当前课程知识点:光学工程基础 > 下篇:物理光学——杨氏干涉实验 > 3.6.1 干涉图样计算 > 3.6.1 干涉图样计算
大家好
这一讲我们讲杨氏干涉
我们知道杨氏干涉
是典型的分波面干涉
1801年杨氏首次用分波面
干涉的方法实现了光的干涉
这是杨氏干涉的实验原理装置图
入射光的波面
通过一个大的屏上面的两个小孔透过
从这一个波的波面上
选了两个点
就是我们说的分波面干涉的两个
一个波面上的两个小点
然后它们每一点发出球面波
球面波在后面相遇的时候
就会产生干涉
如果是波峰与波峰相遇
就是干涉相长,形成明纹
如果是波峰与波谷相遇的地方
就是暗纹
我们接下来计算干涉图样
这是杨氏干涉的一个装置的
示意图
前面S1、S2所在的面
我们叫它孔径面
坐标是x、y、z
在z等于D的距离上
放置一个观察面
观察面和孔径面是平行的
S1和S2之间的距离
用小d表示
观察面和孔径面之间的距离
用大D表示
从S1、S2发出的光
到达观察点P
P的坐标我们用(x,y,D)表示
我们可以用两点之间的距离公式
就是S1到达P
和S2到达P的
r2和r1的差
来表示这个光程差
光程差的求法
我们这里用一个小的技巧
就是用r2的平方减去r1的平方
先求出来
r2的平方减r1的平方
通过刚才说的r2和r1的
两点之间的距离公式
很容易求出来
r2的平方减r1的平方
就等于2倍的x乘d
而光程差Δ就等于r2减r1
也就等于r2加r1分之
r2平方减r1平方
所以就等于2倍的xd
除以r2加r1
而r2加r1
由于x、y的横向距离
小于小于纵向距离D
所以我们r2加r1用D
2倍的D 大D来表示
所以最后就得到光程差
Δ就等于d除以D乘以x
x是观察点横向坐标
有了光程差
我们可以求出来它的相位差
小δ
小δ就等于2π除以λ
乘以这个光程差
有了光程差和相位差
我们可以写出来光强I的整个
整个表达式
I等于I1加I2
加2倍的根号I1I2
乘以cosδ
δ等于上面这个表达式
2π除以λ乘以光程差Δ
当两束光的光强相同的时候
I1等于I2等于I0的时候
我们可以化简这个I的表达式
I的表达式
最后就得到4倍的I0
cosπd除以λD乘以x的平方
小d是两个孔之间的间距
大D是观察面到孔径面
之间的距离大D
λ是入射光的波长
x是在观察面上的位置坐标
由此我们得到这个光强的分布I
我们就可以进行干涉条纹
亮纹和暗纹位置的计算
当这个cos平方里头这个
πd除以λD x
等于π的整数倍的时候
cos应该等于1
所以它是亮纹的位置
我们这个整数用m表示
后面我们会说它是干涉级次m
当x等于λD除以d的整数倍
m倍的时候
I光强取得最大值
I max等于4倍的I0
就是亮纹的位置
当x等于m加二分之一倍的
λD除以d的时候
I光强取得0值
也就是暗纹的位置
这个图就表示了
用我们计算出来的光强公式
画出来的干涉条纹的
明纹和暗纹的位置
明纹的最大值是4倍的I0
暗纹的值是0
所以它们有比较好的对比度
这个是用HeNe激光器
作为光源
拍摄的干涉条纹
实验得到的干涉条纹
这个是用白光照明下
杨氏双缝干涉拍摄出来的
实验干涉条纹
我们可以看到
它是一幅彩色的干涉条纹
后面我们会讲到
为什么会出现彩色
接下来我们看干涉条纹的意义
我们说杨氏双缝或者双孔
干涉出来的条纹
是一条一条平行于S1和S2连线的
平分线的这样一个
一组平行条纹
条纹 同一条纹上的任一点
到两个光源的光程差
是恒定的
这就是干涉条纹的意义
它是等光程差线
在同一条干涉上条纹任何一点
到达S1和S2的光程差
都是相同的值
m倍的λ
用Δ表示光程差
当r2减r1等于m倍的λ的时候
取得亮纹的位置
当r2减r1
等于m加二分之一倍λ的时候
I取得最小值的位置0
所以干涉条纹代表的是
δ的等值线
也就是等光程差线
等δ线
相邻两干涉条纹间δ变化2π
就是相位差变化2π
