9.3 Video在线视频

下面我们介绍知识点9.3

过渡过程的三要素分析法

上一节内容我们介绍了一阶电路的经典分析方法

那么我以后遇到这样的电路

我是不是每个一阶电路

我都要求解这个常系数微分方程呢

当然你可以这样做

但是呢我们这门课程呢

里面有一个简单的方法

叫做三要素法

上堂课 我们知道

对于这样的一个一阶RC电路

我最后求解出来

τ是时间常数

也就是说我把它写成 可以写成这样一个形式

等于 稳态值加上 初始值减去 稳态值乘以

这样一个形式

τ呢 是时间常数

大家看这里面出现了初始值 稳态值和时间常数

我们把这三个数值叫做过渡过程的三要素

然后我们上堂课也看到了

i的表达式也有类似的表达方式

也就是说 我们可以把这种具有暂态过程的电路

里边的电路元件的电量

就是元件两端的电压和流过元件的电流

写成一个一般的通式

f（∞）对应什么呢 稳态值

f（0+）对应的初始值 τ是时间常数

也就是说这里边 它代表了这个一阶电路里边

任何一个元件两端的电压

和流过这个元件的电流

都可以用这个方程来求解

这个方法呢 就叫做三要素法

我再强调一遍 这里边不仅仅是求

就是我们换路定理强调的那两个变量

是求解这个电路里边任何一个元件两端的电压

和流过的电流 都可以用三要素法来求解

比如我们举一个特例

就是电压源两端的电压U

也是满足这个通式的

大家看 电压源两端的电压

0+时刻的电压呢 是U

∞时刻的电压也是U

这样代到这个通式里边去

中括号里边这项呢就是0了

就变成了什么呢 就是U=U

也是满足的

所以大家要记住了 这个方法不仅仅是用来求解

是电路里边任意一个元件两端的电压

和流过这个元件的电流

都满足这个方程

那么用三要素法求解暂态过程的要点

第一步肯定是要求出三要素

就是我要求解的那个电量的初始值

稳态值和电路的时间常数

将以上的结果带入到三要素法的通式里边去

然后呢如果说问题要求你画出曲线的话

你要把曲线画出来

一般我们是由初始值 也就是初始时刻0+时刻

画到什么呢 时间足够大 t=∞这样一个范围

三要素法呢描述起来是比较简单的

下面我们通过两道例题来

看一看三要素法的具体应用

我们看第一道例题

先举一道RL电路的

大家看这个电路跟上堂课举的例子

那是个简单的RL串联电路相比要复杂的多

这个电路是这样的

这里边有一个电流源

然后开关在t=0时刻是由断开闭合的

让你求电感两端的电压

大家看让你求电感两端的电压

不是流过电感的电流

好 下面我们用三要素法来具体求解

第一步肯定是要求三要素的三个数值

那么先求三要素里边的初始值

等于多少呢

我可以把t=0-时刻的等效电路图画出来

目的是什么呢 大家记住啊

我求解的时候不一定非得求

但是我一定要利用上换路定理 这个公式

这样呢我把t=0-时刻的等效电路图画出来的话

在t=0-时刻是稳态直流电路

则电感相当于短路

这样再看 流过电感的电流 是多少呢

就是流过1Ω电阻的电流

那么这个电流是多少呢

也就是说 大家看呢 是1Ω和2Ω

来分这3A的电流

1Ω呢分得的稍微大一点就是1+2分之2

乘以3等于2A

根据换路定理

大家看 现在我求的是

我的目的是要求什么

那么 等于多少呢

我们把t=0+时刻的等效电路图呢画出来

大家看 由于 不等于0

我们上堂课知道 不等于0呢

在0+时刻我可以把电感等效成一个恒流源

刚才求出来是一个2A的恒流源

那么这样 等于多少呢

那么大家看 恒流源的特点

是恒流源两端的电压由Y电路确定

所以说电感两端的电压

就是电阻 并联再串联这个等效电阻两端的电压

那么流过这个等效电阻的电流呢是2A

于是呢 就等于什么呢 2A乘以

