当前课程知识点：通过实验学电路 > 4 动态电路 > 4.6 二阶电路 > 4.6 二阶电路-视频
二阶电路同时含有电容和电感 我们通过实验来看一下二阶电路的特点
这是由直流电压源 电阻 电容 电感和开关构成的电路
我们先将开关S1闭合 给电容充电
直至电容充满电
然后我们断开开关S1 打开(即闭合）开关S2
此时观察到电容电压的波形
会发现电容电压单调衰减到零
下面我们先将电路恢复到初始状态
然后我们减小电阻R2
再重复以上过程 先打开（闭合）开关S1 给电容充电
然后我们断开开关S1 打开（闭合）开关S1
观察电容电压的波形 通过示波器我们可以看到电容电压振荡衰减到零
为什么改变电阻R2会导致电容电压的波形发生变化
这就需要用到接下来将要介绍的二阶电路的知识
同学您好
这节课我们要讲的内容是二阶电路
前面我们讲的那些电路都是一阶电路 这节课我们要讲二阶电路
我们主要讲以下的几个内容
首先来看一下一阶电路和二阶电路的定义
一阶电路就是微分方程是一阶的电路 就是这么简单的定义
那么 自然而然微分方程为二阶的电路就称为二阶电路
下面我们看一下对应的例子
这是电容放电的电路以及它的微分方程
我们可以看出来这个方程显然就是一个一阶微分方程
所以它是一个一阶电路
同样的 这是一个电感放电的一个电路
它的微分方程也是一阶 所以它也是一阶电路
这样看来 如果一个电路当中有一个电容或者是有一个电感
那么这个电路一般就是一个一阶电路
那二阶电路长什么样子呢 我们看一个例子
这个电路我们可以看到它里面有一个电容 还有一个电感
这个电路就是一个二阶电路
当然了 我们现在不知道它的微分方程是什么样子
我们接下来要做的事情就是把它的微分方程列出来
会发现它确实就是一个二阶微分方程
下面我们就来推导一下这个二阶电路它的微分方程
这是一个二阶电路
假定这个电容的初始电压为U0
开关一开始是断开的 在t等于零的时候合上
大家想一想 电容是不是就会放电
但这个时候还有个电感存在 所以它的过程就比之前单独通过电阻放电要复杂得多
我们来列写它的方程
这就是这个回路的KVL方程
我们知道（电容）电压和电流的关系是一个微分的关系
电感的电压和电流也是一个微分的关系
我们把刚才左边的这个电流带入到右边这个微分式子当中
就可以得到 电感的电压是关于电容电压的一个二阶导数
这个大家可能需要仔细的看一下
我们再把电感的电压给代（入）到刚才的KVL方程当中
把电容的电流也代（入）到这个方程当中
由此我们就可以得出这个二阶电路它的微分方程
大家观察一下这个微分方程是不是二阶的
的确是二阶的 所以这个电路就是一个二阶电路
二阶电路由于它的复杂程度要比一阶要高
所以它的工作状态也跟一阶不太一样
它有三种可能的工作状态
第一种是过阻尼状态
也就是我们这个电路当中这个电阻比较大的情况
第二状态是什么呢 就是临界阻尼
这个电阻比刚才要小一点
第三种就是欠阻尼 就是这个电阻非常小
下面我们对这三种状态分别分析和描述一下
首先来看过阻尼状态
那什么样的情况下 它是过阻尼呢
它有个判据
就是当这个电阻大于2倍根号下L除以C的时候 这个二阶电路就处于过阻尼的状态
那么 在过阻尼的状态 它的电路的解是什么样子呢
就是等于A倍e的负lamda1t加上B倍e的负lamda2t
注意这里的lamda1和lamda2都是小于零
至于怎样详细确定A和B 以及这个解到底是怎么得来的
这个你可以看相关的课件文档
得出这样的一个电容电压的表达式之后 我们就可以画出来它所对应的曲线
大家发现这和我们当初电容放电的那个曲线很相似
也就是从初始电压呈指数（衰减） 最后是衰减到零
所以我们说在过阻尼状态 电容电压是呈指数单调的衰减
下面我们回顾一下刚才实验当中的过阻尼状态
我们先将开关S1闭合 给电容充电
直至电容充满电
然后我们断开开关S1 打开（闭合）开关S2
此时观察到电容电压的波形
会发现电容电压单调衰减到零
我们再来看一下临界阻尼
临界阻尼就是当这个电阻等于2倍根号下L除以C
这个就是临界阻尼状态
此时它的解是A加上Bt再乘以e的负lamdat
注意这里lamda是小于零 所以总体呢它其实也是衰减的
这个曲线跟刚才很相似 只不过比刚才衰减的要快一些
观察这个曲线 我们就会发现 在临界阻尼状态 电容电压也是单调衰减
它和刚才的过阻尼是很相似的
下面我们来看一下二阶电路的第三种工作状态 就是欠阻尼
欠阻尼就是当R小于二倍根号下L除以C
这个时候电路就处于欠阻尼的工作状态
此时电容电压的表达式是（公式配音字幕省略）
注意此时这个delat是小于零的 这样看电容电压还是衰减的
但是由于这个表达式当中含有cos和sin这样的周期函数
所以它对应的曲线就跟之前不太一样
我们来看一下 这个曲线它有什么样的特点呢