δ光程差变化一个波长λ
接下来我们求干涉条纹的间隔e
从这幅图上我们可以看到
第m级干涉条纹
和第m加1级或者m减1级干涉条纹
它们之间的间距是相等的
就用m加1倍的λ
乘以D除以d
减掉mλ倍的D除以d
就可以得到干涉条纹的间距
小e就等于λ倍的D除以d
也就是说干涉条纹的间距
与波长λ,小d是
孔和孔之间的距离小d
和大D
观察面和孔径面之间的距离大D
是相关的
从这个公式我们可以看出
实际上干涉条纹的间距e
是把波长λ放大了D比d这么多倍
大D是观察面
跟孔径面之间的距离
要比小d
就是两个孔之间的距离
要大的多的多
所以就把这个λ放大了很多倍
干涉级次m
干涉级次应该等于m
等于Δ光程差除以λ
也就是说干涉级是用波长度量的
光程差的大小
用波长表示出来的
光程差的大小m
所以干涉级次m
就表示了干涉条纹上每一点
到达两个S1、S2
两个点之间的光程差的大小
如果光程差等于0
m就等于0
m等于0就说明
两个点到达这一条条纹上的
所有的点
它是距离相等的,m等于0
如果m等于1就是说
S1,S2两个孔径到达
这个干涉条纹上的每一点
是差一个波长的
m是干涉级次
我们说一个干涉条纹
应该包含一个亮纹和一个暗纹
才叫一个干涉条纹
δm等于1的时候
也就是相邻的两个干涉条纹
它们的之间的距离δx
就应该等于条纹间距e
也就等于λ倍的D比d
接下来我们看干涉光束的会聚角ω
干涉光束的会聚角
是从S1和S2两点到达P点
相对于P点的这个张角
用ω表示
是到达干涉场某一点
一对相干光束的夹角
这个图是一幅把这个
干涉光束孔径角
画到一个平面上
我们看到S1和S2之间的距离
是小d
孔径面和观察面之间的大D
是表示S1、S2到达P点的
这个距离是约等于的
在杨氏干涉中
由于这个大D大于大于小d
同时大D大于大于x、y
也就是P点的横向坐标
所以我们可以得到
这个ω用弧度表示
约等于小d比大D
这样一来
我们就可以把刚才的
干涉条纹的间距公式e
表示成λ比ω的形式
干涉条纹的间距e
也就等于入射波的波长λ
除以干涉光束的会聚角ω
所以我们知道了入射波的波长λ
知道了干涉光束的会聚角ω
就可以直接写出
它的干涉条纹的间距e
就等于λ除以ω
这个公式具有普遍的意义
e等于λ比ω
它虽然是通过杨氏干涉系统
推导出来的
但是它适用于任何干涉系统
也就是说任何干涉系统
你只要知道了两束光
干涉光束它的会聚角ω
知道了入射波的波长
就可以用这个公式
很方便的计算出干涉条纹的间距e
我们要说明的是
干涉光束的会聚角ω
是随着干涉场的位置不同
ω是会变化的
干涉条纹间距e
等于λ比ω
我们可以看出
e是正比于波长λ
反比于干涉光束的会聚角ω的
这个图就表示了干涉条纹的间距
与波长的关系
我们可以看到不同的波长
也就是不同的颜色
它干涉出来的干涉条纹的间距
是不一样的
当用白光进行干涉的时候
只有在光程差为0
也就是0级干涉条纹
所有的颜色的干涉条纹的明纹
是落在一点的
所以它是明纹
在其他的位置
不同颜色干涉出来的
干涉条纹的间距不一样
所以它们是错开的
颜色是错开的
明纹的位置是错开的
所以形成了是彩色的干涉条纹
我们前面说的是两个点光源
产生的干涉条纹
在垂直于S1、S2连线的法线方向上
比较远的位置来观察
它的干涉条纹的时候
是等间距的直条纹
两个点光源的光场
产生的干涉条纹
应该不只是直条纹
我们看看两个点之间的
S1、S2到达P点的光程差的表达式
我们给出r1和r2的表达式
就是用两点之间的距离公式
就是这个S,r1等于S1P
而r2就等于S2P
把这两个r2和r1的差求出来
就是光程差Δ
就是这个表达式
两个根号下的平方和相减
我们可以由这个公式化简得到
等光程差点的空间轨迹
就是这个x平方
除以二分之Δ平方
减y平方加z平方
除以二分之d平方
减二分之Δ平方
等于1
这是一条什么曲线?
