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下面我们通过这道例题

来学习封闭系统

热力学第一定律的应用

在这里 我们大家可以看到

我们如何通过巧妙的定义

系统及其边界来简单直接地

得到你所需要的结果

如图所示

两个封闭的绝热容器

由一个活塞连接

容器A充满了压力为2bar

温度为300K的氦气

容器B充满压力为1bar

温度也为300K的氦气

活塞由铆钉所固定

当固定栓拔出时

因为两个容器之间存在着压力差

活塞会发生移动

假设

活塞与壁面存在一定的摩擦力

请问 如果活塞为金属材质时

两个容器最终的温度是多少

第二个问题

如果活塞为绝热材质时

两个容器中最终温度又会是多少

我们知道气体氦气

我们可以当成理想气体处理

其等容热容为12.6 J/mol k

A和B腔室初始体积相等

假设活塞

不对除了A和B气体之外的环境做功

或者传热

请大家先思考一下

如何定义系统

如果我们以A中的气体为系统

那么活塞和腔室B的气体

就成了它的环境

摩擦要做功

A对B也要做功

A和B之间传热也需要考虑

这显然情况非常非常复杂

但是也是可以计算的

如果大家感兴趣

可以看我们教材中

第42页的计算

因此 我们换一种思维方式

我们选择A腔室的气体

加B腔室的气体为系统

这样就组成了一个复合系统

因为 其中有活塞的存在

形成了传热和传质的障碍

因此 它是复合系统不是简单系统

但是 腔室A和腔室B

两个子系统依然是一个简单系统

AB组成系统总能量的变化为

AB系统吸收或放出的热量

以及环境对系统

或者系统对环境所做的功之和

我们知道AB组成一个封闭系统

是一个绝热的

因此 Q为0

同时 我们知道

AB系统不对外做功

因为是刚性壁面

因此 环境也不对AB系统做功

因此 WAB也为0

系统AB的内能变化就等于

系统A和系统B的内能变化

因此 ΔEA + ΔEB = 0

尽管AB系统是一个复合系统

但是 A系统和B系统

仅有单相的氦气存在

不存在内部约束壁垒和外场作用

因此 我们可以用

内能UA和UB来表示

即ΔUA + ΔUB = 0

进一步我们可以推导ΔUA =-ΔUB

由于A中的氦气

可以当成理想气体

因此 其内能

仅仅是温度和物质量的函数

因此 ΔUA=NAΔUA

进一步 我们可以知道它等于NACV

CV就是我们的等容热容

再乘以两者的温度差

同理可以得到

B系统的内能变化

将两式带入

A系统和B系统的内能关系式

我们即可以得到这个方程

由于A系统和B系统

均是理想气体氦气

因此 等容热容的数值可以消掉

在这个方程中

我们不知道的物理量为

系统A的最终温度

和系统B的最终温度

而NA和NB即A B的物质的量

我们可以通过什么呢

可以通过理想气体状态方程得到

两个腔室的

初始体积和初始温度相等

因此 NA和NB的比值

就为两个腔室的初始压力之比

即为2

一个方程 两个未知数

显然无法确定

最终A和B系统最终的温度

我们需要找到

TAf和TBf之间的关系

这时我们需要引入

活塞的导热条件

第一 当活塞是金属材质时

即完全导热

最终TA和TB的温度

应该是相等的

那么最终的温度表达式为

TAf=TBf=Tf

那么 最终的温度表达式为

这个方程

A和B两个系统初始温度的

物质量的加权平均

因为A和B系统

初始温度相同 均为300K

因此 最终两个系统

温度也相同 为300K

实际上 我们简单思考一下

A和B如果直接由

金属活塞连接的话

无论活塞如何摩擦发热

最终能量均会传递给

系统A和系统B

因此 系统A 系统B和活塞

组成了一个孤立体系

它即不对外做功也没有传热

因此 系统的最终状态

不会发生变化

最终系统A和系统B

压力平衡 温度平衡

这符合我们的常识

如果活塞是一个绝热活塞

那么 最终系统A和系统B的温度

并不会平衡

因此 TAf≠TBf

我们可以大致估计一下

A和B系统的温度是如何变化的

我们看一下

A系统要对外膨胀做功

而A系统本身又是绝热系统

因此 它的温度必然会降低

而B系统被压缩

外界对B系统做功了

因此 B系统温度会升高

具体A系统温度降低

和B系统温度升高的程度

则是由这个活塞的

摩擦力的分布所决定

我们可以考虑两个极端体条件

第一 当活塞和A之间

没有摩擦力的时候

以及当活塞和B之间

没有摩擦力的情况

当活塞与容器A

没有摩擦力的条件下

以A为简单系统

其内能变化即为与环境的热交换

和与环境的功相互作用

因为该系统是一个绝热系统

因此 ΔQ为0

因此 内能的变化即为体积功

同样我们知道内能

我们可以表示成为热容的关系式

我们可以得到这个方程式

根据理想气体的状态方程

我们对方程两边进行微分

我们可以得到VAdPA+PAdVA=NARdTA

通过上述三个方程的联立

我们就可以得到了

温度和压力之间的微分关系式

积分 得到相应的温度和初始温度

初始压力 最终压力之间的关系式

在这个方程中我们知道

初始压力 初始温度 热容

气体常数均是已知值

只要我们能够得到

系统的最终压力

我们就能够求出系统的最终温度

系统A的最终压力

会受到系统B的影响

因此 这时我们需要考虑系统B

我们知道在平衡条件下

A系统和B系统要达到力学平衡

因此 A系统的最终压力

一定会等于B系统的最终压力

A和B系统

均符合理想气体状态方程

因此 我们将

A系统和B系统的体积加合

即可以得到最终系统总体积

与压力之间的关系式

同时由于活塞是一个刚性体系

无论活塞如何的移动

系统A和系统B的总体积

是保持不变的

即总体积是跟初始体积相关

是一个已知量

前面我们已经依据A和B系统

得到了A和B系统的初始温度

与最终温度的关系式

以及系统A最终温度

和初始温度和压力的关系式

我们可以计算出

系统A的最终压力为1.5 Bar

进而得到

系统A的最终温度是267K

因此 我们可知

在活塞与A没有摩擦力的条件下

系统最终的温度和压力为这个值

同理

当活塞与B没有摩擦力条件下

我们通过类似的讨论

也可以得到系统的最终温度

这个结果是符合逻辑的

因为

A和活塞发生摩擦的时候

摩擦产生的热量会反馈给A系统

因为我们假设

活塞不会对其它环境散热

因此 系统A回收了部分的热量

从而温度

要比完全向B做功要高一些

当然在我们现在的案例中

我们把摩擦力

完全归于A或者完全归于B

一个更为合理的结果是

系统A和系统B

与活塞间的摩擦力平均分布

这样系统的温度大致

应该是两个极限温度的平均值

即为270K和360K