当前课程知识点:光学工程基础 > 下篇:物理光学—— 典型孔径的夫朗和费衍射 > 3.12.1 夫朗和费衍射公式的意义 > 3.12.1 夫朗和费衍射公式的意义
大家好
这一讲我们讲
夫朗和费公式的意义
我们先来看
衍射系统与透镜的作用
夫朗和费衍射
要求的距离z1大于大于
λ分之x1加y1平方的最大值
这是我们上节课讲
夫朗和费衍射距离的时候
提出的要求
我们给一个例子
当λ等于600纳米
x1平方加y1平方的最大值
等于2厘米平方的时候
也就是一个用600纳米波长的光
照明一个2平方厘米的一个孔径
根据这个公式可以求出来
z1要大于大于330米
我们用5倍来代替这个大于大于
就是1500米
可以想象从2厘米孔径
透射出来的光
要在1500米
1.5公里之外来观察
可以想象这个难度是有多大的
因此在夫朗和费衍射中
都要用透镜来观察
这个夫朗和费衍射的图样
我们看一下透镜的作用
实际上透镜是把无穷远处的
衍射图案
成像在透镜的焦面上
也就是在透镜的焦面上
看到的是无穷远处的
衍射图案的一个像
那么问题来了
加上透镜后
衍射公式会怎么变化呢
我们假设这个透镜的焦距是f
当然透镜一般是跟这个孔径面
是紧贴在一起的
紧贴在一起的
为了画图方便
我们把它俩之间
画得有一定的距离
但是应该理解成
它俩的中心是重合的
我们来看
夫朗和费衍射公式的变化
前面给出的夫朗和费衍射公式
是孔径面上的场强分布
或者说孔径面的透射系数的
傅里叶变换
这是我们上一讲给出的
夫朗和费衍射公式的结论
在这个公式中
我们可以看到与这个z1
就是衍射距离z1有关
我们现在用透镜
把z1距离上的衍射图案
拉到了透镜的焦面
就是离这个透镜
也就是离这个孔径屏
f距离的位置上
这个时候我们通过
这个图上的两个三角形
一个是绿的这个大的三角形
没有画完 中间是隔断线
还有一个这个透镜焦面上的
这个三角形
这两个三角形是相似的
因为都有相同的衍射角θ
通过透镜中心的光线
方向是不变的
所以它们的衍射角θ是一样的
根据这两个相似三角形
我们可以看到
它两个直角边的比值
是成比例的
我们现在在无穷远处
建立的面是x'y'面
就是原来的衍射场
分布所在的面
现在的xy是表示的
焦平面上的坐标
这样我们用两个相似三角形的
这个直角边互相成比例
也就是说x'比z1等于x比f'
这两个互相成比例
我们把原来积分公式中的
x比z1,y比z1
用x比f'和y比f'来代替
就是考虑了透镜加入之后
夫朗和费衍射积分公式的变化
它的另外一个变化
是在前面的常数因子里头
常数因子里头
它的距离z1现在实际距离是f
因此用f'代替z1
把常数因子也可以改过来
常数因子应该等于
我们用C表示
应该等于iλf'分之指数项
i kf'加2f'分之x平方加y平方
所以整个夫朗和费衍射积分公式
就变成了一个C
就是我们刚刚说的这个f的函数
乘以这样一个积分
积分号里头是这个
孔径面上的场强分布E(x1,y1)
乘上这个傅里叶变换的核
就是e的ik
乘以这个x1 z1分之
x'加y1 z1分之y'
对x1y1孔径面坐标积分
加上透镜之后
公式中的z1由f'代替了
造成了两个因子的变化
一个是前面我们定义的C
我们叫它复数因子
所以是复数因子
还有一个积分号里头这个
傅里叶变换的核
这一项的变化
它都是与f有关的
我们分别讨论这两个因子
前面这个复数因子
后面我们称它为相位因子
我们先来看复数因子
复数因子的表达式C
等于iλf'分之指数项
指数项里头是ikf'
加2f'分之x平方加y平方
我们现在重点看
指数项里头这个相位因子
r从孔径面中心点到观察点P
它之间的距离是小r
小r我们现在用
两点之间距离的公式
可以写出来
xy是孔径面上的坐标
因此r就等于根号下
f'平方加x平方加y平方
我们用二项式展开式
展开这个r表达式
跟我们前面一样
取到这个完全平方项第二项
就可以得到
f'加2f'分之x平方加y平方
等于r
这样一个表达式
因此说在菲涅耳近似下
f'加2f'平方分之
x平方加y平方
实际上就是这个
孔径面中心C到P点的距离
所以我们前面的复数因子C
就应该等于iλf'分之e的ikr
前头那个展开项
实际上是把r进行了近似
因此这个复数因子项
表示的孔径中心C点
到观察点P点之间的距离r
所造成的这个相位延迟
这个小栏的Δ
下面这个左下角这个小栏的Δ
我们可以看出来
它应该等于孔径面上
(x1,y1)这一点
相对于中心这条光线
轴上这条光线
它这个光程差
接下来我们看这个相位因子
看这个立体图
相位因子可以看的比较明显
立体图θx表示的是