对了,这是一条双曲线
为什么是双曲线呢?
我们看看
从到达两个点的差
为恒定值的曲线是什么呢?
对,是双曲线
到达两个点的差
是恒定值是双曲线
而当Δ等于mλ
就是明纹满足的这个光差公式
代入这个空间轨迹公式中
我们可以看到
这是一个双曲线族
为什么是双曲线族呢?
m等于不同值的时候
得到不同的双曲线
所以它是一个双曲线族
这个图表示了回转双曲面
对用不同的平面
去截这个回转双曲面族的时候
在不同的位置
可以得到不同形状的截线
所以我们说在不同的位置
可以观察到不同形状的干涉条纹
在S1、S2连线法线方向上
我们可以得到平行的直条纹
而在S1,S2连线的方向上
我们观察到的是环形的
圆环形条纹
为什么呢?
因为S1、S2是两个点光源
它们发出的是球面波
两个球面波距离观察点的位置
不一样的时候
一个是大的球面波
一个是小的球面波
两个球面波相交
就应该是圆环
所以在S1、S2连线上
观察到的是圆环条纹
而在其他的位置
应该观察到的是
介于直条纹和圆条纹之间的
圆弧形条纹
这就是杨氏干涉
我们要讲的内容
这一讲就讲到这儿,谢谢大家!
-1.1.1 课程背景和内容简介
-1.1.2 光学工程的特点
--光学工程的特点
-1.1.3 本课程的学习方法
--本课程的学习方法
--外部链接
-1.2.1 微积分基础知识
--微积分基础知识
-1.2.2 光学工程中的常用函数
-1.2.3 常用函数的运算与变换
-扩展阅读
--SPIE课程:Light in Action-Lasers,Cameras&Other Cool Stuff
--SPIE课程:A Day Without Photonics-A Modern Horror Story
--SPIE课程:Advice to Students from Leaders in the Optics&Photonics Community
--版权说明
-2.1.1 基本概念和光线传播基本定律
-2.1.2 成像基本概念
--成像基本概念
-2.1.3 费马原理
--费马原理
-2.1.4 等光程成像
--等光程成像
-2.1.5 常用曲面形状
--常用曲面形状
-第一次作业--作业
-2.2.1 近轴光学基本概念
--近轴光学基本概念
-2.2.2 近轴球面成像
--近轴球面成像
-2.2.3 近轴球面成像放大率
-2.2.4 物像空间及光学不变量
-2.2.5 矩阵光学简介
--矩阵光学简介
-2.2.6 矩阵光学应用
--矩阵光学应用
-第二次作业--作业
-2.3.1 理想光学系统基本概念
-2.3.2 理想光学系统的基点与基面
-2.3.3 图解法求像
-2.3.4 解析法求像
-2.3.5 理想光学系统的放大率
-2.3.6 理想光学系统焦距关系
-2.3.7 理想光学系统组合
-2.3.8 透镜与薄透镜
-2.3.9 远摄型光组和反远距型光组
-第三次作业--作业
-2.4.1 平面反射镜及双平面反射镜
-2.4.2 反射棱镜及其展开和平行平板成像
-2.4.3 反射棱镜成像方向
-2.4.4 棱镜转动定理
-2.4.5 角锥棱镜和折射棱镜
-2.4.6 光学材料简介
-第四次作业--作业
-2.5.1 光阑简介与孔径光阑
-2.5.2 视场光阑与渐晕
-2.5.3 远心光路
-2.5.4 景深
--2.5.4 景深
-第五次作业--作业
-2.6.1 光度学与色度学基础
-2.6.2 视见函数和光度学
-2.6.3 光传播过程中光学量的变化规律
-2.6.4 色度学基本概念
-2.6.5 CIE标准色度学系统
-第六次作业--作业
-2.7.1 球差
--2.7.1 球差
-2.7.2 色差
--2.7.2 色差
-2.7.3 子午像差和弧矢像差
-2.7.4 彗差、像散、场曲、畸变
-2.7.5 垂轴像差、波像差
-2.7.6 光学传递函数
-第七次作业(像差)--作业
-2.8.1 人眼的光学模型
-2.8.2 人眼的缺陷与校正
-2.8.3 人眼的景深
-2.9.1 光学系统的分辨率
-上篇:应用光学——光学系统的分辨率(光学系统分辨率)
-2.9.2 人眼的分辨率
-上篇:应用光学——光学系统的分辨率--第八次作业(人眼)
-2.10.1 放大镜
-上篇:应用光学——放大镜--第八次作业(放大镜)
-2.10.2 放大镜的光束限制和视场及目镜
