当前课程知识点：光学工程基础 > 下篇：物理光学——光的电磁性质 > 3.1.2 平面电磁波及其性质 > 3.1.2 平面电磁波及其性质
各位同学大家好
这节课我们学习平面波及其性质
平面波的概念在对光波
进行分析时经常用到
每一个光波可以分解为
许多平面波的叠加
那平面波怎么描述呢
我们先来看看
前面我们学习过的波动方程
这是沿z轴传播的光波的波动方程
电场强度E对z取二阶偏导数
减去v的平方分之一
乘以电场强度对时间t的
二阶偏导数等于零
那么对于磁感应强度B
我们也得到同样形式的
二阶偏微分方程
也是在z的二阶偏导数
减去v的平方分之一
对t的二阶偏导数等于零
那么对这个二阶偏微分方程
我们可以用行波法来进行求解
其中最简单的简谐波
是这个方程的一个特解
也就是cosω z比上v减去t
另外从傅里叶分析方法可以知道
任何形式的振动都可以分解为
许多不同频率的简谐振动的和
因此我们来详细研究
简谐光波的性质具有重要的意义
我们把这个特解
称为单色平面光波的波动函数
我们来看这个式子
其中A和A'分别是电场强度E
和磁感应强度B的振幅矢量
也表示光波的偏振方向
那v是平面波在介质中的传播速度
也就是我们说的光速
这个ω是角频率
余弦函数中ω z比上v减去t
是平面波的余弦振动的一个相位
这个相位
它是空间坐标和时间的函数
表示不同时刻空间
各点的振动状态
那这个相位是表示
振动状态的物理量
振动状态有两层含义
第一个是在确定的时刻
有确定的位置
第二是可以表示
下一个状态的变化趋势
我们根据这个式子就可以预测
它在下一个状态的振动的位置
在这个式子当中
各个物理量的关系是这样的
ω等于2πν，等于2π除以T
这个ν是平面波的频率
T是平面波的周期
如果从波长的角度来看的话
一个波长等于光速乘以时间周期
也就是λ等于v乘以T
这个λ就是平面波的波长
这个时候我们可以把相位写成2π
z比上λ减去t比上周期
另外的话我们还引入了波矢量
用它来表示光的传播
我们先来看一下波面的概念
在某一时刻相位
相同的点的空间位置
我们称为等相面或者是波面
平面波的波面是一个平面
同一波面上
任意一点处的振动相同
这个波面的法线方向
波矢量的方向
我们把这个波矢量叫做k
这个波矢量k的大小等于2π除以λ
我们称之为空间角频率
也可以叫做波数
这样平面波的波函数
可以写成A乘以cosωz比上v减去t
也可以等于A乘以cos kz减去ωt
也可以写成A乘以cos 2π z比上λ
减去t除以时间周期
这样我们就可以得到了
三种形式的平面波的函数
这三种形式的话是完全等价的
具有单一的角频率ω
具有单一的波长λ和单一的周期T
还有单一的空间角频率k
那这个波在时间上和空间上
它是一个无限延续的
可以看出某一固定的时刻
光波在空间上是一个以波长λ
为周期的余弦函数的分布
我们也可以针对
空间中某一固定的点
该点处的光波
是一个以时间T为周期的振动
可以用这个时间周期T
时间频率ν等于T分之一
角频率ω等于2π除以T
来表示它的时间周期性
平面波的时间周期性
和空间周期性是通过
传播速度v来相互联系的
平面波在传播的过程中
它是保持它的相位不变的
等相位面是一个平面
在各向同性介质中
等相位面的法线其实就是光线
光在传播的过程中
它的频率是始终保持不变的
也就是说光的颜色不会发生变化
如果在介质中传播
它的波长λ就不再是
真空中的波长λ0了
而是等于λ0除以介质的折射率n
那么也就是频率不变
但是速度和波长发生了变化
这个平面波
波面传播的速度是相速度v
这个速度可以写为
角频率除以空间角频率
也就是v等于ω除以k
单色平面波具有
周期性和空间周期性
而且在时间上和空间上
