当前课程知识点：光学工程基础 > 下篇：物理光学—— 菲涅耳衍射 > 3.15.1 圆孔和圆屏（盘）的菲涅耳衍射 > 3.15.1 圆孔和圆屏（盘）的菲涅耳衍射
大家好
今天我们讲菲涅耳衍射
讲两个问题
一个是菲涅耳波带法
一个是圆孔和圆屏
或者叫圆盘的菲涅耳衍射
我们先来比较一下菲涅耳衍射
与夫琅禾费衍射的区别
这幅图是夫琅禾费衍射的装置图
平面波照明一个孔径
孔径后面用透镜
把衍射波聚焦在透镜的焦面上
我们说用了透镜之后
透镜后焦面上的一点
对应透镜前的一束平面波的一个方向
所以说夫琅禾费衍射
相当于把孔径面上的波
分解成了不同方向的平面波
不同方向的平面波的强度大小
就决定了在观察面上
我们说的衍射面上
它的强度的分布
所以夫琅禾费衍射
我们又可以称它为平面波衍射
夫琅禾费衍射可以用我们前面推导的
夫琅禾费衍射公式
就是透射屏系数的傅里叶变换
得到衍射屏上的强度分布
计算相对来讲
还是比较容易的
可以得到解析解
而菲涅耳衍射
我们看这幅图点光源S发出的
球面波到达这个孔径屏之后
在孔径屏后面有限距离上
放一个观察屏
这时候我们说光源和这个观察屏
离这个孔径屏都是有限距离
属于菲涅耳衍射区
这个时候它发出的次波都是球面波
所以我们叫菲涅耳衍射
为球面波衍射
球面波衍射的时候
可以用菲涅耳衍射积分公式来求
但是我们当初看到的这个
菲涅耳衍射积分公式
相对来讲很复杂
一般情况下得不到解析解
所以就提出了菲涅耳波带法
用菲涅耳波带法来处理菲涅耳衍射
这是菲涅耳波带法的基本处理的示意图
求取S点发出的波面
在P点产生的衍射分布的时候
我们利用菲涅耳波带法
菲涅耳波带的分法是这样的
孔径面σ
S点发出的球面波
在孔径面σ上
是一个球面
连接S点和P点
与σ孔径面相交的O点
O和P之间的距离是r1
下面以P点为中心
以r1+二分之一波长的倍数为单位
划分这个波面呈许多环带
也就是说以r1+λ/2画一个圈
以r1+λ画一个圈
以r1+3λ/2等等
依此类推画这么多圈
这些圈就形成了一个环带
相邻环带的相应点
到P点的光程差为半个波长
相位差为π
P点的复振幅为σ面上
所有环带发出的次波
在P点产生的复振幅的叠加
也就是说我们现在处理的时候
不是一个点一个点发出次波来出来
而是把整个孔径透光部分
画成一个一个环
一个环一个环的来处理
相对来讲比一个点一个点处理
来的容易一些
也就是简化处理过程
观察第j个波带
在P点的复振幅
我们可以得到
就是在孔径面上的环带的半径aj
就是第j个环带
用这个r1+j倍的λ/2平方
减r1的平方
也就是勾股弦定理
可以求出来这个环带的
在平面上的半径
等于根号下j倍的r1乘λ
j是第j个环带的j
我们可以求出波带的面积
就是aj减aj-1
就是j个圆包含的面积
减掉第j-1个环里面这个环
包含的面积
就应该是这个环带的面积
我们可以求出来
这个环带的面积等于πr1λ
r1是O点到P点的距离
πλ都是常数
所以我们发现一个很有趣的现象
就这个环带的面积
跟是某一个环带没有关系
也就是说所有画出来的
环带的面积都是相等的
与它的环带所在的位置叙述
是没有关系的
当r也就是OP之间的距离r
大于大于λ
这一点很容易满足
因为我们观察距离总不能在波长量级
所以r大于大于λ的时候
对同一个波带
我们的Kθ就是前面说的
倾斜因子同一个环带Kθ
就是同一个环带上的倾斜因子
都是一样的
我们视他为常数
由菲涅耳原理可以知道
第j个波带
发出的次波在P点的复振幅
应该是前面有一个球面波
公共因子
大r分之exp的ikR
公共因子提到积分号外面
积分号里面是
r分之exp（ikr）
