当前课程知识点:光学工程基础 > 下篇:物理光学—— 菲涅耳衍射 > 3.15.2 菲涅耳透镜 > 3.15.2 菲涅耳透镜
大家好
今天我们继续讲菲涅耳衍射
讲菲涅耳衍射的具体应用
叫菲涅耳透镜
又叫菲涅耳波带片
前面我们讲的菲涅耳波带法
实际上只是处理近距离的衍射
孔径衍射的一种方法
而这里的菲涅耳透镜
是实实在在的一种物理存在
就是一个特殊的光阑
这个特殊的光阑
是我们用菲涅耳波带法
做出来的一个透光不透光
相间的这样一个器件
它的功能是有很强的聚光作用
就是你把一个不透明的屏
按照菲涅耳波带法
画成一个一个波带
画成波带之后
把奇数的波带去掉
或者把偶数的波带去掉
只留下奇数的
这时候它透光的部分
和轴上点对P点的贡献
近似都等于是同相位的
所以透光部分上的Q点
到P点的距离
和轴上点O点到P点的距离
QP减OP都等于波长的整数倍
所以它满足这个等光程条件
它们都是同相位相加
所以它具有很强的聚光作用
按数学方法处理
挡去奇数或偶数的波带
留下偶数或奇数的波带
就达到了同相位相加的效果
比方说我们把偶数波带去掉
剩下的奇数波带就等于Ep
就等于E1+E3+E5+E7等等
偶数波带都没了
我们前面已经证明过
每一个波带它的面积是相等的
由勾股弦定理
我们可以求出来这个波带
它在这个平面上这个半径ai
AI可以求出来
就用f加jλ/2平方
减掉f平方
就是这个半径的平方
k平方就等于第j个波带的半径
aj就等于根号下的jfλ
j是第j个波带
f是透镜的焦距
λ是这个波长
f透镜的焦距就可以求出来了
f就等于aj的平方
除以j倍的λ
以20个波带为例
我们用波带法
把这样一个环面
划分成了20个波带
挡住10个波带 露出10个波带
所以这时候P点的复振幅
用我们前面的波带法
可以得到EP
应该约等于10倍的EE
就是说第一个波带的10倍
P点的复振幅
是第一个波带
在P点产生复振幅的10倍
P点的光强
就应该等于第一个波带
在P点产生光强的100倍
我们前面说过
没有衍射屏的时候
P点的强度
应该等于第一个波带
在P点产生强度的四分之一
所以有10个波带
透的这种菲涅耳透镜
和没有衍射屏时候的
这个情况相比
它的强度是增加了400倍的
一个是100倍的I1
一个是1/4的I1
所以它的强度
P点的强度是没有衍射时
P点强度的400倍
所以我们说菲涅耳透镜
具有聚焦的作用
这两个图是菲涅耳透镜的
实际拍摄的图
这个是环形的奇数波带透
第二个是偶数波带透
这两边这个一个是矩形的
一个是这个方形的
这都是菲涅耳透镜的形式
它都具有聚焦的作用
这个矩形的这个
相当于一个柱面透镜
聚焦在一条线上
我们来看菲涅耳透镜的成像作用
菲涅耳透镜除了我们刚才说的
它具有聚焦的作用之外
它具有一般透镜的成像功能
我们下面来证明它的
满足我们的成像的这个
物象关系方程
设aj是第j个波带的半径
我们可以证明
它满足物距分之一
加像距分之一
等于焦距分之一
这样一个透镜成像公式
怎么证明呢
物点S和像点S'
和孔径面上任意一点Q
构成了这样一个大的三角形
孔径面所在这个面
和这个SS'连线焦点是O
前面OS是物距L
OS'是像距L'
Q点离O点的距离
是这个Q点的半径aj
这个环带的半径
我们说SQ+QS'-SS'
等于j倍的λ/2
就是说这个斜的
走这两个斜边
这个大三角形的两个斜边
SQ和QS'
和走这个轴上这个SS'
这两个光
它们之间的光程差
是λ/2的倍数
所以我们可以得到
SQ+QS'-SS'
应该等于λ/2*j
把SQ QS'用勾股弦定理
就是用L物距和半径aj
或者像距L'和半径aj
表达出来用菲涅耳近似
就可以得到SQ等于L倍的
1+2L平方分之aj平方
QS'就等于L'
乘以1加2L'分之aj平方
代入
就可以得到这个公式
aj平方乘以L分之一
加L'分之一
等于j倍的波长
把这个a平方除过来
就等于1/L+1/L'
等于j倍的λ除以aj平方
我们可以发现
a平方除以jλ
就是我们前头说的
菲涅耳透镜的焦距
所以就得到了成像公式
