当前课程知识点：光学工程基础 > 下篇：物理光学—— 晶体偏振器件 > 3.20.2 偏振光和偏振态的琼斯矩阵表示 > 3.20.2 偏振光和偏振态的琼斯矩阵表示
大家好
这一讲我们讲偏振光
和偏振器件的矩阵表示
偏振的矩阵表示方法
它能够提供一种
最简练的矩阵形式
通过最简单的矩阵运算
来推导由偏振器件
组成的复杂系统
对入射光波的状态作用的结果
而不去关心它的每一个
过程的具体物理含义
这一讲，我们讨论四个问题
一是偏振光的琼斯矢量表示
二是正交偏振给一个定义
三是偏振器件的琼斯矩阵表示
第四讲一下琼斯矩阵的应用
我们先来看偏振光的
琼斯矢量表示
我们知道光波是横波
振动状态垂直于传播方向
所以我们在它
垂直于传播方向的平面内
建立坐标系
我们可以把一个光矢量E
分解到xy坐标轴上
也就是这个公式
Ex方程，Ey方程
其中δx、δy分别是x方向
和y方向的相位
A1和A2分别是它们的振幅
所以Ex、Ey都是复数
我们用复振幅表示
把ωt项去掉
就可以得到Ex、Ey的复振幅
用矩阵表示的时候
我们把Ex写在上面
Ey写在下面
用一个列向量表示这个光矢量
略去公共因kz
就可以得到
E的矩阵形式是A1 e的负iδx
和A2 e的负iδy
提出公共的因子项
A1和e的负iδx
就可以得到矩阵形式是1
a的E的负iδ
其中的a等于A2比A1振幅之比
δ等于δy减δx
就是y方向的相位
和x方向相位的差
琼斯矩阵这两个元素
表示相互垂直的光的矢量分量
琼斯矢量中含有电场强度
E的直角坐标分量的振幅
和相位的全部信息
可以唯一的确定平面波的状态
把刚才的琼斯矢量进行归化
得到归化的琼斯矢量
我们可以把刚才的矢量
除以它的模
就得到归化的矢量
上面给几个具体的例子
第一是光矢量
在y轴方向振动的线偏振光
也就是沿着y方向振动的
一个线偏振光
它的复振幅表示应该是
Ex等于0 Ey等于a
所以它的模也就等于a
归化的琼斯矢量很容易写出来
E也就等于0和1
归化的琼斯矢量
也就是沿y方向振动的
一个线偏振光
第二个例子是
光矢量与x轴成θ角的线偏振光
也就是一个线偏振光
它与x轴成一个θ角度
在这个方向上振动
我们很容易写出来
它的Ex分量等于acosθ
Ey分量等于asinθ
它的模也等于a
所以我们可以把它的x分量
写在上面
y分量写在下面
也就很容易得到这样一个
琼斯矢量
沿与x轴成θ角的这个方向
振动的线偏振光
它的琼斯矢量应该是
cosθ和sinθ组成的
组成的这样一个列向量
这就是线偏振光的一般形式
跟这个它与x轴的夹角θ
有一定的关系
我们由这个一般的表达式
可以得出来
如果是x方向振动的
x方向振动的线偏振光
就应该是(1,0)
沿y方向振动的线偏振光
也就是我们刚才求出来的(0,1)
沿45度方向这个
45度方向振动的线偏振光
应该归化应该是
根号2分之1倍的(1,1)
这样一个琼斯矢量
第二,我们讲正交偏振
也就是定义正交偏振状态
什么是正交偏振状态
我们说任意的两个偏振态
就是用光矢量表示
矩阵形式E1就等于A1和B1
另外一个偏振态E2
就等于A2和B2
如果它们的分量满足E1点E2的
共轭等于零
也就是说它们分量满足
A1乘以A2星加
B1乘以B2星等于零的时候
这两个偏振态我们就说它是
一对正交的偏振态
给出几个正交偏振态的例子
第一个是水平的线偏振光
和垂直的线偏振光
（1，0）和（0，1）它们的点乘算一下
肯定是0的
也就是说水平线偏振光
和垂直的线偏振光
是一对正交偏振态
而第二个例子
左旋的圆偏振光
和右旋的圆偏振光
它俩（1，i）和（1，-i）点乘也是0的
