当前课程知识点:光学工程基础 > 下篇:物理光学—— 多缝的夫朗和费衍射 > 3.14.1 双缝与多缝的夫朗和费衍射 > 3.14.1 双缝与多缝的夫朗和费衍射
大家好
这一讲我们讲多缝的
夫朗和费衍射
主要讲两个问题
一先讲双缝的夫朗和费衍射
二再讲多缝的夫朗和费衍射
我们先看双缝的夫朗和费衍射
这幅图是用线光源照明情况下
两个缝的夫朗和费衍射的
工作原理图
前面一个透镜l1
把单缝乘以平行光束
照射到双缝上
两个双缝的宽度都是a
然后通过后面这个l2镜子
可以在l2的焦面上
观察到双缝的夫朗和费衍射
双缝的夫朗和费衍射
可以把这个缝平面上的
孔径透射比写出来
然后代入夫朗和费衍射公式
就可以求得它的夫朗和费衍射项
我们这里用前面讲的
双光束干涉的强度分布公式
IP就等于两个单缝的强度和
再加上两倍的两个单缝相乘的
开平方
乘以cosδ
δ就是两个缝之间的光程差
造成的这个相位差
两个缝的强度相等的时候
也可以写为4倍的
i倍的单缝乘以cos二分之δ平方
这就是两个强度相等的缝
产生的干涉的
强度分布公式
这是在没有考虑衍射的情况下
i单
就是单缝的强度
是作为一个常数来处理的
如果我们把这个i单
单缝的强度分布
用sinα比α
单缝的衍射强度分布
来替代的话
就可以直接得到
双缝夫朗和费衍射的
强度分布公式
i等于4倍的i0口号
sinα比α平方
乘以cos二分之δ平方
其中的α是由于单缝的缝宽
决定的
α等于π除以λ
乘以asinθ
θ是衍射角
而后面这个δ是两束光的相位差
应该等于2π除以λ
乘以dsinθ
所以d 双缝的间距
决定了干涉项的相位差
双缝夫朗和费衍射
强度分布公式
我们可以看出来双缝衍射
是单缝衍射和双缝干涉
共同作用的结果
前面这个i0
是单缝在P0点的强度
sinα比α平方是衍射因子
cos二分之δ平方是干涉因子
由双缝的夫朗和费衍射公式
ip可以来讨论一下
夫朗和费衍射
双缝夫朗和费衍射的这个
衍射图案的特性
其中的α我们前面说了
等于π除以λ
乘以asinθ
a是缝宽度
当α等于π的整数部的时候
asinα等于n倍的λ
这时候可以取得极小值
就是衍射决定这个衍射因子
取得极小值
由于δ等于2π除以λ
乘以dsinθ
这个是决定了干涉项的
这个相位差
δ等于2π的整数倍的时候
dsinθ等于mλ
这个整数用m表示
前面的整数用n表示的
这个整数用m表示
当d3θ等于mλ的时候
取得干涉的极大值
而在条纹中央
就是中央零级的时候
α等于0 n等于0的时候
是衍射中央主极大的位置
而δ等于0 m等于0的时候
干涉零级极大值的位置
这个图是说明了这种双缝干涉的
图象分布的一个分解图
上面是sinα比α的图 曲线
下面是cos二分之δ平方的曲线
cos二分之δ平方表示的是这种
干涉的强度分布
sinα比α是
表示的衍射的强度分布
它们俩是相乘的关系
所以最下面这一条曲线
就是双缝衍射的强度分布图
它应该是衍射的包络调制
假设的强度分布
下来我们讲多缝的夫朗和费衍射
多缝的夫朗和费衍射
计算的时候
可以通过单缝
每个单缝强度分布
就是E等于E0 sinα比α
这是单缝的衍射因子
其中的α等于二分之kasinθ
θ就是衍射角
约等于这个x
就是观察屏上的坐标x
除以透镜的焦距f
相邻的两个缝的中心
到达P点时候光程差
用这个大三角δ表示
它应该等于d倍的sinθ
所以我们得到相邻缝
中心的光程差
相邻缝中心到P点的光程差δ
也就等于2π除以λ
乘以dsinθ
把它们全部复振幅加起来
也就是第一个缝的复振幅
和第二缝 第三缝 第四缝
一直到第n个缝的复振幅
全部加起来
每个缝的强度是一样的
都是E0 sinα比α
不一样的是它们
由于缝的中心位置不一样
它们传到P点的时候
产生附加的相位差不一样
相邻的两个缝的相位差是δ
我们前面写出来了
2π除以λ
乘以dsinθ
这是相邻缝的相位差
而在相邻的缝
应该跟它差2倍的δ
再相邻的缝应该差3倍的δ
所以我们以最上面的缝
或以最下面的缝为基准
把它每一个缝的复振幅写出来
E0 sinα比α
然后第二个是E0 sinα比α
乘以E的iδ
第三个是E0 sinα比α
乘以E的i2倍的δ等等下去
把它们全部求和
就可以得到这是一个
无穷递缩等比数列
应该可以得到E0倍的
sinα比α提出来