1/L+1/L'
等于1/f
这样一个物像关系式
L是物距 L'是像距 f是焦距
所以物像关系式成立
所以我们说菲涅耳透镜
除了具有聚焦作用之外
还有一般透镜的成像作用
与一般透镜的特点相比较
菲涅耳透镜的特点是
一具有一般透镜的聚焦
成像作用
二有多个实焦点和虚焦点
这是它与一般透镜不一样的地方
除主焦点
我们刚才求出来的主焦点fy
对应的还有f/3
f/5 f/7等等一些次焦点
除了次焦点之外
在菲涅耳透镜的前面
还有一些虚焦点
-f -f/3 -f/5
等等焦点
为什么有这些次焦点
和虚焦点呢
因为
原来在P点分出来
是一个整数波带
我们在1/3距离上
把原来一个整数波带
划分成三个波带
三个波带里头两个互相抵消
剩下一个没有抵消的
互相叠加
在这个三分之一距离上
还可以得到一个
强度稍微弱一些的焦点
所以我们叫它次焦点
第三个特点
焦距与波长成反比
我们刚才求出来了
焦距f应该等于aj平方
除以j倍的λ
所以f是跟波长成反比的
这种我们叫它反常色散
反常色散和一般透镜的正常色散
可以结合起来
有利于消除这个色差
第四个特点
我们知道菲涅耳透镜
把一半的光挡掉了
只透了一半的光
所以它在聚焦的同时
损失了能量
损失了至少一半的能量
为了提高能量利用率
我们把挡住的部分
能量也利用起来
怎么利用呢
把挡住的部分
让它有一个台阶差
这个台阶差
跟空气的折射率的差
可以造成一个补偿的相位差
等于相邻的透的部分的相位
所以这样就可以得到
原来跟它有π相位的
现在就等于2π相位
就互相加强了
这样就得到了一个
二元位相型菲涅耳透镜
所以它把所有的能量
都利用起来了
相邻的波带的相位
是同相位的
所以它们是互相增强的
二元位相型菲涅耳透镜的
制作方法是用照相复制法
就是画一个比较大的菲涅耳透镜
要把它通过微缩照相的方法
微缩照相成满足aj的平方
等于jλf
因为它是它的间距
是半径非常非常的小
所以要用照相微缩的方法
来制作这种
二元位相型菲涅耳透镜
为了再进一步提高能量的利用率
我们把原来的
相邻的两个波带
用一个台阶补偿的方法
把它用更多个台阶来近似
因为原来在一个台阶之内
我们都认为它是同相位的
实际上它的相位差还是很大的
虽然没有超过π
但是它们左右
左边和右边这个相位差很大
为了让它们达到几乎相等的相位
再用这个台阶
来近似这种弧线的曲面
这就是我们说的
这种台阶型菲涅耳透镜
这是一个八台阶
菲涅耳透镜的示意图
就是用这种更细分的八个台阶
来代替原来的两个台阶
这样可以达到相位趋同的目的
也就可以达到这种光能
全部聚焦焦点更集中的目的
最后我们举一个例题
波长λ=563.3nm的平行光
垂直射向直径为2.6mm的圆孔
也就是说这个孔径是2.6mm
所用的波长是563.3nm
与圆孔距离z=1m处
放置一个观察屏 这是条件
问屏幕上正对圆孔中心
P0点的亮度
它是亮点还是暗点
第二问要使P0点变成
和1情况相反的情况
就是刚才如果是亮点
现在要变成暗点
刚才是暗点现在要变成亮点
至少把屏幕向前或向后
移动多少距离
这是一个菲涅耳透镜
应用的例题
这个题的解答
实际上是比较简单的
我们先解第一问
P0点的亮暗
是取决于圆孔包含的波带数
是奇数还是偶数
在平行光正入射的时候
圆孔包含的波带数
用我们前面推导出来的公式
j就等于ρj平方除以z1λ
ρ就是孔的半径
前面给出来的是1.3
完后除以z1乘以λ
我们可以得到
这个答案是j=3
也就是说它可以分出来三个环
因为它是奇数个环带
所以这个时候应该是亮点
第二问
我们要把刚才的亮点变成暗点
需要把这个观察屏
就是P0点的位置
向前或者向后移动
向前移动的时候
刚才划分成的三个波带
就可以划分成
成四个波带的时候
P0点应该从亮点变为暗点
把j等于4代入
刚才的半径的公式里头
我们可以得到
z1'等于750毫米
这个时候就是说从一米的位置
移到750mm的位置
向前移动250毫米可以得到暗点
如果向后移动呢
P0点向后移动的时候
可以把原来划分成
三个波带的孔径