所以它俩也是一对正交偏振态
而最后一组椭圆
椭圆它要正交偏振的话
它的长轴方向应该是
互相垂直的
长轴沿着
x轴的左旋光和一个
长轴沿着y轴的右旋光
它俩的点乘应该等于0
也就是说它俩是一组
正交偏振态
下面我们来讨论
正交偏振态有什么用
我们说任何一种偏振态
都可以用一组特定的
正交态的两个琼斯矢量的
线性组合来表示
也就是说正交偏振态是一个
完备的基矢
它可以把其他的矢量
全部表征出来
用它们的组合表征出来
比方说这个（A，B）是组成的
任意一个偏振态
我们可以用一个线偏振光
水平线偏振光和垂直线偏振光
两个来组成这个（A，B）
也就是这个例子
A乘以（1，0）加B乘以（0，1）
就组成了刚才的（A，B）
这样一个偏振态
也就是用一对正交的
线偏振光表示任意的偏振态
是可以的
而且可以用一对正交的
圆偏振光也可以表示这个（A，B）
比方说底下这个例子
(A,B)可以分解成二分之一倍的
A加iB乘以（1，-i）
加二分之一倍的a减iB乘以（1，i）
也就是用一对正交的圆偏振光
左旋圆偏振光和右旋圆偏振光
表示这个矢量(A,B)
其他的例子
比如说一个线偏振光(1,0)
就可以分别表示成(1,0)
和(0,1)的叠加
当然前头系数是1和0
而它还可以分解为
一束左旋圆偏振光
和一束右旋圆偏振光合成
也就是说二分之一的
左旋圆偏振光
加二分之一的右旋圆偏振光
也可以,也可以代表这个(1,0)
这个线偏振光
而一个右旋圆偏振光
比方说这个（2，i）组成这个
右旋圆偏振光
我们可以把它分解成
两个线偏振光， (1,0) 2倍
加(0,1)的i倍
所以它们合成的
也是一个圆偏振光
我们还可以用左旋和右旋
圆偏振光表示这个圆偏振光
也就是二分之一倍的
（1，-i)加二分之三倍的(1,i)
也可以表示这个左旋圆偏振光
第三我们来讲偏振器件的
琼斯矩阵表示
偏振器件
刚才我们讲的是偏振光
是一个琼斯矢量
我们现在要把一个琼斯矢量
转化成另一个琼斯矢量
中间要通过偏振器件
偏振器件它的矩阵怎么表示
这是我们这里要讨论的问题
实际上从入射的偏振态
到出射的偏振态
中间是偏振器件
偏振器件它的作用是什么
偏振器件实际上
是一个坐标变换关系
我们把它
写成矩阵的形式
就是这样一个形式
器件的琼斯矩阵
我们一般用大G表示
偏振器件在偏振态转换中
起着线性变换的作用
新的偏振态的两个分量
是原来偏振态两个分量的
线性组合
下面我们举几个求取
琼斯矩阵的例子
就是偏振器件这样一个例子
首先看一个透光轴
与x轴成θ角的线偏振器的
琼斯矩阵
也就是我们说的起偏器
或者说检偏器
它这样一个矩阵怎么表示
它的告诉你了
透光轴与x轴成θ角
这样一个起偏器
或者这样一个检偏器
它的矩阵是怎么表示的
我们要写出这个过程
就是把一束偏振态入射的光
转换成另一组只沿着
它这个透光方向出射的
这样一个线偏振光
这样一个过程
我们先把任意一个偏振态
写出来
入射的光的振动
可以表示成E1就是（A1，B1）
也就是沿x轴的分量是A1
沿y轴的分量是B1
我们把它先投影到
这个透光轴上
分解到（A1，B1）
在透光轴上的投影
合起来就是它透光过来的
光矢量
把这个光矢量再分解到
x轴和y轴上
我们就可以得到它的出射光的
矩阵表达式
就是（A2，B2）
实际上这是两次投影关系
这个关系也比较容易写出来
我们对照刚才那个坐标变换
这个矩阵表达式
里头可以就可以得到
这个线偏振光这个大G
这个转换矩阵
这就是一个与x轴成θ角的
检偏器或者线偏振器
它的琼斯矩阵的表达式
我们再来看一个
快轴与x轴成θ角