是无限长度的没有边界的
任何时间周期性
或者是空间周期性的破坏
都会使得其单色性
和平面性遭到破坏
如果一个平面波的振幅或相位
受到了时间和空间的调制
那么这就属于主动破坏
单色性和平面性
比如我们一个平面波
它经过了一个狭缝
或者是经过了一个透镜
这就都不再是平面波了
那我们前面讨论的平面波
是沿着z轴传播的一个波动方程
那如果这个传播方式
不是沿z方向呢
而是沿任意方向传播呢
那么其传播方向
可以用波矢量k的方向来确定
这个时候k的矢量
就不再是沿着z的方向了
它的方向余弦可以
写为cosα、cosβ和cosγ
这个α、β、γ就是
波矢量k和xyz轴的三个夹角
此时k点乘以r是一个常数
它的相位值是相等的
等相位面在空间上是一个平面
这样的话我们就得到了
这个平面波的表达式
E等于A乘以cosk xcosα（加上）ycosβ
加上zcosγ减去ωt
这个式子表示的就是一个平面波
平面波的波动方程
还可以将cos函数
写为复数的形式和e指数的形式
那我们把它写成什么呢
E等于A乘以e指数i k点
乘以r减去ωt
对于这个复数取实部
我们其实就可以
得到实数形式的波函数
也就是cos函数
这个cos函数表示为
e指数复函数的形式
它只是形式上的一个变化
目的是简化后面的计算
我们是对复数表达式
进行线性运算然后再取它的实部
或者是直接对这个
余弦函数进行计算
最终这两个形式得到的结果
实际上是等价的
另外在实际的运算中
我们只考虑光振动的
空间分布的情形
实际上不考虑
它的一个相位ωt的变化
比如我们在分析光的
干涉和衍射现象的时候
只考虑它的振幅和空间相位因子
具体它的这一点的
这个相位值ωt是多少
我们并不关心
所以我们通常也把ωt
这个作为常数因子就去掉了
最终我们表示光波的
也是表示平面波的幅振幅的时候呢
就只用了A乘以e指数i的k点乘以r
也就是A乘以e指数
ik xcosα加ycosβ加上zcosγ
下面我们再考虑一下
单色平面波的麦克斯韦方程组
我们把这个麦克斯韦方程组写出来
然后把平面波函数代进去
可以看到这个倒三角形哈密顿算符
拉普拉算子作用于
平面波函数的结果呢
它实际上等于ik
而时间微分算子作用于
平面波函数的结果是负的iω
那这样我们把
平面波的波动函数
代入麦克斯韦方程组
可以得到谐变电磁场的
麦克斯韦方程组
这个方程非常简化(简单）
我们可以看到k点乘以E等于零
k点乘以H等于零
k叉乘以E等于ωμ乘以H
k叉乘以H等于负的ωε乘以E
由谐变电磁场的麦克斯韦方程组
我们可以得到以下几个结论
因为这个k和H、E的点乘
它都是等于零的
所以光波的方向也就是k的方向
和H、E是垂直的
这时候我们说光波是一个横波
又因为k和E的叉乘等于H
k和H的叉乘等于负E
所以E、H 、k三者之间
是右手螺旋系且相互垂直
我们来看这个图
这个图其实表示的就是
平面波的一个传播方向
这个传播方向k是沿着z方向的
那它的电场振动和磁场振动
一个是红颜色一个是蓝颜色
这两个方向是垂直于传播方向z的
所以说光波是一个横波
同时电磁场E和磁场B始终同相位
我们将E和B的复振幅做一个比值
可以得到1比上根号εω
正好这个值就等于光波的速度v
它是一个正的实数
所以E和B的振动
它实际上是同相位的
对我们这次课做一个小结
我们学习了单色平面波
波动方程的三种形式
分析了单色平面波的
空间周期性和时间周期性
并且证明了平面波是一个横波
-1.1.1 课程背景和内容简介
-1.1.2 光学工程的特点
--光学工程的特点
-1.1.3 本课程的学习方法
--本课程的学习方法
--外部链接
-1.2.1 微积分基础知识
--微积分基础知识