所以积分号里面是这个环带
发出的次波
因为我们视它的倾斜因子
Kθ都相同了
所以Kθ提到了积分号外面
对于这个小的环带面积积分
就得到了第j个环带
复振幅分布
我们前面说了
各个波带的面积相等
而每一个波带在P点
产生的光波的复振幅
就可以根据这个倾斜因子
我们得到了E1
绝对值大于E2
大于E3
大于E4等等
也就是说离轴近的环带
复振幅绝对值大
离轴远的环带复振幅绝对值小
如果圆环内包含了N个波带
我们把这个N个波带
每个波带产生的复振幅
分布在P点加起来
就可以得到总的P点的复振幅EP
就等于E1+E2+E3+
一直加到n个环带的En
这里头我们刚才说了
相邻的两个环带
它在P点产生的相位差是π
所以他们复振幅
应该是一个正的一个负的
所以应该是E1-E2+E3-E4
所有的奇数都是正的
所有的偶数都是负的
这样一来
我们可以用相互抵消的方法
来处理环带对P点的贡献
第一个环带的一半在里头
我们放着它不动
用第一个环带的外半圈
和第三个环带的内半圈
去抵消第二个环带面积对P点的贡献
他们应该是大致相等的
用这种方法相间的两个奇数环带
抵消中间包含的这个偶数环带
最后得到结果就是
奇数环带的最里边这个
半个环带
加上如果是奇数个
N是奇数的时候
加上最外面这个环带的一半
就得到了P点的复振幅分布
如果N为偶数的时候
就是没有抵消完
偶数的环带没有被抵消完
所以它得到了
第一个环带的一半
加上第倒数第二个环带的一半
减掉最后外面这个环带
因为它是个偶数
所以抵消完之后
它的复振幅分布
就可以得到
当n等于奇数的时候
就是第一个环带的一半
加上最外面环带的一半
当n等于偶数的时候
它约等于第一个环带的一半
减掉最外面偶数环带的一半
用这个相复矢量来表示的时候
我们可以看得更明显一点
a1是第一个环带的相互矢量
这个紫线就表示了
总共合成的P点的复振幅
当n等于偶数的时候
他们是相减的
当n等于奇数的时候
他们是相加的
就是第一个环带的一半
加最后一个环带的一半
或者减最后一个环带的一半
取决于这n是偶数还是奇数
这就是我们最后得到的
Ep总的表达式
等于E1/2+或者-En
我们讨论一下影响Ep的因素
P点的复振幅与强度
取决于圆环包含的波带的数目
和奇偶
N为奇数的时候
P点应该是亮点
因为它是相加的关系
N为偶数的时候
P点应该是暗点
它是相减的关系
因为我们认为倾斜因子的作用
序号小的光强大
序号大的光强小
所以有E1p大于E2p大于E3p大于E4p
它们的振幅的绝对值是依次减小的
第二个特点P点在轴上移动的时候
也就是说r1变化的时候
孔径跟P点之间的距离是r1
r1变化的时候
或者圆孔的大小变化的时候
轴上P点的强度
会发生明暗相间的变化
距离不一样的时候
它表现
划分出来这个波带的奇偶个数不一样
所以划分出奇数个波带是亮点
划分成往后退一点
划分成偶数个波带
它就是暗点
所以沿着轴移动的时候
它是明暗明暗变化的
而孔径的大小变的时候
小的时候可以划分成奇数个波带是亮点
大的时候
稍微大一点
划分成偶数个波带
它就是暗点
所以孔径大小变化的时候
它也是明暗明暗
沿着轴 明暗明暗相间变化的
这是飞鸟衍射的特点
这幅图给出了菲涅耳衍射区内
三个不同距离上
它的衍射斑的分布
一个是五米 八米 十米
我们可以看出来它中心点
时亮时暗
有时候是在8米的时候是亮点
在五米和十米的时候
中间都是暗点
这是菲涅耳衍射的一大特点
第三当孔径很大的时候
也就是说光不受阻拦的时候
自由传播
光自由传播
这时候可分出来这个
波带数就是无穷大
因为孔径无穷大
分出来的波带数就是无穷大
