映的是光的强度

在空间的周期分布特征

一幅图像它也同样存在高频

中频和低频的情况

一幅图像的特征

可以用它的频谱来表示

所有的频率成分

和相应的振幅系数

就是这幅图像

所包含的全部的信息

这是一个二维空域的

傅里叶变换的定义式

其中g(x,y)

是G(fx,fy)的傅里叶变换

而G(fx,fy)是g(x,y)的

逆傅里叶变换

g(x,y)的坐标是空间坐标

而G(fx,fy)的坐标是空间频率坐标

它的变化的核函数

为e指数

j2π(fx×x+fy×y)

那逆变换的核函数

有一个负号

根据定义式我们很容易进行推导

得到矩形函数rect函数的

傅里叶变换

从这个推导过程我们可以看到

它的傅里叶变换

是一个sinc函数

也就是说sinc函数

是rect函数的傅里叶变换

同样rect函数

是sinc的逆傅里叶变换

它们二者构成了

一个傅里叶变换对

那我们再举一个例子

我们对1来做傅里叶变换

首先对1做一个变形

它可以写成

rect函数的极限形式

也就是这个窗口无限长

rect函数的变换

是sinc函数

所以我们对它做傅里叶变换

最后得到的是一个

sinc函数的极限的形式

这个极限的形式

正好是脉冲函数 δ函数

也就是说1的傅里叶变换

是δ函数

δ函数的逆傅里叶变换是1

1和δ函数互为傅里叶变换对

下面来看一下

傅里叶变换的性质

傅里叶变换首先满足位移定理

也就是说如果在xy平面有位移

那么在变换的结果上

会多出来一个e指数

这个e指数的物理含义

是一个相位的变化

我们说空域中的位移

会带来频域中的相移

同样频域中的位移

也会带来空域中的相移

傅里叶变换的第二个定理

是卷积定理

卷积定理是这样说的

两个函数的卷积的傅里叶变换

等于两个函数的

傅里叶变换的乘积

这个证明过程不难推导

同学们可以参考书中的推导过程

根据卷积定理我们发现

当复杂函数可以表示为

简单函数乘积或者是卷积时

利用卷积定理

就可以由简单函数的变换式

来确定复杂函数的变换式

这样给我们求两个函数的卷积

提供了一个途径

就是先将函数的变换式相乘

再对乘积做傅里叶变换

举个简单的例子

三角函数的傅里叶变换

直接求解非常复杂

但是它可以写成

rect函数的卷积

而rect函数的傅里叶变换

是sinc函数

所以我们用卷积定理

就很容易得到

三角函数的傅里叶变换

是sinc函数的平方

另外 一个函数

我们对它做傅里叶变换

再做逆傅里叶变换

最后得到了是这个函数的本身

而一个函数

我们对它做傅里叶变换

再做傅里叶变换

也就是做两次傅里叶变换

最后函数的自变量符号相反

还有一个特殊函数

叫圆域函数

它的傅里叶变换

在我们课程中也非常重要

我们这里给出来它的变换形式

圆域函数的傅里叶变换

是贝塞尔函数

这样我们就得到了一些

初等的函数的傅里叶变换

或者它们的逆傅里叶变换

这是原函数

和傅里叶变换函数的表格

最后对本课程进行小结

我们学习了函数的卷积和相关

学习函数的空间域的傅里叶变换

并且给出了一些典型的

函数的傅里叶变换的公式

请同学们进行理解和推导

并记住这些函数的

傅里叶变换形式

为后面的课程学习作为铺垫 这节课就讲到这里

光学工程基础课程列表:

绪论——课程内容简介

-1.1.1 课程背景和内容简介

--课程背景和内容简介

-1.1.2 光学工程的特点

--光学工程的特点

-1.1.3 本课程的学习方法

--本课程的学习方法

--外部链接

绪论——预备知识

-1.2.1 微积分基础知识

--微积分基础知识

-1.2.2 光学工程中的常用函数

--光学工程中的常用函数

-1.2.3 常用函数的运算与变换

--常用函数的运算与变换

-扩展阅读

--SPIE课程:Light in Action-Lasers,Cameras&Other Cool Stuff

--SPIE课程:Optics-Light at Work

--SPIE课程:A Day Without Photonics-A Modern Horror Story

--SPIE课程:Advice to Students from Leaders in the Optics&Photonics Community

--版权说明

上篇:应用光学——光波、光线和成像

-2.1.1 基本概念和光线传播基本定律

--基本概念和光线传播基本定律

-2.1.2 成像基本概念

--成像基本概念

-2.1.3 费马原理

--费马原理

-2.1.4 等光程成像

--等光程成像

-2.1.5 常用曲面形状

--常用曲面形状

-第一次作业--作业

上篇:应用光学——近轴光学

-2.2.1 近轴光学基本概念

--近轴光学基本概念

-2.2.2 近轴球面成像

--近轴球面成像

-2.2.3 近轴球面成像放大率

--近轴球面成像放大率

-2.2.4 物像空间及光学不变量

--物像空间及光学不变量

-2.2.5 矩阵光学简介

--矩阵光学简介

-2.2.6 矩阵光学应用

--矩阵光学应用

-第二次作业--作业

上篇:应用光学——理想光学系统

-2.3.1 理想光学系统基本概念

--2.3.1 理想光学系统基本概念

-2.3.2 理想光学系统的基点与基面

--2.3.2 理想光学系统的基点与基面

-2.3.3 图解法求像

--2.3.3 图解法求像

-2.3.4 解析法求像

--2.3.4 解析法求像

-2.3.5 理想光学系统的放大率

--2.3.5 理想光学系统的放大率

-2.3.6 理想光学系统焦距关系

--2.3.6 理想光学系统焦距关系

-2.3.7 理想光学系统组合

--2.3.7 理想光学系统组合

-2.3.8 透镜与薄透镜

--2.3.8 透镜与薄透镜

-2.3.9 远摄型光组和反远距型光组

--2.3.9 远摄型光组和反远距型光组

-第三次作业--作业

上篇:应用光学——平面反射镜与棱镜

-2.4.1 平面反射镜及双平面反射镜

--2.4.1 平面反射镜及双平面反射镜

-2.4.2 反射棱镜及其展开和平行平板成像

--2.4.2 反射棱镜及其展开和平行平板成像

-2.4.3 反射棱镜成像方向

--2.4.3 反射棱镜成像方向

-2.4.4 棱镜转动定理

--2.4.4 棱镜转动定理

-2.4.5 角锥棱镜和折射棱镜

--2.4.5 角锥棱镜和折射棱镜

-2.4.6 光学材料简介

--2.4.6 光学材料简介

-第四次作业--作业

上篇:应用光学——光学系统中的光束限制

-2.5.1 光阑简介与孔径光阑

--2.5.1 光阑简介与孔径光阑

-2.5.2 视场光阑与渐晕

--2.5.2 视场光阑与渐晕

-2.5.3 远心光路

--2.5.3 远心光路

-2.5.4 景深

--2.5.4 景深

-第五次作业--作业

补充材料:光度学与色度学基础(不占学时)

-2.6.1 光度学与色度学基础

--2.6.1 辐射度学

-2.6.2 视见函数和光度学

--2.6.2 视见函数和光度学

-2.6.3 光传播过程中光学量的变化规律

--2.6.3 光传播过程中光学量的变化规律

-2.6.4 色度学基本概念

--2.6.4 色度学基本概念

-2.6.5 CIE标准色度学系统

--2.6.5 CIE标准色度学系统

-第六次作业--作业

上篇:应用光学——像差简介

-2.7.1 球差

--2.7.1 球差

-2.7.2 色差

--2.7.2 色差

-2.7.3 子午像差和弧矢像差

--2.7.3 子午像差和弧矢像差

-2.7.4 彗差、像散、场曲、畸变

--2.7.4 彗差、像散、场曲、畸变

-2.7.5 垂轴像差、波像差

--2.7.5 垂轴像差、波像差

-2.7.6 光学传递函数

--2.7.6 光学传递函数

-第七次作业(像差)--作业

上篇:应用光学——人眼

-2.8.1 人眼的光学模型

--2.8.1 人眼的光学模型

-2.8.2 人眼的缺陷与校正

--2.8.2 人眼的缺陷与校正

-2.8.3 人眼的景深

--2.8.3 人眼的景深

上篇:应用光学——光学系统的分辨率

-2.9.1 光学系统的分辨率

--2.9.1 光学系统的分辨率

-上篇:应用光学——光学系统的分辨率(光学系统分辨率)

-2.9.2 人眼的分辨率

--2.9.2 人眼的分辨率

-上篇:应用光学——光学系统的分辨率--第八次作业(人眼)

上篇:应用光学——放大镜

-2.10.1 放大镜

--2.10.1 放大镜

-上篇:应用光学——放大镜--第八次作业(放大镜)