-2.11.1 望远系统
-2.11.2 望远镜的放大倍率
-2.11.3 望远镜的视觉放大率
-2.11.4 望远镜的分辨率
-第九次作业(望远镜)--作业
-2.12.1 显微镜及其放大率
-2.12.2 显微镜的视觉放大率
-2.12.3 显微镜的孔径光阑
-2.12.4 显微镜的机械筒长
-2.12.5 显微镜的分辨率及有效放大率
-2.12.6 显微镜的景深
-2.12.7 显微镜的照明系统
-第九次作业(显微镜)--作业
-3.1.1 电磁场的波动性
-3.1.2 平面电磁波及其性质
-3.1.3 球面波与柱面波,光波辐射与辐射能
-3.2.1 电磁场的连续条件(边界条件)
-3.2.2 光在两电介质分界面上的折射与反射
-3.2.3 菲涅耳公式
-3.2.4 全反射与倏逝波
-3.2.5 金属表面的反射
-3.2节课后习题--作业
-3.3.1 光的吸收、色散和散射
-3.4.1 光波的叠加
-3.5.1 干涉原理及相干条件
-3.5节课后习题--作业
-3.6.1 干涉图样计算
-3.6.2 分波阵面干涉装置的特点
-3.6节课后习题--作业
-3.7.1 时间相干性
-3.7.2 空间相干性
-下篇:物理光学——干涉条纹的对比度及其影响因素
-3.8.1 干涉条纹的定域
-3.8.2 平行平板产生的等倾干涉
-3.8.3 楔形平板产生的等厚干涉
-下篇:物理光学——平板的双光束干涉--3.8节课后习题
-3.9.1 斐索干涉仪
-3.9.2 迈克尔逊干涉仪
-下篇:物理光学——典型的双光束干涉系统及其应用
-3.10.1 平行平板的多光束干涉
-3.10.2 F-P 干涉仪
-3.10.3 光学薄膜基础
-3.10.4 单层膜与多层膜
-3.10课后习题--作业
-3.11.1 惠更斯—菲涅耳原理
-3.11.2 菲涅耳—基尔霍夫衍射公式及衍射分类
-3.11节习题--作业
-3.12.1 夫朗和费衍射公式的意义
-3.12.2 矩孔衍射和单缝衍射
-3.12.3 圆孔衍射
-3.12节习题--作业
-3.13.1 成像系统的分辨本领
-下篇:物理光学—— 光学成像系统的衍射和分辨本领
-3.14.1 双缝与多缝的夫朗和费衍射
-3.14.2 光栅的分光性能
-3.14.3 几种典型光栅
-3.14节习题--作业
-3.15.1 圆孔和圆屏(盘)的菲涅耳衍射
-3.15.2 菲涅耳透镜
-下篇:物理光学—— 菲涅耳衍射(菲涅耳衍射)
-3.16.1 平面波的复振幅分布和空间频率、复杂复振幅及其分解
--3.16.1 平面波的复振幅分布和空间频率、复杂复振幅及其分解
-3.16.2 光波衍射的傅里叶分析方法
-3.16.3 透镜的傅立叶变换性质
-3.16.4 相干成像系统分析及相干传递函数
-3.16节习题--作业
-3.17.1 非相干成像系统分析及光学传递函数
-3.17.2 阿贝成像理论、波特实验与光学信息处理
-3.17.3 全息术
-3.17节习题--作业
-3.18.1 偏振光概述
-3.18.2 光在晶体中的传播
-3.18.3 单色平面波在晶体中的传播
-3.18.4 单轴晶体中光的传播
-3.18节习题--作业
-3.19.1 光波在晶体表面的折射和反射
-3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(一)
-3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(二)
-3.20.2 偏振光和偏振态的琼斯矩阵表示
-3.20节课后作业--作业
-3.21.1 偏振光的变换
-3.21.2 偏振光的测定
-3.21节课后习题--作业
-3.22.1 平面偏振光的干涉
-3.22.2 会聚偏振光的干涉
-3.22节课后习题--作业
-3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应(一)
-3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应(二)
-3.23.2 电光效应(一)
-3.23.2 电光效应(二)
-3.23.3 声光效应
-下篇:物理光学——磁光、电光和声光效应--3.23节课后习题
-期末考试--作业