现在划分成两个波带
这个时候也可以得到暗点
把j=2代入刚才的
半径公式里头去
可以得到z1'等于1500毫米
1500毫米减掉一米
就等于500mm
也就是说它向后移动
500毫米的时候
可以得到暗点
也就是说750毫米的时候是暗点
移到1米的时候是亮点
移到一米五的时候又是暗点
这就是这道题揭示出来的
菲涅耳衍射的特点
明暗相间 沿着轴向分布
这一讲就讲到这里谢谢
-1.1.1 课程背景和内容简介
-1.1.2 光学工程的特点
--光学工程的特点
-1.1.3 本课程的学习方法
--本课程的学习方法
--外部链接
-1.2.1 微积分基础知识
--微积分基础知识
-1.2.2 光学工程中的常用函数
-1.2.3 常用函数的运算与变换
-扩展阅读
--SPIE课程:Light in Action-Lasers,Cameras&Other Cool Stuff
--SPIE课程:A Day Without Photonics-A Modern Horror Story
--SPIE课程:Advice to Students from Leaders in the Optics&Photonics Community
--版权说明
-2.1.1 基本概念和光线传播基本定律
-2.1.2 成像基本概念
--成像基本概念
-2.1.3 费马原理
--费马原理
-2.1.4 等光程成像
--等光程成像
-2.1.5 常用曲面形状
--常用曲面形状
-第一次作业--作业
-2.2.1 近轴光学基本概念
--近轴光学基本概念
-2.2.2 近轴球面成像
--近轴球面成像
-2.2.3 近轴球面成像放大率
-2.2.4 物像空间及光学不变量
-2.2.5 矩阵光学简介
--矩阵光学简介
-2.2.6 矩阵光学应用
--矩阵光学应用
-第二次作业--作业
-2.3.1 理想光学系统基本概念
-2.3.2 理想光学系统的基点与基面
-2.3.3 图解法求像
-2.3.4 解析法求像
-2.3.5 理想光学系统的放大率
-2.3.6 理想光学系统焦距关系
-2.3.7 理想光学系统组合
-2.3.8 透镜与薄透镜
-2.3.9 远摄型光组和反远距型光组
-第三次作业--作业
-2.4.1 平面反射镜及双平面反射镜
-2.4.2 反射棱镜及其展开和平行平板成像
-2.4.3 反射棱镜成像方向
-2.4.4 棱镜转动定理
-2.4.5 角锥棱镜和折射棱镜
-2.4.6 光学材料简介
-第四次作业--作业
-2.5.1 光阑简介与孔径光阑
-2.5.2 视场光阑与渐晕
-2.5.3 远心光路
-2.5.4 景深
--2.5.4 景深
-第五次作业--作业
-2.6.1 光度学与色度学基础
-2.6.2 视见函数和光度学
-2.6.3 光传播过程中光学量的变化规律
-2.6.4 色度学基本概念
-2.6.5 CIE标准色度学系统
-第六次作业--作业
-2.7.1 球差
--2.7.1 球差
-2.7.2 色差
--2.7.2 色差
-2.7.3 子午像差和弧矢像差
-2.7.4 彗差、像散、场曲、畸变
-2.7.5 垂轴像差、波像差
-2.7.6 光学传递函数
-第七次作业(像差)--作业
-2.8.1 人眼的光学模型
-2.8.2 人眼的缺陷与校正
-2.8.3 人眼的景深
-2.9.1 光学系统的分辨率
-上篇:应用光学——光学系统的分辨率(光学系统分辨率)
-2.9.2 人眼的分辨率
-上篇:应用光学——光学系统的分辨率--第八次作业(人眼)
-2.10.1 放大镜
-上篇:应用光学——放大镜--第八次作业(放大镜)
-2.10.2 放大镜的光束限制和视场及目镜
-2.11.1 望远系统
-2.11.2 望远镜的放大倍率
-2.11.3 望远镜的视觉放大率
-2.11.4 望远镜的分辨率
-第九次作业(望远镜)--作业
-2.12.1 显微镜及其放大率
-2.12.2 显微镜的视觉放大率
-2.12.3 显微镜的孔径光阑