1减e的in倍的δ
除以1减eiδ
最后的复振幅分布应该为
E0倍的sinα比α
乘以e的i 大N减1倍的二分之δ
乘以sin二分之n倍的δ
除以sin 二分之δ
这就是多缝衍射的强度分布
多缝衍射的强度分布
由多缝衍射的复振幅分布
和它的共轭相乘
我们就把上面这个公式平方一下
就可以得到P点的强度
IP就等于i0倍的sinα比α的平方
乘以sin 二分之n倍的δ
除以sin 二分之δ
括号平方
这是最终的多缝衍射
强度分布公式
我们可以看出来
前面这个i0是单缝
在P0点的强度
sinα比α 这一项是单缝衍射因子
决定各级主极大的相对强度
而这个sin二分之n倍的δ
除以sin二分之δ平方
是干涉因子
它决定着各级干涉主极大的位置
前面的衍射因子决定了
各主极大的相对强度
把它们画在同一幅图上
最上面是sin二分之n倍的δ
除以sin二分之δ平方
中间这个是sin平方
β比β平方的图
它应该是一个(森格函数)平方
最下面是它俩的乘积
我们可以看出来干涉强度
如果不考虑缝宽的时候
它应该是等高的这种干涉强度
而有 考虑了缝宽之后
两个缝干涉的结果
应该是森格函数调制了的
原来等高的这个强度分布
所以就是一个外头这个包络
是一个森格函数的平方
里面是双光束干涉的强度分布
干涉条纹
我们来讨论一下衍射因子
和干涉因子分别起的作用
干涉因子决定干涉极大
极小值的位置
这我们前面说了
sin二分之n倍δ平方
除以sin二分之δ平方
这是把它俩分解开
前面这个是
sin二分之n倍的δ平方的曲线
下面这个sin二分之δ平方的曲线
它们两个是相除的关系
0除以0的时候
应该是极大值1
而其他0的位置
分子为0 分母不为0的时候
它是0
所以除下来的
平方的结果
就应该是最下面这幅图
是两个主极大
中间有次极大
还有最小值0
我们可以看出来
当这个δ有dsinθ
乘以2π除以λ
构成这个δ
等于2π的整数倍的时候
应该得到dsinθ等于mλ
m是正整数
在这个θ满足的方向上
出现干涉条纹的
主极大值
主极大的强度
应该等于n平方倍的i0
乘以sinα除以α的平方
所以说干涉主极大强度
是单个强度的n平方倍
我们又叫它光谱线
极大值位置
比单个缝产生的强度
扩大了n平方倍
当二分之n倍的δ等于mπ
而dsinθ等于
m加n分之m’倍的λ的时候
m这里的m是0或者整数
而m’不等于大N的整数
就是去掉这个
整数的大N的倍数
可以得到sin n倍的二分之δ等于0
而sin二分之δ不等于0
就是说分子为0分母不为0
这个时候我们可以从强度分布公式
知道它出现干涉极小值0值
两极小值之间有一次极大
两个相邻的主极大之间
有n减1个极小值
有n减2个次极大值
次极大值的位置
由这个强度分布公式
sin二分之n倍的δ
除以sin二分之δ平方
求倒数可以得出来
次极大的位置
这幅图表示了
当大N
就是缝数
等于不同值时候
它这个干涉因子
表现出来的特性
我们可以看出sin二分之n倍的δ平方
除以sin二分之δ平方
可以得出来当n
n就是干涉条纹数
参与干涉的光束数n增大的时候
这个干涉条纹
会变的又细又(锐)
呈现出多缝干涉的特性
这是n等于4 n等于6 n等于8
n等于16的时候
干涉条纹逐渐变窄的过程
再来看衍射项sinα比α平方的
调制作用
当α等于π的整数倍
这个整数我们用n来代替
当α等于nπ的时候
asinθ就等于n倍的λ
这个时候出现衍射的极小值
sinα比α
这个衍射因子决定了
各级主极大的相对强度
当干涉因子决定它是主极大位置
而衍射因子决定
它是极小值位置
这两个位置重合的时候
就出现了缺级
缺级意味着某一级干涉极大
与衍射极小值相遇
这个极大值不出现
我们根据这个公式
可以看出来
当m等于d除以a倍的n的时候
出现缺级
这幅图画出了中间是干涉条纹
外面是衍射包络的
这样一个多光束夫朗和费衍射的
强度分布图
中央衍射主极大
就是中央这个衍射主极大包络里头
包含的这个干涉级次的数目
由d比a决定
d是缝和缝之间的间距
a是缝的宽度
d比a等于几的时候
就可以求出来
这衍射中央主极大里头
有多少个干涉主极大
如果我们讨论缝数n
对衍射分布的影响
也就是说在d
缝和缝的间距
a 缝的宽度不变的时候
缝数n变化的时候
对这个干涉强度影响
各主极大的强度增强n平方倍