无穷大的时候EN
就是最外面这个
最外面的这个波带的贡献
就趋于0
因为它应该在无穷远处
它对P点的贡献就应该等于0
所以N很大的时候
P点的复振幅
就应该等于第一个环带
复振幅的一半
绝对值的一半
所以它的强度就应该是第一个环带
分出来的半个环带
对P点的贡献的平方
也就等于第一个波带强度的四分之一
所以IP等于I1/4
I1是第一个波带
在P点产生的强度
第四当圆孔不太大的时候
也就是说N不太大的时候
第一个波带和最外面一个波带
差别不大
所以我本认为它E1等于EN
E1等于En的时候
P点的复振幅
就等于E1加减E7
我们前面导出来的一半
E1/2加减En
因为n不太大
E1和En基本相等
所以当n等于奇数的时候
Ep就等于E1
当n等于偶数的时候
Ep就等于0
所以它是0和最大值
0和最大值相间变化
接下来我们看圆孔和圆屏的菲涅耳衍射
圆孔和圆屏的菲涅耳衍射
我们处理的时候
就是要利用菲涅耳波带法
前头我们讲菲涅耳波带法
是讲的一种方法
是处理这种衍射的一种方法
我们现在要具体处理
圆孔或者是圆屏的衍射
对一个圆孔和圆屏的衍射
如果轴上点就是按我们刚才
划分出来的波带
它可以是奇数个波带
或者偶数个波带
在P点产生的可以是亮点
可以是暗点
取决于波带的数目
对于轴外点呢
轴外点划分的时候
就是以轴外点为中心为P点画这个波带
他画出的波带因为不在轴上
所以他画出的这个波带
不能完全呈现出来
所以这个孔径透射出来这个波带
是 不是完整的波带
可能是一个波带的几分之一
所以这个P点
轴外的P点是强是弱
不仅取决于可能划分出来
波带的数目的奇偶
还取决于每个波带露出来的面积
一个共同的特点
就是沿着从轴上往外移动的时候
从轴上点向轴外点移动的时候
我们可以看出来
它仍然是明暗明暗相间变化的
这是菲涅耳衍射的另外一个特点
我们再来看圆盘的菲涅耳衍射
P点的复振幅取决于圆盘边缘
第一个复振幅作用的一半
什么意思呢
就是圆盘挡住的部分
圆盘挡住的部分是不透光的
我们划分波带的时候
只能从圆盘外围开始往外划分
一个波带两个波带
一直划分到无穷多个波带
无穷多
第无穷多个波带
对P点的贡献我们说了
他在无穷远处
所以他对P点的贡献为零
中间的都抵消掉了
最后起作用的
只有第一个波带的一半
第一个波带的一半
对P的复振幅起作用
所以当圆盘不太大的时候
圆盘不太大的时候
我们总能看到P点是一个亮点
所以只有第一个波带
没有人抵消它
第一个波带的一半
对P点有贡献
所以P点永远是亮点
圆盘不太大的时候
圆盘的菲涅耳衍射图样
也呈现出明暗相间的圆环状分布
中心一般为亮点
亮暗程度取决于圆盘的大小
与观察的距离是有关系的
中心点永远是亮点
这一点我们可以用这个
小的钢球做试验
小的钢球挡住光
也相当于一个圆盘
在一个暗室里头
我们可以发现
中间永远是亮点
中间这个亮点是泊松试验发现的
所以又叫泊松亮点
当圆屏很大的时候
就是第一个波带的贡献
圆屏很大
第一个波带距离P点已经很远了
所以它的贡献也可以忽略
这时候Ep就约等于零了
圆屏很大的时候Ep等于0
这就是我们几何光学的结论
圆屏很大的时候
P点看不到什么东西
所以几何光是我们物理光学的一种近似
这一讲就讲到这里
谢谢
-1.1.1 课程背景和内容简介
-1.1.2 光学工程的特点
--光学工程的特点
-1.1.3 本课程的学习方法
--本课程的学习方法
--外部链接
-1.2.1 微积分基础知识
--微积分基础知识
-1.2.2 光学工程中的常用函数
-1.2.3 常用函数的运算与变换
-扩展阅读
