当前课程知识点：光学工程基础 > 下篇：物理光学—— 傅立叶光学 > 3.16.4 相干成像系统分析及相干传递函数 > 3.16.4 相干成像系统分析及相干传递函数
各位同学大家好
下面我们学习光学系统
对扩展物体的成像
及质量评价函数
也就是传递函数
我们将分相干照明和非相干照明
两种情况讨论
这一讲主要关注
相干照明的相干成像系统
我们先来回顾一下
传统的几何光学研究的对象
比如望远镜、显微镜
还有照相镜头等等
它的核心问题都是
研究它们的成像特点
和成像质量的评价
那对于一个点物
由于系统的有限孔径
造成的衍射，和系统的像差
这个点物经过成像系统后
会变成一个像斑
而对于扩展物体
它可以看作一系列物点的叠加
它的像就是所有物点
形成的像斑的叠加
那这个时候像和物不会完全相似
图像会出现细节无法分辨
模糊、扭曲等像质变差的情况
传统评价光学系统像质的方法
主要有鉴别率法和星点法等等
它们因为不能反映
成像过程的本质而受到限制
那么如何科学而全面的评价
成像系统质量的好坏
如果我们从傅里叶光学的角度来看
物和像的复振幅或者光强
还可以看作是
一系列空间频谱的线性叠加
定量的描述物体频谱中的
各个频率成分
经过光学系统的传播情况
就可以从本质上
反映物像之间的变化
这就是光学系统的
传递函数的理论
光学系统的传递函数理论
能够比较科学而全面的评价
一个光学系统的成像质量
这是一个成像系统的普遍模型
我们可以从这个普遍模型中
来统一描述成像光学系统
图中包含了成像的
三个过程分别是光波
由物平面到入瞳的平面
再由入瞳的平面要出瞳的平面
再由出瞳的平面到像平面
我们知道对于一个系统而言
只要知道了它的边端的性质
也就能够说明系统的性质
而不需要了解系统的内部情况
光学系统的边端
指的就是它的入瞳和出瞳
下面我们用信息系统理论
来分析成像系统
那什么是线性系统
如果系统的输入可以分解为
一些简单信号的线性叠加
比如δ函数或者是余弦函数
每个信号经过系统
都会得到一个响应
而输出就是所有响应的线性叠加
那这样的系统就是一个线性系统
对于相干成像系统
例如单色平面波照明物体的情况
物面上任意相邻两点的
光振动是相互关联的
像的复振幅分布是
各像斑复振幅的线性叠加
因此相干成像系统
对于复振幅分布而言是线性系统
而对于非相干成像系统
例如扩展光源照明物体的情形
物面上任意相邻两点的
光振动是互不相关的
像的光强分布是
各像斑光强的线性叠加
因此非相干成像系统
对于光强分布而言也是线性系统
我们首先来考察相干成像系统的
物和像的复振幅分布的关系
假设o(x,y)和g(x',y')
分别是物面和像面的复振幅
那么我们就可以
根据线性系统的性质
把物函数o分解
为物面上各个光点的叠加
那经过成像系统以后
每一个点的输入光场
都会产生一个输出
各点输出的线性叠加的总和就是g
那这个示意图就表示了
相干成像系统的成像过程
那一个点物的光场
可以用δ函数来表示
我们知道δ函数的
傅里叶变换它是等于1的
也就是说δ包含了
所有空间频率成分的光场信息
研究它的各频率成分
经过系统后的变化情况
也就知道了成像系统的传递特性
那我们现在考察点物的成像
点物的光场用δ函数表示
它通过成像系统的变换
在像面上产生输出的函数
h(x',y')
这个函数我们叫做点扩散函数
英文称为PSF
对于衍射受限的成像系统
PSF反映衍射的效应
对于有像差的成像系统
PSF反映了系统的
衍射和像差的综合效应
那这张图表示的是光瞳为
圆形的衍射受限系统的
点扩散函数
它实际上是一个圆孔的
夫朗和费衍射的复振幅分布图
我们应该注意
对于物平面上不同位置的点物
它们的点扩散函数一般是不同的
所以h应该是x',x,y,y'的函数
应该写成h(x',y';x,y)
那为了简化处理我们近似的认为
在靠近光轴的等晕区内
点扩散函数只与物点
和像点的坐标差
也就是(x'-x)和(y'-y)相关
也就是和相对位置有关
而与物点的绝对位置无关
也就是说不同位置的点物
其点扩散函数对应于其像点的位置
函数形式是相同的
这一性质我们叫做
成像系统的空间不变性
因此我们可以把PSF
写作h(x'-x,y'-y)
接下来我们来考察
扩展物体的成像问题
我们假设物面上物体的
复振幅分布为o(x,y)
因为连续物体