-2.10.2 放大镜的光束限制和视场及目镜

--2.10.2 放大镜的光束限制和视场及目镜

上篇:应用光学——望远系统

-2.11.1 望远系统

--2.11.1 望远系统

-2.11.2 望远镜的放大倍率

--2.11.2 望远镜的放大倍率

-2.11.3 望远镜的视觉放大率

--2.11.3 望远镜的视觉放大率

-2.11.4 望远镜的分辨率

--2.11.4 望远镜的分辨率

-第九次作业(望远镜)--作业

上篇:应用光学——显微系统

-2.12.1 显微镜及其放大率

--2.12.1 显微镜及其放大率

-2.12.2 显微镜的视觉放大率

--2.12.2 显微镜的视觉放大率

-2.12.3 显微镜的孔径光阑

--2.12.3 显微镜的孔径光阑

-2.12.4 显微镜的机械筒长

--2.12.4 显微镜的机械筒长

-2.12.5 显微镜的分辨率及有效放大率

--2.12.5 显微镜的分辨率

-2.12.6 显微镜的景深

--2.12.6 显微镜的景深

-2.12.7 显微镜的照明系统

--2.12.7 显微镜的照明系统

-第九次作业(显微镜)--作业

下篇:物理光学——光的电磁性质

-3.1.1 电磁场的波动性

--3.1.1 电磁场的波动性

-3.1.2 平面电磁波及其性质

--3.1.2 平面电磁波及其性质

-3.1.3 球面波与柱面波,光波辐射与辐射能

--3.1.3 球面波与柱面波,光波辐射与辐射能

下篇:物理光学——在两电介质分界面上的折射和反射

-3.2.1 电磁场的连续条件(边界条件)

--3.2.1 电磁场的连续条件(边界条件)