产生的相位差δ
这样一个波片的琼斯矩阵
怎么表示
其实过程跟刚才那个过程
求取是一样的
先把任意一个矢量
入射光矢量（A1，B1）
分解到快轴上和慢轴上
我们可以写出来它分解出来
这个表达式
可以写出这个过程的琼斯矩阵
表达形式就是
把它分解到快轴上的表达形式
完后我们在考虑慢轴
相对于快轴有一个相位延迟
也就是这个慢轴相对于快轴
是这样一个引入的相位差
这样的一个过程
就是A1是沿快轴方向的投影
它应该相位不变
就是A1"
完后B1"要考虑相位延迟
就是B1'乘以一个E的
iδ的相位延迟
这个过程中首先要定好
快轴和慢轴的方向
当然它要告诉你
跟快轴的方向夹角是θ
完后要考虑波片的
相位延迟作用
也就是慢轴相对于快轴
有一个δ的相位延迟
透过这个波片之后
这个矩阵就是从A1'
B1'到A1"到B1"
这个过程这个矩阵
我们可以写出来
完后第三步再把它俩
两个分量A1"
和B1"分解到x轴和y轴上
x轴和y轴上就得到了
它们出射光的分量A2和B2
把它们的琼斯矢量
全部乘起来
就是这样一个表达式
第一个是先投影到快轴慢轴上
第二个考虑相位延迟
第三步再投影回原来的x轴
y轴上
把这三个矩阵乘起来
我们就得到了最终的快轴
与x轴成θ角的
产生相位为δ的
波片的琼斯矩阵
就是这样一个大G
这样一个表达式
我们看这个矩阵的
几个特殊的例子
就是当θ等于45度的时候
就是快轴跟x轴
成45度夹角的时候
这样一个矩阵表达式
我们把θ等于45度带进去
就可以得到这个45度
快轴方向的这样一个
波片的矩阵
形式就比较简单了
在θ等于45度的情况下
我们在给出四分之一波片
和二分之一波片的具体例子
δ等于正负二分之π的时候
就是四分之一波片
把δ等于正负二分之π代入
我们就可以得到G
这个转换矩阵的形式
当δ等于正负π的时候
也就是二分之一波片的时候
矩阵形式就更简单了
G也就等于(0,1;1,0)
最后我们讲一下
琼斯表示法的应用
琼斯表示法我们看出来了
它计算过程非常非常简单
所以它非常容易得到
新的偏振态
比方说我们说一个
左旋圆偏振光
和一个右旋圆偏振光合成
就是(1,-i)加(1,i)
我们很容易直接就得到
二倍的(1,0)
一个沿x轴方向振动的
线偏振光
左旋加右旋等于线
第二它可以计算偏振态的变化
比方说一个偏振光
相继通过N个琼斯矩阵为Gi的
偏振器件
这个过程我们只要把它
每个偏振器件的矩阵表达式
连乘下来就可以得到
出射光表达式
就是说E入表示入射的
光的偏振状态
E入表示入射光的偏振状态
分别乘以
第一个偏振器件的矩阵G1
第二个偏振器件的矩阵G2
等等 一直乘到第N个
偏振器件的矩阵GN
最后就得到了输出的
光的偏振态E出
这个过程相对比较容易
第三,可以利用这样一组关系
把入射光的偏振态
转换到出射光偏振态
这样一个转换矩阵
这样一个关系
知道了入射光和出射光
我们可以求中间的转换矩阵
也就是求偏振器件的矩阵
或者知道了入射光
和偏振器件的表达式
求出射光这是正向问题
或者知道了出射光
也知道了偏振器件,求入射光
这也是一个逆的关系
所以这个过程中
只要知道了其中的两个
就可以求出来第三个
这一讲就讲到这里,谢谢大家
-1.1.1 课程背景和内容简介
-1.1.2 光学工程的特点
--光学工程的特点
-1.1.3 本课程的学习方法
--本课程的学习方法
--外部链接
-1.2.1 微积分基础知识
--微积分基础知识
-1.2.2 光学工程中的常用函数
-1.2.3 常用函数的运算与变换
-扩展阅读
--SPIE课程：Light in Action-Lasers,Cameras&Other Cool Stuff