串上 并上 然后根据参考方向

前面要加一个-号 等于-4V

这是第一步 我们求出了

第二步求 也就是说达到新的稳态之后

电感两端的电压

我们知道达到新的稳态之后

电感相当于短路

那么一个短路两端的电压呢是0

再求第三个要素 时间常数τ

那么对于这样的电路如何求时间常数τ呢

也就是说大家看这里只有一个电感

但是电阻有很多

那么用哪个电阻呢

用这个等效电阻

也就是说把这个电路

跟前面我们学习过的戴维南定理一样

把相应的有源网络画成相应的无源网络

也就是说把里边的电源置0

把电流源开路

电压源短路

当然了大家看这个电路啊

在0+时刻的时候由于这个开关K是闭合的

也就是说这个电源也没用了

这样大家看啊

这样等效出来的无源回路的电阻网络是这样子的

那么相应的等效电阻R是多少呢

也就是说呢 这里等效的电阻是R

那么时间常数τ等于R分之L

这里这个R呢是等效电阻

代入数值呢等于0.5s

时间常数呢单位是s

在这里再跟大家解释一下

为什么可以这样等效

大家看 我们前面用经典法求解RL电路的时候

那就是一个什么 一个电压源 一个电阻的形式

大家看呢 那么对于这一个电路来说

这是不是就是一个一端口网络

那么我把电感拿出来之后

这个一端口网络

我就是可以把它进行戴维南等效

进行戴维南等效之后

它就转化成了我们上堂课用经典法求解

RL电路里边的一个电源串上一个内阻的形式

所以说这样呢就和上堂课的内容对上了

这样求解完了三要素

然后呢把三要素带入三要素法的通式

这是三个要素

代到这个三要素法的表达式里边去

最后求解出来

最后一步 画出这个过渡曲线

也就是从0+时刻画到一个较长的时间

是这样一个曲线

这是第一道例题

举了一个RL的例子

下面呢我们看第二道例题

举一个RC的例子

这个例子呢要更麻烦一点

大家看啊 这个电路里边

这是一个多头开关

这个开关K呢 原来它是触点放在3上

我们假设 在t=0时刻这个触点由3把它合向1

然后在1呆了20ms之后

再从1把这个触点呢 掰向2

是这样一个过程

现在呢让你求整个这个过程里边

就是电容两端的电压

i(t)就是流过电阻 的电流

然后这里边还有一个条件

就是说在原来呢电容未充电

有一个专用的词 叫零状态

这是我们下节课的内容

也就是说 等于0是满足这个已知条件

好 下面我们用三要素法来具体求解这个问题

既然是三要素 首先求解出三个要素

我们先求初始值

大家看我求的初始值是 的初始值和i的初始值

由于它包括了两个阶段

我们先看这个触头由3掰向1这个过程

我们叫第一阶段

这个第一阶段里边

这样呢我画出0+时刻的等效电路图

大家看是这样的

这个地方相当于短路

那么这样 大家是看是什么呢

我画这个电路图的目的

是为了求解i(0+) i(0+)等于多少呢

大家看由于这个地方短路了

那就是什么呢 构成了 这样一个回路

那么流过 的电流就是 等于3mA

这样第一步求出了

第二步 求稳态值 和i（∞）

那么当时间足够长

我画出来t=∞时刻的等效电路 是这样的

可以看出它就是 两端的电压

那么 两端的电压是多少呢

来分这个电压

分了多少呢 等于2V

那么i（∞）呢

大家看 这就是一个很简单的串联回路

于是i就等于

所以i(∞）就等于1mA

这是求解出第二个要素了

第三个要素 求解出时间常数τ

同样的 对于这样一个电路呢

我把电容放在一边

然后对剩下部分 我求解那个等效的电阻

求解方法和求解戴维南电路的内阻是一样的

这个电路一看 这个等效电阻是

等于3分之2kΩ

这样时间常数τ就等于3分之2k乘以电容C

C呢是3μF 等于2ms

