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大家好

我们继续学习第二知识模块

第二讲

下面我们来看一下

FT的对称性

在学习对称性之前

我们先来了解一下

共轭对称序列的定义

如果一个序列

具有公式(7)所描述的性质

我们称其为共轭对称序列

也就是说

共轭对称序列的实部是偶函数

虚部是奇函数

同样

当一个序列

具有公式(8)所描述的性质

我们就称其为

共轭反对称序列

显然

共轭反对称序列的实部是奇函数

虚部是偶函数

有了共轭对称序列

和共轭反对称序列的概念之后

我们就可以将一般序列

分解为共轭对称分量

和共轭反对称分量

如公式(9)所示

同样的道理

序列的傅里叶变换

也可以将其分解为

共轭对称分量和共轭反对称分量

如公式(10)所示

那么

对于一般序列

它的共轭对称分量

和共轭反对称分量

我们分别可以通过

公式(11) 公式(12)来进行求解

同样

序列傅里叶变换的

共轭对称分量和共轭反对称分量

也可以通过

公式(13)和公式(14)来进行求解

那么

一般序列

我们可以将其分解为实部和虚部

一个序列x(n)

可以用公式(15)来表示

这里的

xr是它的实部

xi是它的虚部

同样

x(n)的傅立叶变换

我们也可以将其

分解为实部和虚部

那么根据之前我们所

介绍的线性性质

当对x(n)进行傅里叶变换时

如果我们对公式(15)

进行相应的傅里叶变换

我们就可以得到公式(17)

这里面包括两项

一个是对它的实部

进行傅里叶变换

一个是对它的虚部

进行相应的傅里叶变换

在前面我们已经提到了

序列的傅里叶变换

可以分解为共轭对称分量

和共轭反对称分量

那么我们大家来比较一下

公式(10)和公式(17)

那么我们就观察到

对序列的实部

进行傅里叶变换

得到的是它的共轭对称分量

而对它的虚部

取相应的傅里叶变换

所得到的并不直接

是它的共轭反对称分量

而还需要加上一个虚单位j

因此我们就可以得到

第一个结论

序列分为实部和虚部两部分

实部的傅里叶变换

具有共轭对称性

具有共轭对称性

虚部和j的傅里叶变换

具有共轭反对称性

同样

如果我们把序列

分为它的共轭对称分量

和共轭反对称分量

再对它进行求相应的傅里叶变换

我们也可以得到结论2

序列的共轭对称部分

xe的傅里叶变换

对应的是X(e^jω)的实部

序列的共轭反对称部分的

傅里叶变换对应的是

X(e^jω)的虚部

但是这个时候大家也要注意

它也同样需要乘一个虚单位j

在实际的工程当中

序列呢

多为实序列

所以

当我们对实序列

取它的傅里叶变换的时候

我们很容易可以得到结论

实序列的傅里叶变换

必然满足共轭对称性

这很容易可以得到证明

x(n)分为实部和虚部

因为是实序列

显然它的虚部实际上是为0的

当我们对它进行求解

傅立叶变换的时候

实际上求解的就是

xr的傅里叶变换

也就是对他的实部

求相应的傅立叶变换

根据前面我们所讲的性质

那么对它的实部求的傅立叶变换

是具有共轭对称性的

再根据

共轭对称序列的性质

那么

实序列的傅里叶变换

显然它是具有共轭对称性的

并且也可以用公式(20)来表示

实序列的傅里叶变换的特性

这样我们就可以

进一步的得到结论

实序列的傅立叶变换

其实部是ω的偶函数

虚部是ω的奇函数

幅值是ω的偶函数

幅角是ω的奇函数

我们再来进一步的讨论一下

实因果序列的傅里叶变换特性

一个实因果序列

同样可以分解为

共轭对称分量和共轭反对称分量

同样它的共轭对称分量

和它的共轭反对称分量

也可以通过原序列h(n)进行求解

由于是因果序列

显然

当n小于0的时候

h(n)是为0的

这样

我们在求解它的

共轭对称分量的时候

大家就要注意了

n小于0的部分

实际上h(n)应该是为0的

那同样我们求解它的

共轭反对称分量

n小于0的部分

也应该是为0的

这里要注意

在求它的共轭对称分量的时候

n等于0的点

我们赋予了he

我们在求

共轭反对称分量的时候

n等于0的点

我们赋予的是0值

好了

有了这样的分析之后

在进行序列构造的时候

我们就得到了简化的公式(23)

简化的公式(24)

也就是说

当我们用共轭对称分量

去构造h(n)的时候

n等于0的点就是he的值

当我们用共轭反对称分量

去构造h(n)的时候

需要补充n等于0的值

下面我们来看一个例题

如果h(n)是实因果序列

并且我们只知道它的

傅里叶变换的实部

HR是等于1+cos(ω)

那么我们根据前面所讲的性质

能不能通过它的实部的

实部的傅里叶变换

能够求出序列h(n)

并且能够知道它的

整个的傅里叶变换呢

首先根据欧拉公式

我们把HR做一个变形

就是我们可以得到公式(25)

根据前面我们所讲的

通过(25)

我们可以间接的比对出

he等于什么

那比较之后he是三点有值

n等于-1 n等于0

和n等于1

根据实因果序列的构造公式

n小于0的时候

h(n)那是等于0的

那么其他的两个点

n等于0

它是等于1的

n等于1的时候

它是等于1的

这样一来

我们求出了h(n)

然后按照

序列傅里叶变换的定义公式

我们就可以找到

它的傅里叶变换H(e^jω)

就是公式(28)所给的式子

显然呢

通过序列的傅里叶变换的性质

我们可以通过

h(n)的傅里叶变换实部

从而可以找到这个序列

以及它的傅里叶变换

下面我们来看一下

时域卷积定理

卷积定理的内容我们并不陌生

那么在这里

两个序列在时域当中做卷积

在频域当中是做相乘的

通过时域的卷积定理

我们很容易可以求解

一个系统的零状态响应

也就是说系统的零状态响应

可以通过

系统的频率响应函数

和系统输入信号的傅里叶变换

通过相乘直接得到

零状态响应的频率特性

频域卷积定理

如果在时域当中两个信号

作相乘运算

在频域当中

是要做卷积运算的

当然这里面要注意

它们前面要差一个1/2π的系数

也就是说

在时域当中

两序列的相乘

转换到频域之后

是服从卷积关系的

那么这里面大家就要注意了

在实际的工程当中

对于乘法器而言

经过相乘的两个信号

在输出端

所得到的信号的频谱

所占有的频带的宽度

是要扩大

最后我们来看一下

帕斯维尔定律

也就是能量守恒定理

用公式(31)来表示

定理表明

信号在时域的总能量

是等于在频域的总能量

好

我们下面把傅立叶变换的性质

做一下简单的总结

通过学习序列傅里叶变换的性质

希望大家能够了解到

序列的傅里叶变换

是具有连续性

周期性和线性的

实序列的傅立叶变换

是具有共轭对称性的

并且利用时域卷积定理

可以求解

离散系统的零状态响应

我们希望大家课下思考一个问题

通过学习序列的

傅里叶变换的性质

是不是可以通过

一次序列的傅立叶变换

能够求解两个实序列的频谱呢

今天的学习就到这里

再见