-2.12.4 显微镜的机械筒长
-2.12.5 显微镜的分辨率及有效放大率
-2.12.6 显微镜的景深
-2.12.7 显微镜的照明系统
-第九次作业(显微镜)--作业
-3.1.1 电磁场的波动性
-3.1.2 平面电磁波及其性质
-3.1.3 球面波与柱面波,光波辐射与辐射能
-3.2.1 电磁场的连续条件(边界条件)
-3.2.2 光在两电介质分界面上的折射与反射
-3.2.3 菲涅耳公式
-3.2.4 全反射与倏逝波
-3.2.5 金属表面的反射
-3.2节课后习题--作业
-3.3.1 光的吸收、色散和散射
-3.4.1 光波的叠加
-3.5.1 干涉原理及相干条件
-3.5节课后习题--作业
-3.6.1 干涉图样计算
-3.6.2 分波阵面干涉装置的特点
-3.6节课后习题--作业
-3.7.1 时间相干性
-3.7.2 空间相干性
-下篇:物理光学——干涉条纹的对比度及其影响因素
-3.8.1 干涉条纹的定域
-3.8.2 平行平板产生的等倾干涉
-3.8.3 楔形平板产生的等厚干涉
-下篇:物理光学——平板的双光束干涉--3.8节课后习题
-3.9.1 斐索干涉仪
-3.9.2 迈克尔逊干涉仪
-下篇:物理光学——典型的双光束干涉系统及其应用
-3.10.1 平行平板的多光束干涉
-3.10.2 F-P 干涉仪
-3.10.3 光学薄膜基础
-3.10.4 单层膜与多层膜
-3.10课后习题--作业
-3.11.1 惠更斯—菲涅耳原理
-3.11.2 菲涅耳—基尔霍夫衍射公式及衍射分类
-3.11节习题--作业
-3.12.1 夫朗和费衍射公式的意义
-3.12.2 矩孔衍射和单缝衍射
-3.12.3 圆孔衍射
-3.12节习题--作业
-3.13.1 成像系统的分辨本领
-下篇:物理光学—— 光学成像系统的衍射和分辨本领
-3.14.1 双缝与多缝的夫朗和费衍射
-3.14.2 光栅的分光性能
-3.14.3 几种典型光栅
-3.14节习题--作业
-3.15.1 圆孔和圆屏(盘)的菲涅耳衍射
-3.15.2 菲涅耳透镜
-下篇:物理光学—— 菲涅耳衍射(菲涅耳衍射)
-3.16.1 平面波的复振幅分布和空间频率、复杂复振幅及其分解
--3.16.1 平面波的复振幅分布和空间频率、复杂复振幅及其分解
-3.16.2 光波衍射的傅里叶分析方法
-3.16.3 透镜的傅立叶变换性质
-3.16.4 相干成像系统分析及相干传递函数
-3.16节习题--作业
-3.17.1 非相干成像系统分析及光学传递函数
-3.17.2 阿贝成像理论、波特实验与光学信息处理
-3.17.3 全息术
-3.17节习题--作业
-3.18.1 偏振光概述
-3.18.2 光在晶体中的传播
-3.18.3 单色平面波在晶体中的传播
-3.18.4 单轴晶体中光的传播
-3.18节习题--作业
-3.19.1 光波在晶体表面的折射和反射
-3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(一)
-3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(二)
-3.20.2 偏振光和偏振态的琼斯矩阵表示
-3.20节课后作业--作业
-3.21.1 偏振光的变换
-3.21.2 偏振光的测定
-3.21节课后习题--作业
-3.22.1 平面偏振光的干涉
-3.22.2 会聚偏振光的干涉
-3.22节课后习题--作业
-3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应(一)
-3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应(二)
-3.23.2 电光效应(一)
-3.23.2 电光效应(二)
-3.23.3 声光效应
-下篇:物理光学——磁光、电光和声光效应--3.23节课后习题
-期末考试--作业