--SPIE课程：Light in Action-Lasers,Cameras&Other Cool Stuff
--SPIE课程：A Day Without Photonics-A Modern Horror Story
--SPIE课程：Advice to Students from Leaders in the Optics&Photonics Community
--版权说明
-2.1.1 基本概念和光线传播基本定律
-2.1.2 成像基本概念
--成像基本概念
-2.1.3 费马原理
--费马原理
-2.1.4 等光程成像
--等光程成像
-2.1.5 常用曲面形状
--常用曲面形状
-第一次作业--作业
-2.2.1 近轴光学基本概念
--近轴光学基本概念
-2.2.2 近轴球面成像
--近轴球面成像
-2.2.3 近轴球面成像放大率
-2.2.4 物像空间及光学不变量
-2.2.5 矩阵光学简介
--矩阵光学简介
-2.2.6 矩阵光学应用
--矩阵光学应用
-第二次作业--作业
-2.3.1 理想光学系统基本概念
-2.3.2 理想光学系统的基点与基面
-2.3.3 图解法求像
-2.3.4 解析法求像
-2.3.5 理想光学系统的放大率
-2.3.6 理想光学系统焦距关系
-2.3.7 理想光学系统组合
-2.3.8 透镜与薄透镜
-2.3.9 远摄型光组和反远距型光组
-第三次作业--作业
-2.4.1 平面反射镜及双平面反射镜
-2.4.2 反射棱镜及其展开和平行平板成像
-2.4.3 反射棱镜成像方向
-2.4.4 棱镜转动定理
-2.4.5 角锥棱镜和折射棱镜
-2.4.6 光学材料简介
-第四次作业--作业
-2.5.1 光阑简介与孔径光阑
-2.5.2 视场光阑与渐晕
-2.5.3 远心光路
-2.5.4 景深
--2.5.4 景深
-第五次作业--作业
-2.6.1 光度学与色度学基础
-2.6.2 视见函数和光度学
-2.6.3 光传播过程中光学量的变化规律
-2.6.4 色度学基本概念
-2.6.5 CIE标准色度学系统
-第六次作业--作业
-2.7.1 球差
--2.7.1 球差
-2.7.2 色差
--2.7.2 色差
-2.7.3 子午像差和弧矢像差
-2.7.4 彗差、像散、场曲、畸变
-2.7.5 垂轴像差、波像差
-2.7.6 光学传递函数
-第七次作业（像差）--作业
-2.8.1 人眼的光学模型
-2.8.2 人眼的缺陷与校正
-2.8.3 人眼的景深
-2.9.1 光学系统的分辨率
-上篇：应用光学——光学系统的分辨率（光学系统分辨率）
-2.9.2 人眼的分辨率
-上篇：应用光学——光学系统的分辨率--第八次作业(人眼)
-2.10.1 放大镜
-上篇：应用光学——放大镜--第八次作业(放大镜)
-2.10.2 放大镜的光束限制和视场及目镜
-2.11.1 望远系统
-2.11.2 望远镜的放大倍率
-2.11.3 望远镜的视觉放大率
-2.11.4 望远镜的分辨率
-第九次作业（望远镜）--作业
-2.12.1 显微镜及其放大率
-2.12.2 显微镜的视觉放大率
-2.12.3 显微镜的孔径光阑
-2.12.4 显微镜的机械筒长
-2.12.5 显微镜的分辨率及有效放大率
-2.12.6 显微镜的景深
-2.12.7 显微镜的照明系统
-第九次作业（显微镜）--作业
-3.1.1 电磁场的波动性
-3.1.2 平面电磁波及其性质
-3.1.3 球面波与柱面波，光波辐射与辐射能
-3.2.1 电磁场的连续条件（边界条件）
-3.2.2 光在两电介质分界面上的折射与反射