--SPIE课程：A Day Without Photonics-A Modern Horror Story
--SPIE课程：Advice to Students from Leaders in the Optics&Photonics Community
--版权说明
-2.1.1 基本概念和光线传播基本定律
-2.1.2 成像基本概念
--成像基本概念
-2.1.3 费马原理
--费马原理
-2.1.4 等光程成像
--等光程成像
-2.1.5 常用曲面形状
--常用曲面形状
-第一次作业--作业
-2.2.1 近轴光学基本概念
--近轴光学基本概念
-2.2.2 近轴球面成像
--近轴球面成像
-2.2.3 近轴球面成像放大率
-2.2.4 物像空间及光学不变量
-2.2.5 矩阵光学简介
--矩阵光学简介
-2.2.6 矩阵光学应用
--矩阵光学应用
-第二次作业--作业
-2.3.1 理想光学系统基本概念
-2.3.2 理想光学系统的基点与基面
-2.3.3 图解法求像
-2.3.4 解析法求像
-2.3.5 理想光学系统的放大率
-2.3.6 理想光学系统焦距关系
-2.3.7 理想光学系统组合
-2.3.8 透镜与薄透镜
-2.3.9 远摄型光组和反远距型光组
-第三次作业--作业
-2.4.1 平面反射镜及双平面反射镜
-2.4.2 反射棱镜及其展开和平行平板成像
-2.4.3 反射棱镜成像方向
-2.4.4 棱镜转动定理
-2.4.5 角锥棱镜和折射棱镜
-2.4.6 光学材料简介
-第四次作业--作业
-2.5.1 光阑简介与孔径光阑
-2.5.2 视场光阑与渐晕
-2.5.3 远心光路
-2.5.4 景深
--2.5.4 景深
-第五次作业--作业
-2.6.1 光度学与色度学基础
-2.6.2 视见函数和光度学
-2.6.3 光传播过程中光学量的变化规律
-2.6.4 色度学基本概念
-2.6.5 CIE标准色度学系统
-第六次作业--作业
-2.7.1 球差
--2.7.1 球差
-2.7.2 色差
--2.7.2 色差
-2.7.3 子午像差和弧矢像差
-2.7.4 彗差、像散、场曲、畸变
-2.7.5 垂轴像差、波像差
-2.7.6 光学传递函数
-第七次作业（像差）--作业
-2.8.1 人眼的光学模型
-2.8.2 人眼的缺陷与校正
-2.8.3 人眼的景深
-2.9.1 光学系统的分辨率
-上篇：应用光学——光学系统的分辨率（光学系统分辨率）
-2.9.2 人眼的分辨率
-上篇：应用光学——光学系统的分辨率--第八次作业(人眼)
-2.10.1 放大镜
-上篇：应用光学——放大镜--第八次作业(放大镜)
-2.10.2 放大镜的光束限制和视场及目镜
-2.11.1 望远系统
-2.11.2 望远镜的放大倍率
-2.11.3 望远镜的视觉放大率
-2.11.4 望远镜的分辨率
-第九次作业（望远镜）--作业
-2.12.1 显微镜及其放大率
-2.12.2 显微镜的视觉放大率
-2.12.3 显微镜的孔径光阑
-2.12.4 显微镜的机械筒长
-2.12.5 显微镜的分辨率及有效放大率
-2.12.6 显微镜的景深
-2.12.7 显微镜的照明系统
-第九次作业（显微镜）--作业
-3.1.1 电磁场的波动性
-3.1.2 平面电磁波及其性质
-3.1.3 球面波与柱面波，光波辐射与辐射能
-3.2.1 电磁场的连续条件（边界条件）
-3.2.2 光在两电介质分界面上的折射与反射