它是一个衰减的曲线 但是它是一个振荡衰减的曲线
所以它跟之前的单调衰减是不太一样
我们就可以得出这样的规律 就是在欠阻尼状态 电容电压是振荡衰减的
下面我们回顾一下刚才实验当中的欠阻尼状态
下面我们先将电路恢复到初始状态
然后我们减小电阻R2
再重复以上过程 先打开（闭合）开关S1 给电容充电
然后我们断开开关S1 打开（闭合）开关S2
观察电容电压的波形 通过示波器我们可以看到电容电压振荡衰减到零
我们来回顾一下前面讲的（三种）状态
过阻尼和临界阻尼是很相似的 可以认为是一种（类型的）状态
而欠阻尼显然跟之前是很不一样 它是振荡衰减
那为什么这样一个二阶电路 它具有不同的工作状态呢
我们不容易理解 可以拿一个现实生活当中的例子做一个类比
比方说这个地方有一个碗
这个碗坐在一个桌子上
如果这个碗的内壁涂了一层胶水
这个地方假设是涂一层胶水
那么大家想一想
我如果是在碗的边缘放一个小球
那么小球在重力作用下它会往下走
由于这个碗内壁是涂了胶水 这个小球往下走的时候阻力是很大的
在重力作用下 最终呢 它是慢慢走到碗底
它会不会再移动呢 就不会了 因为阻力太大了
好了 我们再想另外一种情况
如果这个碗的内壁现在我们涂的不是胶水
而是非常光滑
我们知道平常的碗就非常光滑
我们可以做个实验
这个时候我们这个小球还是放在边缘
它在重力作用下还是会往下跑
由于这个碗比较光滑 大家可想而知 小球是不是会跑到左边来啊
那是肯定的 跑到左边以后 它在重力作用下又会往右跑
这个过程会不断的持续 最后这个小球就会在碗底来回运动
最终呢 这个小球一定是落到碗底
显然的这个碗的阻力直接就影响了小球的行为
刚才阻力大的时候 就对应我们刚才二阶电路它的电阻比较大的情况 就是过阻尼
而阻力比较小的时候呢 就对应刚才二阶电路欠阻尼的情况
所以欠阻尼的时候 它应该是振荡衰减
我们这里对应的就是它是来回跑
这样的话 我们就理解了二阶电路的工作状态
这节课我们就讲到这里
-引言
--第1周引言-视频
--第1周引言-文档
-1.1 电源
-1.2 电阻
-1.3 基尔霍夫电流定律
-1.4 基尔霍夫电压定律
-补充知识与示例
-总结
--第1周总结-视频
-- 第1周总结-文档
-1 电路模型和电路定律测验
-引言
--第2周引言-视频
--第2周引言-文档
-2.1 回路电流法
-2.2 结点电压法
-2.3 电路的等效变换
-补充知识与示例
-总结
--第2周总结-视频
--第2周总结-文档
-2 电路的分析方法测验
-引言
--第3周引言-视频
--第3周引言-文档
-3.1 叠加定理
-3.2 替代定理
-3.3 戴维宁定理
-3.4 互易定理
-补充知识与示例
-总结
--第3周总结-视频
--第3周总结-文档
-3 电路定理测验
-引言
--第4周引言-视频
--第4周引言-文档
-4.1 电容
-4.2 电容充电
-4.3 电容放电
-4.4 电感
-4.5 电感充放电
-4.6 二阶电路
-补充知识与示例
-总结
--第4周总结-视频
--第4周总结-文档
-4 动态电路测验
-引言
--第5周引言-视频
--第5周引言-文档
-5.1 正弦稳态电路与正弦量
-5.2 相量法
-5.3 阻抗
-5.4 正弦稳态电路的分析
-5.5 正弦稳态电路的功率
-补充知识与示例
-总结
--第5周总结-视频
--第5周总结-文档
-5 正弦稳态电路测验
-引言
--第6周引言-视频
--第6周引言-文档
-6.1 正弦稳态电路的频率特性
-6.2 滤波器
-6.3 谐振
-补充知识与示例
-总结
--第6周总结-视频
--第6周总结-文档
-6 正弦稳态电路的频域特性与应用测验
-引言
--第7周引言-视频
--第7周引言-文档
-7.1 互感
-7.2 互感的去耦等效
-7.3 理想变压器
-补充知识与示例
-总结
--第7周总结-视频
--第7周总结-文档
-7 互感测验
-引言
--第8周引言-视频
--第8周引言-文档
-8.1 三相电压源
-8.2 对称三相电路
-8.3 不对称三相电路
-8.4 三相电路的功率
-补充知识与示例
-总结
--第8周总结-视频
--第8周总结-文档
-8 三相电路测验
-引言
--第9周引言-视频
--第9周引言-文档
-9.1 非正弦周期信号
-9.2 非正弦周期电路的分析
-9.3 二端口网络的定义
-9.4 二端口网络的参数
-9.5 二端口网络的连接
-补充知识与示例
-总结
--第9周总结-视频
--第9周总结-文档
-9 非正弦周期电路和二端口网络测验
-引言
-10.1 受控电源
-10.2 运算放大器
-10.3 非线性电路
-补充知识与示例
-总结
-10 电路的扩展知识测验
