5.5 正弦稳态电路的功率-视频在线视频

直流电路的功率是常数

那么交流电路的功率是什么情况呢

下面我们先通过实验来看一下

这个实验电路与5.1节相同 由交流电压源 小灯泡和电容串联而成

现在示波器显示的是小灯泡 也就是电阻的电压和电流波形

可以看到电阻的电压和电流同相位

现在我们用示波器来看一下电阻的功率

电阻的功率等于电压乘以电流

通过示波器可以看到 电阻功率的波形与电压电流的波形类似

都是周期波形 但是频率变为电压电流频率的两倍

并且电阻的功率始终都大于零 相当于正弦量上增加了一个直流偏置

接下来我们再来看一下电容的电压和电流波形

通过示波器可以看到电容的电流超前电压九十度

而电容的功率也等于电压乘以电流

下面我们通过示波器来看一下电容的功率

可以看到电容的功率与电压电流波形类似 都是周期波形

但是频率变为电压电流频率的两倍

并且电容的功率始终有正有负 为正弦波形

这与电阻功率始终都大于零有所不同

那么为什么电阻和电容功率的频率为电压电流的两倍

为什么电阻的功率始终大于零 而电容的功率为正弦波 有正有负

下面我们通过理论来分析一下

同学您好

这节课我们要讲的内容是正弦稳态电路的功率

这是我们要讲的内容

这节课是有一定的难度

首先 我们来看正弦稳态电路的瞬时功率

（先）来看电阻的瞬时功率

我们知道电阻它的电压和电流是同相位的

因此如果是知道电阻的电压（公式配音字幕省略）

那么就可以推出来它的电流和电压是同相位的 它等于（公式配音字幕省略）

大家可以看出来 这（电阻电压和电流）相位是相同的

瞬时功率我们定义为在时域的电压和电流的乘积

也就是（公式配音字幕省略）

我们把电阻的电压和电流代入到这个表达式当中

就可以计算出来电阻的瞬时功率

这个瞬时功率我们发现它一定是大于等于零

为什么一定是大于等于零呢

因为这里cos2Omegat它最小的可能性是-1

它都是大于等于-1 所以电阻的瞬时功率始终都是大于等于零的

下面我们来回顾一下刚才实验观察到的电阻瞬时功率波形

通过示波器可以看到 电阻功率的波形与电压电流的波形类似 都是周期波形

但是频率变为电压电流频率的两倍

我们再来看电感

电感的电压是超前于电流九十度

因此如果我们假设电感的电压等于（公式配音字幕省略）

那么电感的电流就等于（公式配音字幕省略）

整理一下就变成了（公式配音字幕省略）

电感的瞬时功率同样是等于电压乘以电流

代入电感的电压和电流的表达式 就可以得到电感瞬时功率等于（公式配音字幕省略）

显然电感的瞬时功率是个正弦量

我们再来看电容的瞬时功率

电容的电压是滞后于电流九十度

这样 我们就可以由电容的电压推出电容的电流的相位关系

电容的瞬时功率也是电压乘以电流 把电压和电流代入到这里面来

就可以得到电容的瞬时功率的表达式

这和电感的瞬时功率的表达式其实是非常类似的

差异主要在哪里呢 就是这个地方多了一个负号

下面我们来回顾一下刚才实验观察到的电容瞬时功率波形

可以看到电容的功率与电压电流波形类似 都是周期波形

但是频率变为电压电流频率的两倍

并且电容的功率始终有正有负 为正弦波形

这与电阻功率始终都大于零有所不同

（接下来）我们来讲一下平均功率

前面我们讲的瞬时功率是随着时间变化的

所以它很难去衡量一个电路的功率

我们现在要讲的平均功率 它是一个定量衡量正弦稳态电路功率的非常重要的功率

正弦稳态电路的瞬时功率随时间周期变化 难以定量的反映正弦稳态电路的功率

因此就需要定义其它的正弦稳态电路的功率

平均功率我们又称有功功率 定义为瞬时功率在一个周期内的平均值

这就是平均功率的表达式

在一个周期内我们对它积分 然后除以周期T

这就代表它的平均功率

我们来看一下电阻的平均功率

前面我们已经得到了电阻的瞬时功率的表达式

也可以画出来它的曲线 这个曲线我们可以看到它全部都在零以上

那大家想一想 如果平均的话 它肯定也要大于零

我们来平均一下 会发现电阻的平均功率等于UR乘以IR

这个显然它是大于零的

PR大于零 说明电阻在一个周期内平均是做功的 电阻是吸收平均功率

我们这里注意平均功率又称有功功率

再来看一下电感的平均功率

电感的平均功率可以根据电感的瞬时功率来求

这是电感的瞬时功率的曲线

大家观察一下 如果平均应该是多少

我们来看最终的结果 会发现电感的平均功率是等于零

电感的平均功率等于零 说明电感在一个周期内平均是不做功的

电感在一个周期内发出的功率是等于吸收的功率

最后来看一下电容

电容的瞬时功率的表达式是多了个负号

我们可以画出来它的曲线

这个曲线大家来看一下 它的平均值是多少

计算一下 看看是不是我们想象的那样

我们发现电容的这个平均功率还是零

电容的平均功率等于零 说明电容在一个周期内平均是不做功的

电容发出的功率是等于吸收的功率