-3.2.3 菲涅耳公式
-3.2.4 全反射与倏逝波
-3.2.5 金属表面的反射
-3.2节课后习题--作业
-3.3.1 光的吸收、色散和散射
-3.4.1 光波的叠加
-3.5.1 干涉原理及相干条件
-3.5节课后习题--作业
-3.6.1 干涉图样计算
-3.6.2 分波阵面干涉装置的特点
-3.6节课后习题--作业
-3.7.1 时间相干性
-3.7.2 空间相干性
-下篇：物理光学——干涉条纹的对比度及其影响因素
-3.8.1 干涉条纹的定域
-3.8.2 平行平板产生的等倾干涉
-3.8.3 楔形平板产生的等厚干涉
-下篇：物理光学——平板的双光束干涉--3.8节课后习题
-3.9.1 斐索干涉仪
-3.9.2 迈克尔逊干涉仪
-下篇：物理光学——典型的双光束干涉系统及其应用
-3.10.1 平行平板的多光束干涉
-3.10.2 F-P 干涉仪
-3.10.3 光学薄膜基础
-3.10.4 单层膜与多层膜
-3.10课后习题--作业
-3.11.1 惠更斯—菲涅耳原理
-3.11.2 菲涅耳—基尔霍夫衍射公式及衍射分类
-3.11节习题--作业
-3.12.1 夫朗和费衍射公式的意义
-3.12.2 矩孔衍射和单缝衍射
-3.12.3 圆孔衍射
-3.12节习题--作业
-3.13.1 成像系统的分辨本领
-下篇：物理光学—— 光学成像系统的衍射和分辨本领
-3.14.1 双缝与多缝的夫朗和费衍射
-3.14.2 光栅的分光性能
-3.14.3 几种典型光栅
-3.14节习题--作业
-3.15.1 圆孔和圆屏（盘）的菲涅耳衍射
-3.15.2 菲涅耳透镜
-下篇：物理光学—— 菲涅耳衍射（菲涅耳衍射）
-3.16.1 平面波的复振幅分布和空间频率、复杂复振幅及其分解
--3.16.1 平面波的复振幅分布和空间频率、复杂复振幅及其分解
-3.16.2 光波衍射的傅里叶分析方法
-3.16.3 透镜的傅立叶变换性质
-3.16.4 相干成像系统分析及相干传递函数
-3.16节习题--作业
-3.17.1 非相干成像系统分析及光学传递函数
-3.17.2 阿贝成像理论、波特实验与光学信息处理
-3.17.3 全息术
-3.17节习题--作业
-3.18.1 偏振光概述
-3.18.2 光在晶体中的传播
-3.18.3 单色平面波在晶体中的传播
-3.18.4 单轴晶体中光的传播
-3.18节习题--作业
-3.19.1 光波在晶体表面的折射和反射
-3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(一)
-3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(二)
-3.20.2 偏振光和偏振态的琼斯矩阵表示
-3.20节课后作业--作业
-3.21.1 偏振光的变换
-3.21.2 偏振光的测定
-3.21节课后习题--作业
-3.22.1 平面偏振光的干涉
-3.22.2 会聚偏振光的干涉
-3.22节课后习题--作业
-3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应（一）
-3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应（二）
-3.23.2 电光效应（一）
-3.23.2 电光效应（二）
-3.23.3 声光效应
-下篇：物理光学——磁光、电光和声光效应--3.23节课后习题
-期末考试--作业