-3.2.2 光在两电介质分界面上的折射与反射

--3.2.2 光在两电介质分界面上的折射与反射

-3.2.3 菲涅耳公式

--3.2.3 菲涅耳公式

-3.2.4 全反射与倏逝波

--3.2.4 全反射与倏逝波

-3.2.5 金属表面的反射

--3.2.5 金属表面的反射

-3.2节课后习题--作业

下篇:物理光学——光的吸收、色散和散射

-3.3.1 光的吸收、色散和散射

--3.3.1 光的吸收、色散和散射

下篇:物理光学——光波的叠加

-3.4.1 光波的叠加

--3.4.1光波的叠加

下篇:物理光学——干涉原理及相干条件

-3.5.1 干涉原理及相干条件

--3.5.1 干涉现象与干涉条件

-3.5节课后习题--作业

下篇:物理光学——杨氏干涉实验

-3.6.1 干涉图样计算

--3.6.1 干涉图样计算

-3.6.2 分波阵面干涉装置的特点

--3.6.2 分波阵面干涉装置的特点

-3.6节课后习题--作业

下篇:物理光学——干涉条纹的对比度及其影响因素

-3.7.1 时间相干性

--3.7.1 时间相干性

-3.7.2 空间相干性

--3.7.2 空间相干性

-下篇:物理光学——干涉条纹的对比度及其影响因素

下篇:物理光学——平板的双光束干涉

-3.8.1 干涉条纹的定域

--3.8.1 干涉条纹的定域

-3.8.2 平行平板产生的等倾干涉

--3.8.2 平行平板产生的等倾干涉

-3.8.3 楔形平板产生的等厚干涉

--3.8.3 楔形平板产生的等厚干涉

-下篇:物理光学——平板的双光束干涉--3.8节课后习题

下篇:物理光学——典型的双光束干涉系统及其应用

-3.9.1 斐索干涉仪

--3.9.1 斐索干涉仪

-3.9.2 迈克尔逊干涉仪

--3.9.2 迈克尔逊干涉仪

-下篇:物理光学——典型的双光束干涉系统及其应用

下篇:物理光学—— 平行平板的多光束干涉及其应用

-3.10.1 平行平板的多光束干涉

--3.10.1 平行平板的多光束干涉

-3.10.2 F-P 干涉仪

--3.10.2 F-P 干涉仪

-3.10.3 光学薄膜基础

--3.10.3 光学薄膜基础

-3.10.4 单层膜与多层膜

--3.10.4 单层膜与多层膜

-3.10课后习题--作业

下篇:物理光学—— 光波的标量衍射理论

-3.11.1 惠更斯—菲涅耳原理

--3.11.1 惠更斯—菲涅耳原理

-3.11.2 菲涅耳—基尔霍夫衍射公式及衍射分类

--3.11.2 菲涅耳—基尔霍夫衍射公式及衍射分类

-3.11节习题--作业

下篇:物理光学—— 典型孔径的夫朗和费衍射

-3.12.1 夫朗和费衍射公式的意义

--3.12.1 夫朗和费衍射公式的意义

-3.12.2 矩孔衍射和单缝衍射

--3.12.2 矩孔衍射和单缝衍射

-3.12.3 圆孔衍射

--3.12.3 圆孔衍射

-3.12节习题--作业

下篇:物理光学—— 光学成像系统的衍射和分辨本领

-3.13.1 成像系统的分辨本领

--3.13.1 成像系统的分辨本领

-下篇:物理光学—— 光学成像系统的衍射和分辨本领

下篇:物理光学—— 多缝的夫朗和费衍射

-3.14.1 双缝与多缝的夫朗和费衍射

--3.14.1 双缝与多缝的夫朗和费衍射

-3.14.2 光栅的分光性能

--3.14.2 光栅的分光性能

-3.14.3 几种典型光栅

--3.14.3 几种典型光栅

-3.14节习题--作业

下篇:物理光学—— 菲涅耳衍射

-3.15.1 圆孔和圆屏(盘)的菲涅耳衍射

--3.15.1 圆孔和圆屏(盘)的菲涅耳衍射

-3.15.2 菲涅耳透镜

--3.15.2 菲涅耳透镜

-下篇:物理光学—— 菲涅耳衍射(菲涅耳衍射)

下篇:物理光学—— 傅立叶光学

-3.16.1 平面波的复振幅分布和空间频率、复杂复振幅及其分解

--3.16.1 平面波的复振幅分布和空间频率、复杂复振幅及其分解

-3.16.2 光波衍射的傅里叶分析方法

--光波衍射的傅里叶分析方法

-3.16.3 透镜的傅立叶变换性质

--3.16.3 透镜的傅立叶变换性质

-3.16.4 相干成像系统分析及相干传递函数

--3.16.4 相干成像系统分析及相干传递函数

-3.16节习题--作业

下篇:物理光学—— 光学信息处理

-3.17.1 非相干成像系统分析及光学传递函数

--3.17.1 非相干成像系统分析及光学传递函数

-3.17.2 阿贝成像理论、波特实验与光学信息处理

--3.17.2 阿贝成像理论、波特实验与光学信息处理

-3.17.3 全息术

--3.17.3全息术

-3.17节习题--作业

下篇:物理光学——光在晶体中传播

-3.18.1 偏振光概述

--3.18.1 偏振光概述

-3.18.2 光在晶体中的传播

--3.18.2 光在晶体中的传播

-3.18.3 单色平面波在晶体中的传播

--3.18.3 单色平面波在晶体中的传播

-3.18.4 单轴晶体中光的传播

--3.18.4 单轴晶体中光的传播

-3.18节习题--作业

下篇:物理光学——光在晶体表面的折射和反射

-3.19.1 光波在晶体表面的折射和反射

--3.19.1 光波在晶体表面的折射和反射

下篇:物理光学—— 晶体偏振器件

-3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(一)

--3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(一)

-3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(二)

--3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(二)

-3.20.2 偏振光和偏振态的琼斯矩阵表示

--3.20.2 偏振光和偏振态的琼斯矩阵表示

-3.20节课后作业--作业

下篇:物理光学——偏振光的变换和测定

-3.21.1 偏振光的变换

--3.21.1 偏振光的变换

-3.21.2 偏振光的测定

--3.21.2 偏振光的测定

-3.21节课后习题--作业

下篇:物理光学——偏振光的干涉

-3.22.1 平面偏振光的干涉

--3.22.1 平面偏振光的干涉

-3.22.2 会聚偏振光的干涉

--3.22.2 会聚偏振光的干涉

-3.22节课后习题--作业

下篇:物理光学——磁光、电光和声光效应

-3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应(一)

--3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应(一)

-3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应(二)

--3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应(二)

-3.23.2 电光效应(一)

--3.23.2 电光效应(一)

-3.23.2 电光效应(二)

--3.23.2 电光效应(二)

-3.23.3 声光效应

--3.23.3 声光效应

-下篇:物理光学——磁光、电光和声光效应--3.23节课后习题

期末考试

-期末考试--作业

常用函数的运算与变换笔记与讨论

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