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在引入能量 热等抽象概念之前

我们首先尝试

用我们已知的物理量

来描述热力学系统

在经典力学中

我们最为熟知的一个物理量就是

机械功

机械功的定义就是

系统所受到的合力

在运动路径上的积分

公式中 Fs给出的是

系统边界上的边界力

而X给的是

系统边界所发生的位移

当然

我们可以用微分的形式来表示

也就是说微分功

等于合力与微分位移的点积

与大学物理中

我们所学到的刚性系统不同

对于热力学

我们所关心的往往是非刚性系统

我们将外界对系统的影响

均匀地作用在其边界上

因此就有了边界力的概念

顾名思义

边界力就是系统边界所受到的力

它与我们常说的质量力是不一样的

质量力是指与质量和外场有关的力

比如说离心力 重力 惯性力

静电力等等

在热力学中

仅仅边界力用来计算系统功

也就是说

系统通过边界力对外做功

或者外界通过边界力对系统做功

上面的描述太抽象了

我们以一个具体的案例

来描述系统的功相互作用

我们以刚性坠子为研究对象

以z轴向上为正方向

我们以刚性坠子为系统

那么该系统的界面

即为刚性坠子与绳的连接点

系统所受到的质量力为Fb

而系统所受的边界力呢 即为Fs

根据刚性物体的受力平衡

我们可以推出

系统全部的边界力

加上系统全部的质量力应该为0

如果系统是静止的

或者是匀速运动的

那么质量力则为重力

考虑到

它与我们所规定的正方向相反

也就是说Fb 应该等于-mg

将质量力带入到上面这个方程之中

我们就可以得到(边界力)-mg=0

将这个公式

带入到微分功的表达式中

我们就可以得到

系统的微分功就等于mgdz

如果系统是向上做加速运动

那么系统的质量力则包括两项

一是

系统在重力场中所受到的重力

另一个是呢

系统加速运动所受到的惯性力

在前面的计算中

我们已经知道

系统的重力为-mg

依据惯性力的定义

也就是说-ma

注意这里的a是向量

我们可以得到其值为 -m(dv/dt)

考虑到方向之后

其标量的表达式为-m(dv/dt)

将质量力带入到力平衡表达式中

这样我们就可以得到

系统的边界力为mg+m(dv/dt)

因此

系统的微分功为mgdz + mvdv

进一步积分

我们就可以得到

系统与环境的功的相互作用

对于该刚性坠子系统

即便我们不以

边界力做功来进行推导

仅仅通过受力平衡

根据牛顿力学

亦可得到相同的结论

如果对于非刚性系统

那么我们如何来确定

系统与环境的功相互作用呢

在这里

我们仍然以气缸中的气体

推动活塞做功这个过程

来描述系统与环境之间的

功的相互作用

假定活塞的初始位置为z1

活塞的表面积为a

气缸内的压力大于外界的大气压

因此

需要销子把活塞固定在初始位置

当我们将销子拔掉

气缸中的气体会推动活塞

向上运动

最终活塞运动到z2这个位置上

停止下来

下面我们重点来分析

这个过程中

系统与环境间的功的相互作用

我们规定

z轴向上的方向为正方向

我们首先选择

气缸中的气体为系统

那么该系统的边界呢

就是由红框所示的范围

它是气体与气缸的表面

活塞的表面所接触的虚拟表面

它的边界力为Fs

为了表明该边界力为气体

这个系统的边界力

我们将其写成Fg

下标g代表气体gas

依据边界力做功的定义式

我们可以得到

微分功的大小为 FgdZ

边界面力的来源

在于系统的气体对于边界的作用

也就是说

边界感知气体对它的压力

因此

系统的微分功为气体压力Pg

乘以活塞的面积a

再乘以z方向上的微分位移

进一步整理

我们就可以得到这个表达式

也就是说

微分功的值为气体的压力

乘以系统体积的变化dVg

由于气体膨胀过程中

压力Pg始终在发生变化

因此 虽然我们得到了

环境与系统的微分功的表达式

但是依然没有办法求解

为了求解这个微分功

我们需要确定Fg的大小

通过气体显然是无法实现的

但是 我们可以通过

刚性活塞的受力分析来求解Fg

活塞的受力为

重力场的重力和惯性力

其大小等于mg + ma

活塞向上运动时

所受的气缸壁对它的摩擦力

其大小等于Ff

活塞还要受到

外界大气给它的压力

其大小

等于大气压与活塞面积的乘积

还有我们前面所提到的

系统的边界力

也就是说

气缸的气体对活塞的压力

乘以活塞的面积

带入到受力平衡方程式

我们就可以得到这个方程

将其与

系统的微分功的表达式联立

我们就可以得到

以气缸中气体

为系统的微分功的具体表达形式

只要我们确定了

摩擦力的表示形式

我们就可以方便地确定

系统的微分功

当然更为重要的是

将这个方程与前面的方程联立

我们就可以知道

系统压力随时间的变化

同样地 气体膨胀推动活塞做功

那么系统的边界是什么呢

也就是说

如红框所示的活塞的边界

其边界与大气 气缸壁面

以及气缸内的气体相接触

这些均是活塞系统的环境

那么活塞的边界力是什么呢

就是系统边界所受到的力

包括气缸中的气体

对边界的作用力 Fg

其值等于

气缸气体压力与活塞面积的乘积

还包括

气缸壁与活塞之间的摩擦力Ff

以及大气对活塞的压力Pa

与活塞面积的乘积

带入到微分功的表达式

我们就可以得到这个

需要注意的是

这里的下标p

代表的是系统活塞piston

而Fp是系统活塞与环境之间

作用在两者边界上的边界力

如果以向量的方式表示的话

那么Fp的表达式

如这个公式所示

其中z的模代表的是

单位位移的大小

进一步推导

我们就可以得到

活塞系统微分功的表达式

下面我们以大气为系统

再次分析

系统与环境的微分功相互作用

那么大气与环境的边界是什么呢

发生位移的边界

仅仅是大气与活塞的接触表面

如这个红色虚线所示

其边界力即为大气的压力

也就是说

Fa 等于大气压力Pa

乘以活塞的面积a

依据微分功的表达式

在这里下标a

代表的是大气atmosphere

结合我们刚刚得到的系统的边界力

我们就可以得到

以大气为系统的微分功的表达式

经过整理可知道

它的值等于

Pa乘以大气体积变化dVa

因为系统大气体积的变化

就等于气缸中

气体体积变化的负值

因此也可表示成为

负的Pa乘以dVg

在上面的案例中

我们分别以气缸中的气体

活塞和大气为研究对象

计算了不同系统的微分形式的功

下面我们要总结一下

如果我们以气体为研究系统

其微分形式的功就是这个表达式

如果我们以活塞为系统

其微分形式的功就是这个表达式

如果以大气为系统

那么我们得到的微分形式的功

就是这个表达式

下面我们定义

由于摩擦而造成的

微分形式的功为δWw

它等于 -Ffdz

我们将气缸中气体微分形式的功

大气微分形式的功

以及摩擦造成的微分形式的功

带入到活塞的微分形式的功中

即可得到活塞微分形式的功

就等于气缸中气体 大气

和摩擦微分形式功之和的负值

对于活塞这个系统而言

另外三者就是它的环境

这也就是说

系统对环境所做的功

就等于环境对系统所做的功

但是符号相反

这本质上与牛顿第三定律

作用力与反作用力的描述

是一致的