这样呢 三要素求出来了

所以第一阶段的三要素

初始值 稳态值 时间常数τ 都知道了

然后呢把它代到三要素法的通式里边去

这样呢我得到了 在第一阶段的过渡方程

那么再看一下i(t)的过渡方程

同样的道理 由于i的三要素

初始值 稳态值和时间常数

我们已经求解出来了

代到三要素法的通式里边去

我们最后求解i（t）等于

这是第一阶段 和i（t）的过渡方程

那么我们把第一阶段 和i的波形画出来

大家看 从0到20ms之间

这个电容上电压 是这样的

流过 的电流i是这样的

大家看 下面呢 我们要看一看这个20ms

看这20ms要看什么呢

我们刚才说了 就是时间常数τ

有一个5τ的这样一个界限

看到时间达到5τ我就认为达到新的稳态了

那么大家看这个第二阶段是从20ms开始的

也就是说我要判断一下

在20ms的时刻 第一阶段我认为它达没达到稳态

那么第一阶段τ=2ms 5τ=10ms

显然20ms>10ms 已经大于5τ了

所以我认为在第一阶段已经达到了稳态

这样我们在算第二阶段的时候

是从20ms这个地方作为第二阶段的起点

那这样由于达到了稳态

我就认为新的起点 大家注意啊这是20-

参考点不一样了 等于什么呢 稳态值 2V

从这个基础我们看

那么第二阶段呢 就是从1这个位置

合向了2这个位置

我们同样的道理

也是要求三要素

先求初始值

初始值的时候 我呢还是要把什么呢

换路瞬间20ms+ 这个时刻的等效电路图画出来

我们看到这个等效电路图是这样

下面我们求一下

大家看 刚才说了是2V

因为达到了稳态

这就是换路定理

之所以不是0+和0-

大家看到是参考点是在20ms这个地方

这是 的初始值知道了

那么第二阶段i的初始值呢

看这个电路 这个i的初始值是多少呢

大家看 实际上这个电路 也比较简单

这是什么呢 就相当于是

电流是 减去什么呢 这两端电压

这个大家可以看到 等于1.5mA

这样就求出了第二阶段的初始值

三要素里的第一个

再求第二阶段的稳态值

当t=∞的时刻

当时间足够足够长

它的等效电路是这样子的

电容相当于开路

就是 两端的电压

两端的电压是多少呢

3个电阻分 分得的电压是多少呢

是2.5V

那么i（∞）是多少呢

这是一个简单的串联回路

电流处处相等 i就等于1.25mA

好了 这样求出来三要素法里的第二个要素

下面看时间常数 也是一样的

在这个时候呢 把这个C放到边上

把其他部分进行等效

这样求出来大家看呢

这很简单 这是一个

结果 等效的电阻 是1kΩ

这样 时间常数τ就等于3ms

大家看 第二阶段的三个要素也已经求解出来了

然后把它代到三要素法这个一般的通式里去

在第二阶段的方程等于

这个要注意啊 这不是3分之t

这是3分之t-20

为什么 是从第20ms开始的

那么再看看第二阶段的电流过渡方程

也是一样 第二阶段电流的三要素

我已经求解出来了

代入到三要素法的通式

得i（t）等于

这是第二阶段的电流方程

这样我们把第一阶段和第二阶段

我们把它接起来

这样第一阶段的 和第二阶段的

我们把这个图像画出来

我们会看到

这个图像虽然它不是一个完整平滑的

但它特点是什么呢

大家看 由于是

的电压没有发生突变

在0+时刻没有发生突变

在20+这个时刻也没有发生突变

这个图像是连续的

我们再看看电流

也是把电流的第一阶段和第二阶段图像

我们也把他接起来

我们看到 这是第一阶段

这是第二阶段

我们可以看到 电流在0+时刻发生了突变

在20+这个时刻也发生了突变

这就是电流 也就是说

还是回到换路定理

除了 不能发生突变

其他的电量 比如在这里就是这个i

都有可能发生突变