-1.2.2 光学工程中的常用函数
-1.2.3 常用函数的运算与变换
-扩展阅读
--SPIE课程：Light in Action-Lasers,Cameras&Other Cool Stuff
--SPIE课程：A Day Without Photonics-A Modern Horror Story
--SPIE课程：Advice to Students from Leaders in the Optics&Photonics Community
--版权说明
-2.1.1 基本概念和光线传播基本定律
-2.1.2 成像基本概念
--成像基本概念
-2.1.3 费马原理
--费马原理
-2.1.4 等光程成像
--等光程成像
-2.1.5 常用曲面形状
--常用曲面形状
-第一次作业--作业
-2.2.1 近轴光学基本概念
--近轴光学基本概念
-2.2.2 近轴球面成像
--近轴球面成像
-2.2.3 近轴球面成像放大率
-2.2.4 物像空间及光学不变量
-2.2.5 矩阵光学简介
--矩阵光学简介
-2.2.6 矩阵光学应用
--矩阵光学应用
-第二次作业--作业
-2.3.1 理想光学系统基本概念
-2.3.2 理想光学系统的基点与基面
-2.3.3 图解法求像
-2.3.4 解析法求像
-2.3.5 理想光学系统的放大率
-2.3.6 理想光学系统焦距关系
-2.3.7 理想光学系统组合
-2.3.8 透镜与薄透镜
-2.3.9 远摄型光组和反远距型光组
-第三次作业--作业
-2.4.1 平面反射镜及双平面反射镜
-2.4.2 反射棱镜及其展开和平行平板成像
-2.4.3 反射棱镜成像方向
-2.4.4 棱镜转动定理
-2.4.5 角锥棱镜和折射棱镜
-2.4.6 光学材料简介
-第四次作业--作业
-2.5.1 光阑简介与孔径光阑
-2.5.2 视场光阑与渐晕
-2.5.3 远心光路
-2.5.4 景深
--2.5.4 景深
-第五次作业--作业
-2.6.1 光度学与色度学基础
-2.6.2 视见函数和光度学
-2.6.3 光传播过程中光学量的变化规律
-2.6.4 色度学基本概念
-2.6.5 CIE标准色度学系统
-第六次作业--作业
-2.7.1 球差
--2.7.1 球差
-2.7.2 色差
--2.7.2 色差
-2.7.3 子午像差和弧矢像差
-2.7.4 彗差、像散、场曲、畸变
-2.7.5 垂轴像差、波像差
-2.7.6 光学传递函数
-第七次作业（像差）--作业
-2.8.1 人眼的光学模型
-2.8.2 人眼的缺陷与校正
-2.8.3 人眼的景深
-2.9.1 光学系统的分辨率
-上篇：应用光学——光学系统的分辨率（光学系统分辨率）
-2.9.2 人眼的分辨率
-上篇：应用光学——光学系统的分辨率--第八次作业(人眼)
-2.10.1 放大镜
-上篇：应用光学——放大镜--第八次作业(放大镜)
-2.10.2 放大镜的光束限制和视场及目镜
-2.11.1 望远系统
-2.11.2 望远镜的放大倍率
-2.11.3 望远镜的视觉放大率
-2.11.4 望远镜的分辨率
-第九次作业（望远镜）--作业
-2.12.1 显微镜及其放大率
-2.12.2 显微镜的视觉放大率
-2.12.3 显微镜的孔径光阑
-2.12.4 显微镜的机械筒长
-2.12.5 显微镜的分辨率及有效放大率
-2.12.6 显微镜的景深
-2.12.7 显微镜的照明系统
-第九次作业（显微镜）--作业
-3.1.1 电磁场的波动性
-3.1.2 平面电磁波及其性质
-3.1.3 球面波与柱面波，光波辐射与辐射能