n增加的时候
n平方倍的i0
各级主极大
也就是条纹变的又细又锐
表现出多缝干涉的这个特性
条纹细锐特性
这个图是表示条纹细锐的一个图
就是说它的第一个零值点
对应的这个相当于透镜的这个角度
δθ表示了这个条纹的细锐
δθ越小条纹越细
δθ越大条纹越粗
就是δθ是表征条纹细锐的
一个参量
我们叫它主极大的半角宽度
主极大的半角宽度
可以用这两个公式
(连立)得出来
一个是中央主极大的位置
dsinθm
等于m倍的λ
还有一个是dsinθm加δθ
等于m加大N分之一倍的λ
这两个公式连立可以求出来
主极大半角宽度δθ
δθ就等于大N倍的d
cosθm分之λ
所以说δθ是正比于n平方分之一的
大N平方分之一
大N代表参与干涉的光束的数目
所以N越大的时候
这个条纹的主极大半角宽度
δθ越小
就是说条纹变的又细又锐
还可以得到一个结论
在缝和缝的间距d
缝的宽度a一定的时候
各级主极大的位置相对强度
和缺级都是不变的
这一讲就讲到这里谢谢
-1.1.1 课程背景和内容简介
-1.1.2 光学工程的特点
--光学工程的特点
-1.1.3 本课程的学习方法
--本课程的学习方法
--外部链接
-1.2.1 微积分基础知识
--微积分基础知识
-1.2.2 光学工程中的常用函数
-1.2.3 常用函数的运算与变换
-扩展阅读
--SPIE课程:Light in Action-Lasers,Cameras&Other Cool Stuff
--SPIE课程:A Day Without Photonics-A Modern Horror Story
--SPIE课程:Advice to Students from Leaders in the Optics&Photonics Community
--版权说明
-2.1.1 基本概念和光线传播基本定律
-2.1.2 成像基本概念
--成像基本概念
-2.1.3 费马原理
--费马原理
-2.1.4 等光程成像
--等光程成像
-2.1.5 常用曲面形状
--常用曲面形状
-第一次作业--作业
-2.2.1 近轴光学基本概念
--近轴光学基本概念
-2.2.2 近轴球面成像
--近轴球面成像
-2.2.3 近轴球面成像放大率
-2.2.4 物像空间及光学不变量
-2.2.5 矩阵光学简介
--矩阵光学简介
-2.2.6 矩阵光学应用
--矩阵光学应用
-第二次作业--作业
-2.3.1 理想光学系统基本概念
-2.3.2 理想光学系统的基点与基面
-2.3.3 图解法求像
-2.3.4 解析法求像
-2.3.5 理想光学系统的放大率
-2.3.6 理想光学系统焦距关系
-2.3.7 理想光学系统组合
-2.3.8 透镜与薄透镜
-2.3.9 远摄型光组和反远距型光组
-第三次作业--作业
-2.4.1 平面反射镜及双平面反射镜
-2.4.2 反射棱镜及其展开和平行平板成像
-2.4.3 反射棱镜成像方向
-2.4.4 棱镜转动定理
-2.4.5 角锥棱镜和折射棱镜
-2.4.6 光学材料简介
-第四次作业--作业
-2.5.1 光阑简介与孔径光阑
-2.5.2 视场光阑与渐晕
-2.5.3 远心光路
-2.5.4 景深
--2.5.4 景深
-第五次作业--作业
-2.6.1 光度学与色度学基础
-2.6.2 视见函数和光度学
-2.6.3 光传播过程中光学量的变化规律
-2.6.4 色度学基本概念
-2.6.5 CIE标准色度学系统
-第六次作业--作业
-2.7.1 球差
--2.7.1 球差
-2.7.2 色差
--2.7.2 色差
-2.7.3 子午像差和弧矢像差
-2.7.4 彗差、像散、场曲、畸变
-2.7.5 垂轴像差、波像差
-2.7.6 光学传递函数
-第七次作业(像差)--作业
-2.8.1 人眼的光学模型
-2.8.2 人眼的缺陷与校正
-2.8.3 人眼的景深
-2.9.1 光学系统的分辨率
-上篇:应用光学——光学系统的分辨率(光学系统分辨率)
-2.9.2 人眼的分辨率
-上篇:应用光学——光学系统的分辨率--第八次作业(人眼)
-2.10.1 放大镜
-上篇:应用光学——放大镜--第八次作业(放大镜)
-2.10.2 放大镜的光束限制和视场及目镜
-2.11.1 望远系统