弧矢面上的衍射角
而θy表示的我们说
几何光学里头说的
这个子午面上的这个衍射角
而θx从这个图上我们可以看出
是近似等于孔径面上的横坐标x
和焦距f'的比值
θy等于y比f'
孔径面上其它点发生的光波
与C点的光程差
实际上就可以写出来了
CH 这个立体的这个CH这个光线
长度应该等于x1
孔径面上的坐标
乘以sinθx
加上y1乘以sinθy
把刚才那个近似角度代进去
就可以得到x1乘以x
除以f'加y1乘以y除以f'
实际上δ就是
孔径面上轴心以外的其它点
发出的光波
与中心点发出的光波
到达P点的光程差
所以积分中的相位因子δ
就是我们刚才求出来这个光程差
x1乘x除以f'加y1乘y除以f'
乘上2π除以λ 就是相位差
也就是说这个相位因子δ
表示的是孔径中心外其它点
相对于孔径中心点
传播到P点时候
这个光线的相位的差
所以夫朗和费衍射积分
就是孔径面上
所有点的复振幅相干叠加
最后我们总结一下
夫朗和费衍射公式的意义
前头的积分号前面这个大C
就是这个表达式
表示的是C点
孔径面中心点C点
到观察点P点的相位延迟
而积分号里面这个位相因子
是表示的孔径面上
除了中心点以外的
其它点发出的光波
到达观察点P点
与中心点C的相位差的差
所以整个积分就表示的是
孔径面上各个点
子波的相干叠加
它的整个结果取决于
各点发出的子波
与中心点发出子波的相位差
这就是夫朗和费衍射公式的意义
实际上夫朗和费衍射公式
揭示了惠更斯假设
就是次波和次波相干叠加
这样一个理念
这一讲就讲到这里,谢谢大家
-1.1.1 课程背景和内容简介
-1.1.2 光学工程的特点
--光学工程的特点
-1.1.3 本课程的学习方法
--本课程的学习方法
--外部链接
-1.2.1 微积分基础知识
--微积分基础知识
-1.2.2 光学工程中的常用函数
-1.2.3 常用函数的运算与变换
-扩展阅读
--SPIE课程:Light in Action-Lasers,Cameras&Other Cool Stuff
--SPIE课程:A Day Without Photonics-A Modern Horror Story
--SPIE课程:Advice to Students from Leaders in the Optics&Photonics Community
--版权说明
-2.1.1 基本概念和光线传播基本定律
-2.1.2 成像基本概念
--成像基本概念
-2.1.3 费马原理
--费马原理
-2.1.4 等光程成像
--等光程成像
-2.1.5 常用曲面形状
--常用曲面形状
-第一次作业--作业
-2.2.1 近轴光学基本概念
--近轴光学基本概念
-2.2.2 近轴球面成像
--近轴球面成像
-2.2.3 近轴球面成像放大率
-2.2.4 物像空间及光学不变量
-2.2.5 矩阵光学简介
--矩阵光学简介
-2.2.6 矩阵光学应用
--矩阵光学应用
-第二次作业--作业
-2.3.1 理想光学系统基本概念
-2.3.2 理想光学系统的基点与基面
-2.3.3 图解法求像
-2.3.4 解析法求像
-2.3.5 理想光学系统的放大率
-2.3.6 理想光学系统焦距关系
-2.3.7 理想光学系统组合
-2.3.8 透镜与薄透镜
-2.3.9 远摄型光组和反远距型光组
-第三次作业--作业
-2.4.1 平面反射镜及双平面反射镜
-2.4.2 反射棱镜及其展开和平行平板成像
-2.4.3 反射棱镜成像方向
-2.4.4 棱镜转动定理
-2.4.5 角锥棱镜和折射棱镜
-2.4.6 光学材料简介
-第四次作业--作业
-2.5.1 光阑简介与孔径光阑
-2.5.2 视场光阑与渐晕
-2.5.3 远心光路
-2.5.4 景深
--2.5.4 景深
-第五次作业--作业
-2.6.1 光度学与色度学基础
-2.6.2 视见函数和光度学
-2.6.3 光传播过程中光学量的变化规律
-2.6.4 色度学基本概念
-2.6.5 CIE标准色度学系统
-第六次作业--作业
-2.7.1 球差
--2.7.1 球差
-2.7.2 色差
--2.7.2 色差
-2.7.3 子午像差和弧矢像差
-2.7.4 彗差、像散、场曲、畸变
-2.7.5 垂轴像差、波像差
-2.7.6 光学传递函数
-第七次作业(像差)--作业
-2.8.1 人眼的光学模型
-2.8.2 人眼的缺陷与校正
-2.8.3 人眼的景深
-2.9.1 光学系统的分辨率
-上篇:应用光学——光学系统的分辨率(光学系统分辨率)
-2.9.2 人眼的分辨率