-3.2.1 电磁场的连续条件（边界条件）
-3.2.2 光在两电介质分界面上的折射与反射
-3.2.3 菲涅耳公式
-3.2.4 全反射与倏逝波
-3.2.5 金属表面的反射
-3.2节课后习题--作业
-3.3.1 光的吸收、色散和散射
-3.4.1 光波的叠加
-3.5.1 干涉原理及相干条件
-3.5节课后习题--作业
-3.6.1 干涉图样计算
-3.6.2 分波阵面干涉装置的特点
-3.6节课后习题--作业
-3.7.1 时间相干性
-3.7.2 空间相干性
-下篇：物理光学——干涉条纹的对比度及其影响因素
-3.8.1 干涉条纹的定域
-3.8.2 平行平板产生的等倾干涉
-3.8.3 楔形平板产生的等厚干涉
-下篇：物理光学——平板的双光束干涉--3.8节课后习题
-3.9.1 斐索干涉仪
-3.9.2 迈克尔逊干涉仪
-下篇：物理光学——典型的双光束干涉系统及其应用
-3.10.1 平行平板的多光束干涉
-3.10.2 F-P 干涉仪
-3.10.3 光学薄膜基础
-3.10.4 单层膜与多层膜
-3.10课后习题--作业
-3.11.1 惠更斯—菲涅耳原理
-3.11.2 菲涅耳—基尔霍夫衍射公式及衍射分类
-3.11节习题--作业
-3.12.1 夫朗和费衍射公式的意义
-3.12.2 矩孔衍射和单缝衍射
-3.12.3 圆孔衍射
-3.12节习题--作业
-3.13.1 成像系统的分辨本领
-下篇：物理光学—— 光学成像系统的衍射和分辨本领
-3.14.1 双缝与多缝的夫朗和费衍射
-3.14.2 光栅的分光性能
-3.14.3 几种典型光栅
-3.14节习题--作业
-3.15.1 圆孔和圆屏（盘）的菲涅耳衍射
-3.15.2 菲涅耳透镜
-下篇：物理光学—— 菲涅耳衍射（菲涅耳衍射）
-3.16.1 平面波的复振幅分布和空间频率、复杂复振幅及其分解
--3.16.1 平面波的复振幅分布和空间频率、复杂复振幅及其分解
-3.16.2 光波衍射的傅里叶分析方法
-3.16.3 透镜的傅立叶变换性质
-3.16.4 相干成像系统分析及相干传递函数
-3.16节习题--作业
-3.17.1 非相干成像系统分析及光学传递函数
-3.17.2 阿贝成像理论、波特实验与光学信息处理
-3.17.3 全息术
-3.17节习题--作业
-3.18.1 偏振光概述
-3.18.2 光在晶体中的传播
-3.18.3 单色平面波在晶体中的传播
-3.18.4 单轴晶体中光的传播
-3.18节习题--作业
-3.19.1 光波在晶体表面的折射和反射
-3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(一)
-3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(二)
-3.20.2 偏振光和偏振态的琼斯矩阵表示
-3.20节课后作业--作业
-3.21.1 偏振光的变换
-3.21.2 偏振光的测定
-3.21节课后习题--作业
-3.22.1 平面偏振光的干涉
-3.22.2 会聚偏振光的干涉
-3.22节课后习题--作业
-3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应（一）
-3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应（二）
-3.23.2 电光效应（一）
-3.23.2 电光效应（二）
-3.23.3 声光效应
-下篇：物理光学——磁光、电光和声光效应--3.23节课后习题
-期末考试--作业