-2.11.2 望远镜的放大倍率
-2.11.3 望远镜的视觉放大率
-2.11.4 望远镜的分辨率
-第九次作业(望远镜)--作业
-2.12.1 显微镜及其放大率
-2.12.2 显微镜的视觉放大率
-2.12.3 显微镜的孔径光阑
-2.12.4 显微镜的机械筒长
-2.12.5 显微镜的分辨率及有效放大率
-2.12.6 显微镜的景深
-2.12.7 显微镜的照明系统
-第九次作业(显微镜)--作业
-3.1.1 电磁场的波动性
-3.1.2 平面电磁波及其性质
-3.1.3 球面波与柱面波,光波辐射与辐射能
-3.2.1 电磁场的连续条件(边界条件)
-3.2.2 光在两电介质分界面上的折射与反射
-3.2.3 菲涅耳公式
-3.2.4 全反射与倏逝波
-3.2.5 金属表面的反射
-3.2节课后习题--作业
-3.3.1 光的吸收、色散和散射
-3.4.1 光波的叠加
-3.5.1 干涉原理及相干条件
-3.5节课后习题--作业
-3.6.1 干涉图样计算
-3.6.2 分波阵面干涉装置的特点
-3.6节课后习题--作业
-3.7.1 时间相干性
-3.7.2 空间相干性
-下篇:物理光学——干涉条纹的对比度及其影响因素
-3.8.1 干涉条纹的定域
-3.8.2 平行平板产生的等倾干涉
-3.8.3 楔形平板产生的等厚干涉
-下篇:物理光学——平板的双光束干涉--3.8节课后习题
-3.9.1 斐索干涉仪
-3.9.2 迈克尔逊干涉仪
-下篇:物理光学——典型的双光束干涉系统及其应用
-3.10.1 平行平板的多光束干涉
-3.10.2 F-P 干涉仪
-3.10.3 光学薄膜基础
-3.10.4 单层膜与多层膜
-3.10课后习题--作业
-3.11.1 惠更斯—菲涅耳原理
-3.11.2 菲涅耳—基尔霍夫衍射公式及衍射分类
-3.11节习题--作业
-3.12.1 夫朗和费衍射公式的意义
-3.12.2 矩孔衍射和单缝衍射
-3.12.3 圆孔衍射
-3.12节习题--作业
-3.13.1 成像系统的分辨本领
-下篇:物理光学—— 光学成像系统的衍射和分辨本领
-3.14.1 双缝与多缝的夫朗和费衍射
-3.14.2 光栅的分光性能
-3.14.3 几种典型光栅
-3.14节习题--作业
-3.15.1 圆孔和圆屏(盘)的菲涅耳衍射
-3.15.2 菲涅耳透镜
-下篇:物理光学—— 菲涅耳衍射(菲涅耳衍射)
-3.16.1 平面波的复振幅分布和空间频率、复杂复振幅及其分解
--3.16.1 平面波的复振幅分布和空间频率、复杂复振幅及其分解
-3.16.2 光波衍射的傅里叶分析方法
-3.16.3 透镜的傅立叶变换性质
-3.16.4 相干成像系统分析及相干传递函数
-3.16节习题--作业
-3.17.1 非相干成像系统分析及光学传递函数
-3.17.2 阿贝成像理论、波特实验与光学信息处理
-3.17.3 全息术
-3.17节习题--作业
-3.18.1 偏振光概述
-3.18.2 光在晶体中的传播
-3.18.3 单色平面波在晶体中的传播
-3.18.4 单轴晶体中光的传播
-3.18节习题--作业
-3.19.1 光波在晶体表面的折射和反射
-3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(一)
-3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(二)
-3.20.2 偏振光和偏振态的琼斯矩阵表示
-3.20节课后作业--作业
-3.21.1 偏振光的变换
-3.21.2 偏振光的测定
-3.21节课后习题--作业
-3.22.1 平面偏振光的干涉
-3.22.2 会聚偏振光的干涉
-3.22节课后习题--作业
-3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应(一)
-3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应(二)
-3.23.2 电光效应(一)
-3.23.2 电光效应(二)
-3.23.3 声光效应
-下篇:物理光学——磁光、电光和声光效应--3.23节课后习题
-期末考试--作业