可以看成一系列的点物
所以o(x,y)可以写成一系列
点物分布的δ函数的线性组合
根据相干成像系统的性质
我们可以得到在像面上
输出函数的表达式g(x',y')
它等于o（ξ,η)乘h(x-ξ,y-η)
然后再进行积分
如果我们用xy代表物面的坐标
那么成像的物像关系
可以写成o和PSF的乘积
在全平面的积分
这个式子在数学上
表示是一个卷积的形式
我们用星号来表示
也就是说g等于o和h的卷积
那这个结果将为运用
傅里叶分析方法
来研究光学系统的
成像问题带来很大的方便
因而十分重要
我们来看这个
扩展物体的卷积过程
从这个图我们可以看到
假设这个物体的复振幅
分布是一个一维的余弦分布
为了获得像函数的卷积
我们先将PSF的曲线
在x轴上进行平移
然后乘上各处的o的值
得到一系列高度
受到o调制的曲线的图形
最后把这些图形叠加起来
就得到了图像的卷积
从这个过程中我们可以看出
像函数幅度和相位的变化
取决于PSF的形状
PSF较窄的时候
我们得到的这个形状是图a的情况
当PSF较宽的时候
我们得到的是图b的情况
那当PSF的宽度为0的时候
像函数和物函数是相同的
因为一个函数
和δ的函数的卷积等于它本身
这个时候物像是完全一致的
那当PSF不对称的时候
也就是图c的情况
那像函数要发生一定的相移
我们前面讨论了空间域的
物像关系式是一个卷积的形式
它的数学描述比较复杂
成像过程也不够直观
下面我们将讨论
空间频率域的物像关系
这里引入了相干
传递函数CTF的概念
首先分别对g、o和h做傅里叶变换
那我们就得到了像的频谱大Gc
物的频谱大Oc和PSF的频谱Hc
那我们首先来看一下
相干成像系统中
空间频率的物理意义
一个物体可以
看作一个复杂的衍射光栅
它的复振幅透射系数是t(x1,y1)
在单色平面波照射下
会产生不同方向的衍射“级次”
“级次”越高衍射角就越大
空间频率u、v也就越大
物体不同部分 细节部分
比粗线条部分周期要小
产生的同一级次的衍射
衍射角要大
那空间频率u和v也较大
我们利用傅里叶变换的卷积定理
也就是在空间域的卷积
等于在频率域的乘积
这样我们可以得到
在空间频率域中
相干成像系统物和像之间的关系
那小h的傅里叶变换
大Hc是相干传递函数
从这个表达式中我们可以看出
相干传递函数等于
像的复振幅分布的频谱
与物的复振幅频谱之比
也就是说如果给出物的分布函数
求它的频谱，乘以相干传递函数
就能够得到像的频谱
所以系统的成像关系在频率域中
比在空间域中要简单得多
相干传递函数它是一个复数
那物和像的频谱也是一个复数
那么我们把这个相干传递函数
Hc写为模和相位的乘积
同样我们可以也可以将
物和像的频谱的幅度
和相位用来表示
相干传递函数的模和相位的表达式
从这个式子中我们可以看出
相干传递函数的模值
表示像和物中频率为(u,v)的
傅里叶分量幅度的变化
幅角表示u和v的傅里叶分量
与几何光学像之间的相移
那对于衍射受限的成像系统
一个点物的像斑
也就是它的点扩散函数
这个是系统的孔径的
夫朗和费衍射图样
我们假设出瞳处的光瞳函数为P
其中(ξ,η)是出瞳面的坐标
那么我们可以得到
物的像斑的复振幅分布
那它的点扩散函数
我们可以得到P（λl'u，λl'v)
的傅里叶变换
同时这个系数A一个常系数
并且一般情况下衍射像斑比较小
l'比像斑要大很多
那这样的二次相位因子
它其实是等于1的
那最终我们
就得到了h等于P（λl'u，λl'v)
的傅里叶变换
我们对这个点扩散函数PSF
做傅里叶变换
我们就可以得到CTF
也就是对这个P
再做一次傅里叶变换
我们知道做两次傅里叶变换
等于取它的负值
那我们得到了
Hc等于P（-λl'u，-λl'v)
由于光瞳通常具有对称性
我们可以将光瞳坐标轴取反方向
这样我们就可以直接写成
Hc等于P（λl'u，λl'v)
那我们知道光瞳函数的值
在出瞳范围内等于1
在出瞳范围外等于0
所以相干传递
函数的数值也是这样的
这就意味着衍射受限的
相干成像系统
在频率域中存在着
一个有限的通频带
物的频谱在这个
频带内的全部频率分量
可以没有畸变的通过系统成像
而在这个通频带之外的
高频成分将会被过滤掉
所以光学成像系统
可以看作是一个低通滤波器
与电路中的低通滤波器效果类似
把通频带内最高频率
称之为截止频率