-上篇:应用光学——光学系统的分辨率--第八次作业(人眼)
-2.10.1 放大镜
-上篇:应用光学——放大镜--第八次作业(放大镜)
-2.10.2 放大镜的光束限制和视场及目镜
-2.11.1 望远系统
-2.11.2 望远镜的放大倍率
-2.11.3 望远镜的视觉放大率
-2.11.4 望远镜的分辨率
-第九次作业(望远镜)--作业
-2.12.1 显微镜及其放大率
-2.12.2 显微镜的视觉放大率
-2.12.3 显微镜的孔径光阑
-2.12.4 显微镜的机械筒长
-2.12.5 显微镜的分辨率及有效放大率
-2.12.6 显微镜的景深
-2.12.7 显微镜的照明系统
-第九次作业(显微镜)--作业
-3.1.1 电磁场的波动性
-3.1.2 平面电磁波及其性质
-3.1.3 球面波与柱面波,光波辐射与辐射能
-3.2.1 电磁场的连续条件(边界条件)
-3.2.2 光在两电介质分界面上的折射与反射
-3.2.3 菲涅耳公式
-3.2.4 全反射与倏逝波
-3.2.5 金属表面的反射
-3.2节课后习题--作业
-3.3.1 光的吸收、色散和散射
-3.4.1 光波的叠加
-3.5.1 干涉原理及相干条件
-3.5节课后习题--作业
-3.6.1 干涉图样计算
-3.6.2 分波阵面干涉装置的特点
-3.6节课后习题--作业
-3.7.1 时间相干性
-3.7.2 空间相干性
-下篇:物理光学——干涉条纹的对比度及其影响因素
-3.8.1 干涉条纹的定域
-3.8.2 平行平板产生的等倾干涉
-3.8.3 楔形平板产生的等厚干涉
-下篇:物理光学——平板的双光束干涉--3.8节课后习题
-3.9.1 斐索干涉仪
-3.9.2 迈克尔逊干涉仪
-下篇:物理光学——典型的双光束干涉系统及其应用
-3.10.1 平行平板的多光束干涉
-3.10.2 F-P 干涉仪
-3.10.3 光学薄膜基础
-3.10.4 单层膜与多层膜
-3.10课后习题--作业
-3.11.1 惠更斯—菲涅耳原理
-3.11.2 菲涅耳—基尔霍夫衍射公式及衍射分类
-3.11节习题--作业
-3.12.1 夫朗和费衍射公式的意义
-3.12.2 矩孔衍射和单缝衍射
-3.12.3 圆孔衍射
-3.12节习题--作业
-3.13.1 成像系统的分辨本领
-下篇:物理光学—— 光学成像系统的衍射和分辨本领
-3.14.1 双缝与多缝的夫朗和费衍射
-3.14.2 光栅的分光性能
-3.14.3 几种典型光栅
-3.14节习题--作业
-3.15.1 圆孔和圆屏(盘)的菲涅耳衍射
-3.15.2 菲涅耳透镜
-下篇:物理光学—— 菲涅耳衍射(菲涅耳衍射)
-3.16.1 平面波的复振幅分布和空间频率、复杂复振幅及其分解
--3.16.1 平面波的复振幅分布和空间频率、复杂复振幅及其分解
-3.16.2 光波衍射的傅里叶分析方法
-3.16.3 透镜的傅立叶变换性质
-3.16.4 相干成像系统分析及相干传递函数
-3.16节习题--作业
-3.17.1 非相干成像系统分析及光学传递函数
-3.17.2 阿贝成像理论、波特实验与光学信息处理
-3.17.3 全息术
-3.17节习题--作业
-3.18.1 偏振光概述
-3.18.2 光在晶体中的传播
-3.18.3 单色平面波在晶体中的传播
-3.18.4 单轴晶体中光的传播
-3.18节习题--作业
-3.19.1 光波在晶体表面的折射和反射
-3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(一)
-3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(二)
-3.20.2 偏振光和偏振态的琼斯矩阵表示
-3.20节课后作业--作业
-3.21.1 偏振光的变换
-3.21.2 偏振光的测定
-3.21节课后习题--作业
-3.22.1 平面偏振光的干涉
-3.22.2 会聚偏振光的干涉
-3.22节课后习题--作业
-3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应(一)
-3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应(二)
-3.23.2 电光效应(一)
-3.23.2 电光效应(二)
-3.23.3 声光效应
-下篇:物理光学——磁光、电光和声光效应--3.23节课后习题
-期末考试--作业