-3.2.3 菲涅耳公式
-3.2.4 全反射与倏逝波
-3.2.5 金属表面的反射
-3.2节课后习题--作业
-3.3.1 光的吸收、色散和散射
-3.4.1 光波的叠加
-3.5.1 干涉原理及相干条件
-3.5节课后习题--作业
-3.6.1 干涉图样计算
-3.6.2 分波阵面干涉装置的特点
-3.6节课后习题--作业
-3.7.1 时间相干性
-3.7.2 空间相干性
-下篇：物理光学——干涉条纹的对比度及其影响因素
-3.8.1 干涉条纹的定域
-3.8.2 平行平板产生的等倾干涉
-3.8.3 楔形平板产生的等厚干涉
-下篇：物理光学——平板的双光束干涉--3.8节课后习题
-3.9.1 斐索干涉仪
-3.9.2 迈克尔逊干涉仪
-下篇：物理光学——典型的双光束干涉系统及其应用
-3.10.1 平行平板的多光束干涉
-3.10.2 F-P 干涉仪
-3.10.3 光学薄膜基础
-3.10.4 单层膜与多层膜
-3.10课后习题--作业
-3.11.1 惠更斯—菲涅耳原理
-3.11.2 菲涅耳—基尔霍夫衍射公式及衍射分类
-3.11节习题--作业
-3.12.1 夫朗和费衍射公式的意义
-3.12.2 矩孔衍射和单缝衍射
-3.12.3 圆孔衍射
-3.12节习题--作业
-3.13.1 成像系统的分辨本领
-下篇：物理光学—— 光学成像系统的衍射和分辨本领
-3.14.1 双缝与多缝的夫朗和费衍射
-3.14.2 光栅的分光性能
-3.14.3 几种典型光栅
-3.14节习题--作业
-3.15.1 圆孔和圆屏（盘）的菲涅耳衍射
-3.15.2 菲涅耳透镜
-下篇：物理光学—— 菲涅耳衍射（菲涅耳衍射）
-3.16.1 平面波的复振幅分布和空间频率、复杂复振幅及其分解
--3.16.1 平面波的复振幅分布和空间频率、复杂复振幅及其分解
-3.16.2 光波衍射的傅里叶分析方法
-3.16.3 透镜的傅立叶变换性质
-3.16.4 相干成像系统分析及相干传递函数
-3.16节习题--作业
-3.17.1 非相干成像系统分析及光学传递函数
-3.17.2 阿贝成像理论、波特实验与光学信息处理
-3.17.3 全息术
-3.17节习题--作业
-3.18.1 偏振光概述
-3.18.2 光在晶体中的传播
-3.18.3 单色平面波在晶体中的传播
-3.18.4 单轴晶体中光的传播
-3.18节习题--作业
-3.19.1 光波在晶体表面的折射和反射
-3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(一)
-3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(二)
-3.20.2 偏振光和偏振态的琼斯矩阵表示
-3.20节课后作业--作业
-3.21.1 偏振光的变换
-3.21.2 偏振光的测定
-3.21节课后习题--作业
-3.22.1 平面偏振光的干涉
-3.22.2 会聚偏振光的干涉
-3.22节课后习题--作业
-3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应（一）
-3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应（二）
-3.23.2 电光效应（一）
-3.23.2 电光效应（二）
-3.23.3 声光效应
-下篇：物理光学——磁光、电光和声光效应--3.23节课后习题
-期末考试--作业