显然截止频率的存在
是因为系统的
有限出瞳产生的限制
下面我们以常见的圆形出瞳为例
来写出相干传递函数的表达式
并求出相应的截止频率
我们假设出瞳是直径为D的圆孔
那么光瞳函数
可以写成这样的形式
P等于circ函数
相应的可以写出相干
传递函数的形式以及它的分布
从表达式中我们可以得到
当根号u的平方加v的平方
小于2λl'分之大D的时候
这个Hc是等于1的
所以沿着圆孔的任意径向方向
系统的截止频率都是相同的
最后我们来看一个实际的问题
这是一个照相机的一个成像系统
那么它的物距是l,像距是l'
假设物体受相干光照明
并且认为这个系统是没有像差的
那系统的相干传递函数
是由照相镜头的
圆形孔径来决定的
这样它的截止频率
是D比上2λl'
另外因为这个系统的
放大率是l'比上l,不等于1
所以在物面上的截止频率
和像面的截止频率不同
我们最终就可以得到
在物面上的截止频率
是D比上两倍的λl
下面对本节课做一个小结
在本节课中我们学习了
成像系统的普遍模型
并分析了成像系统的
线性和空间不变性
接着我们讨论了
扩展物体的成像
并且学习了成像系统的
相干传递函数
-1.1.1 课程背景和内容简介
-1.1.2 光学工程的特点
--光学工程的特点
-1.1.3 本课程的学习方法
--本课程的学习方法
--外部链接
-1.2.1 微积分基础知识
--微积分基础知识
-1.2.2 光学工程中的常用函数
-1.2.3 常用函数的运算与变换
-扩展阅读
--SPIE课程：Light in Action-Lasers,Cameras&Other Cool Stuff
--SPIE课程：A Day Without Photonics-A Modern Horror Story
--SPIE课程：Advice to Students from Leaders in the Optics&Photonics Community
--版权说明
-2.1.1 基本概念和光线传播基本定律
-2.1.2 成像基本概念
--成像基本概念
-2.1.3 费马原理
--费马原理
-2.1.4 等光程成像
--等光程成像
-2.1.5 常用曲面形状
--常用曲面形状
-第一次作业--作业
-2.2.1 近轴光学基本概念
--近轴光学基本概念
-2.2.2 近轴球面成像
--近轴球面成像
-2.2.3 近轴球面成像放大率
-2.2.4 物像空间及光学不变量
-2.2.5 矩阵光学简介
--矩阵光学简介
-2.2.6 矩阵光学应用
--矩阵光学应用
-第二次作业--作业
-2.3.1 理想光学系统基本概念
-2.3.2 理想光学系统的基点与基面
-2.3.3 图解法求像
-2.3.4 解析法求像
-2.3.5 理想光学系统的放大率
-2.3.6 理想光学系统焦距关系
-2.3.7 理想光学系统组合
-2.3.8 透镜与薄透镜
-2.3.9 远摄型光组和反远距型光组
-第三次作业--作业
-2.4.1 平面反射镜及双平面反射镜
-2.4.2 反射棱镜及其展开和平行平板成像
-2.4.3 反射棱镜成像方向
-2.4.4 棱镜转动定理
-2.4.5 角锥棱镜和折射棱镜
-2.4.6 光学材料简介
-第四次作业--作业
-2.5.1 光阑简介与孔径光阑
-2.5.2 视场光阑与渐晕
-2.5.3 远心光路
-2.5.4 景深
--2.5.4 景深
-第五次作业--作业
-2.6.1 光度学与色度学基础
-2.6.2 视见函数和光度学
-2.6.3 光传播过程中光学量的变化规律
-2.6.4 色度学基本概念
-2.6.5 CIE标准色度学系统
-第六次作业--作业
-2.7.1 球差
--2.7.1 球差
-2.7.2 色差
--2.7.2 色差
-2.7.3 子午像差和弧矢像差
-2.7.4 彗差、像散、场曲、畸变
-2.7.5 垂轴像差、波像差
-2.7.6 光学传递函数
-第七次作业（像差）--作业
-2.8.1 人眼的光学模型
-2.8.2 人眼的缺陷与校正
-2.8.3 人眼的景深
-2.9.1 光学系统的分辨率
-上篇：应用光学——光学系统的分辨率（光学系统分辨率）
-2.9.2 人眼的分辨率
-上篇：应用光学——光学系统的分辨率--第八次作业(人眼)
-2.10.1 放大镜