如果是一个任意的支路 它的平均功率是怎样计算的呢

任意一条支路的平均功率等于UIcosphi

这里面phi是该支路的电压和电流的相位差

我们知道 电阻的电压和电流相位差是零 电感的phi等于九十度 电容phi等于负九十度

我们可以把它们代入到平均功率的表达式当中

显然（公式配音字幕省略）

这和我们前面所说的是一致的

我们再来讲无功功率的概念

刚才我们求到了电感和电容它们的瞬时功率表达式 以及它们的波形

我们发现电感和电容虽然平均功率为零

但是瞬时功率为正弦的周期函数

电感和电容在一个周期内发出的功率是等于吸收的功率

它表面上好像没有起作用 其实起到了类似港口吞吐货物的能力

为了（定量）衡量电感和电容吞吐功率的能力 就需要引入无功功率的概念

电感的无功功率（公式配音字幕省略）

电容的无功功率（公式配音字幕省略）

我们观察一下发现 它的定义刚好和瞬时功率前面的这个系数相一致

这是电感的 这是电容的

所以我们这里的无功功率定义就是这个正弦函数它前面的系数

它能够表征它的吞吐能力

之所以称无功功率 是因为这部分功率平均来看是不做功的

对于任意支路而言 无功功率是等于（公式配音字幕省略）

这里的phi也是支路的电压和电流的相位差

电阻和电感电容它们的相位差我们之前都提到过了

把它代入到无功功率的表达式当中

就会发现电感的无功（功率）是等于UI

电容的无功（功率）是等于-UI

电阻的无功（功率）是等于零

电阻无功等于零 说明什么问题呢

这说明电阻只消耗功率 无储能的能力

无法吞吐功率 因此无功功率为零

再来看另外一个功率的概念――复功率 复功率是一个复数

复功率定义为P+jQ

复功率相当于有功功率和无功功率的一个复合

求出了复功率 就相当于同时求出有功和无功

这也就是我们定义复功率的原因

我们如果把复功率算出来 一次就可以得到有功和无功

我们知道 由于（公式配音字幕省略）

这样一来 我们就可以推导得到复功率的表达式

进一步整理 最后我们就得到了复功率它的计算公式就是（公式配音字幕省略）

注意这里的*号是什么呢 是共轭的意思

这和我们数学用一个横杠是不太一样

电路当中是用一个*号来表示（共轭）

复功率等于电压相量乘以电流相量的共轭

这个就是计算复功率的公式

我们再来看视在功率的概念

视在功率等于复功率的模值

可以看到 视在功率最后等于UI

S=UI是计算视在功率的公式 注意S是代表视在功率

它上面没有一个横杠 带横杠的是复攻率

视在功率的物理意义是代表容量 可以认为是一种做功的潜力

最后 我们提关于功率的最后一个概念 就是功率因数

这是视在功率的表达式

这是有功功率的表达式

定义有功功率与视在功率的比值为功率因数

这个功率因数用lamda来表示 它刚好就等于cosphi

注意这里的phi是电压和电流的相位差

可见 功率因数是体现了将做功的潜力转化为实际做功的一个比例

通常我们希望功率因数越大越好

但是功率因数最大是不能超过1的 因为cosphi是小于等于1的

为什么要定义这么多功率的概念呢

我们可以拿一个实际生活的例子做一个类比

现在我想吃这个苹果

这看起来一个很简单的事情

其实是需要一个复杂的过程

首先呢 我们要把这个苹果要生产出来

这个时候我们就需要什么呢

我们就需要果园（生产苹果）

然后呢 我们要把它（苹果）运到超市

我要想吃到这个苹果 就需要到超市去购买

那买到了以后呢 我就可以把它吃掉

这和我们电路有什么关系呢

我们说这里苹果是什么呢 苹果其实就是（相当于）功率

我们吃了苹果 就相当于消耗了功率

所以 与正弦稳态电路相关的一个概念就是P

P就是平均功率 就是有功

有功就是我们实际消耗的苹果的数量

那么无功对应什么呢

我们说超市

它需要什么呢

需要进货啊

还有什么呢

它要卖出

在这个过程当中

超市它并没有吃掉苹果

也就是说它是不消耗有功的

但是它起到了什么样的作用呢

我们说它（超市）起到了一个中转（苹果）的作用

这就和我们电路当中的无功功率Q是密切相关的

也就是它（无功功率）是中转功率

我们知道在电路当中还有一个功率的概念就是视在功率 那么视在功率对应什么东西呢

它（视在功率）其实就对于果园的产量

因为我们这个果园能产苹果的量是一定的

我们这个产量对应于电路当中的什么呢

就是视在功率S

好了我们现在看果园

站在它（果园）的角度 它希望产的苹果被吃掉 还是没有吃掉呢

当然了 它是希望它产的苹果都被吃掉

这样的话它就可以赚钱了

那么 吃掉的苹果占它（果园）产出苹果的这个比例对应于电路当中哪个概念呢

大家想一想就是功率因数

功率因数也就是吃的占产的一个比例

我们当然是希望这个功率因数越大越好

这样看来 我们吃苹果和我们这个电路当中的功率其实是密切相关的

也就显得不是那么复杂了

这节课我们就讲到这里