-上篇：应用光学——放大镜--第八次作业(放大镜)
-2.10.2 放大镜的光束限制和视场及目镜
-2.11.1 望远系统
-2.11.2 望远镜的放大倍率
-2.11.3 望远镜的视觉放大率
-2.11.4 望远镜的分辨率
-第九次作业（望远镜）--作业
-2.12.1 显微镜及其放大率
-2.12.2 显微镜的视觉放大率
-2.12.3 显微镜的孔径光阑
-2.12.4 显微镜的机械筒长
-2.12.5 显微镜的分辨率及有效放大率
-2.12.6 显微镜的景深
-2.12.7 显微镜的照明系统
-第九次作业（显微镜）--作业
-3.1.1 电磁场的波动性
-3.1.2 平面电磁波及其性质
-3.1.3 球面波与柱面波，光波辐射与辐射能
-3.2.1 电磁场的连续条件（边界条件）
-3.2.2 光在两电介质分界面上的折射与反射
-3.2.3 菲涅耳公式
-3.2.4 全反射与倏逝波
-3.2.5 金属表面的反射
-3.2节课后习题--作业
-3.3.1 光的吸收、色散和散射
-3.4.1 光波的叠加
-3.5.1 干涉原理及相干条件
-3.5节课后习题--作业
-3.6.1 干涉图样计算
-3.6.2 分波阵面干涉装置的特点
-3.6节课后习题--作业
-3.7.1 时间相干性
-3.7.2 空间相干性
-下篇：物理光学——干涉条纹的对比度及其影响因素
-3.8.1 干涉条纹的定域
-3.8.2 平行平板产生的等倾干涉
-3.8.3 楔形平板产生的等厚干涉
-下篇：物理光学——平板的双光束干涉--3.8节课后习题
-3.9.1 斐索干涉仪
-3.9.2 迈克尔逊干涉仪
-下篇：物理光学——典型的双光束干涉系统及其应用
-3.10.1 平行平板的多光束干涉
-3.10.2 F-P 干涉仪
-3.10.3 光学薄膜基础
-3.10.4 单层膜与多层膜
-3.10课后习题--作业
-3.11.1 惠更斯—菲涅耳原理
-3.11.2 菲涅耳—基尔霍夫衍射公式及衍射分类
-3.11节习题--作业
-3.12.1 夫朗和费衍射公式的意义
-3.12.2 矩孔衍射和单缝衍射
-3.12.3 圆孔衍射
-3.12节习题--作业
-3.13.1 成像系统的分辨本领
-下篇：物理光学—— 光学成像系统的衍射和分辨本领
-3.14.1 双缝与多缝的夫朗和费衍射
-3.14.2 光栅的分光性能
-3.14.3 几种典型光栅
-3.14节习题--作业
-3.15.1 圆孔和圆屏（盘）的菲涅耳衍射
-3.15.2 菲涅耳透镜
-下篇：物理光学—— 菲涅耳衍射（菲涅耳衍射）
-3.16.1 平面波的复振幅分布和空间频率、复杂复振幅及其分解
--3.16.1 平面波的复振幅分布和空间频率、复杂复振幅及其分解
-3.16.2 光波衍射的傅里叶分析方法
-3.16.3 透镜的傅立叶变换性质
-3.16.4 相干成像系统分析及相干传递函数
-3.16节习题--作业
-3.17.1 非相干成像系统分析及光学传递函数
-3.17.2 阿贝成像理论、波特实验与光学信息处理
-3.17.3 全息术
-3.17节习题--作业
-3.18.1 偏振光概述
-3.18.2 光在晶体中的传播
-3.18.3 单色平面波在晶体中的传播
-3.18.4 单轴晶体中光的传播
-3.18节习题--作业
-3.19.1 光波在晶体表面的折射和反射
-3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(一)
-3.20.1 偏振棱镜和相位延迟器(二)
-3.20.2 偏振光和偏振态的琼斯矩阵表示
-3.20节课后作业--作业
-3.21.1 偏振光的变换
-3.21.2 偏振光的测定
-3.21节课后习题--作业
-3.22.1 平面偏振光的干涉
-3.22.2 会聚偏振光的干涉
-3.22节课后习题--作业
-3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应（一）
-3.23.1 旋光现象和磁致旋光效应（二）
-3.23.2 电光效应（一）
-3.23.2 电光效应（二）
-3.23.3 声光效应
-下篇：物理光学——磁光、电光和声光效应--3.23节课后习题
-期末考试--作业
