当前课程知识点:数字信号处理 > 五 IIR数字滤波器设计及实现结构 > 5-3 巴特沃斯模拟低通滤波器 > 5.3视频
下面我们来分析5.3节
巴特沃斯模拟低通滤波器
大家好
今天我们继续开始
数字信号处理的学习
今天我们介绍第五部分
5.3节
巴特沃斯模拟
低通滤波器的设计
模拟滤波器的设计
模拟滤波器的设计方法
发展的已经很成熟
并且有若干典型的
模拟滤波器供我们选择
比如巴特沃斯、切比雪夫
椭圆和贝塞尔类型的
滤波器
这些滤波器都有严格的
设计公式
以及现成的曲线和图表
供设计人员使用
大家请看
这是常见的四种模拟
理想滤波器的幅频特性
其中低通滤波器
高通滤波器带通滤波器
和带阻滤波器
这是常见的四种类型的
模拟滤波器的幅频特性曲线
希望大家要熟悉
在滤波器设计过程当中
最重要的第一个问题
就是模拟滤波器的设计指标
及其逼近方法
对于模拟滤波器的设计指标
一般指
通带截止频率Ωp
阻带截止频率Ωs
通带的最大衰减αp
阻带的最小衰减αs
如图所示
这是低通模拟滤波器的
幅频特性曲线
其中
通带截止频率阻带截止频率
大家可以看到它对应的位置
对于
单调下降的幅频特性而言
通带的衰减和阻带的衰减
按照定义表达式如图所示
对于单调下降的幅度特性
通带最大的衰减αp
阻带的最小衰减αs
定义如下
那么
在模拟滤波器的指标当中
还有一个重要的参数
Ωc我们称之为是
3dB的截止频率
那么
滤波器的技术指标给定以后
需要
设计一个传输函数Ha(S)
希望Ha(S)的幅度特性
分别满足给定的指标
αp和αs
下面我们来介绍
巴特沃斯模拟
低通滤波器的设计方法
第一个问题
对于这类滤波器的设计
我们通常
都可以参考严格的数学公式
大家请看
对于这个幅度平方函数
我们称之为巴特沃斯类型
的幅度平方函数
我们可以把它
表示为频响函数
或者是两个系统函数相乘的
形式
在这种情况下
我们来设计巴特沃斯
模拟低通滤波器
如图所示
大家看一下
巴特沃斯幅度特性
和滤波器阶数N之间的关系
巴特沃斯模拟低通滤波器最
大的特点幅度平方函数是
单调下降的
也就是说
他的通带和阻带的
特性均为下降的趋势
而且随着N的增加
幅度平方函数
幅频特性下降的比较厉害
但是当N大到一定程度之后
它的幅度下降没有很明显的
变化
因此单纯的依靠
增加滤波器的阶次
来设计滤波器
很难获得很高的性价比
我们总结一下
对于巴特沃斯模拟
低通滤波器
它的特点是
通带有最大平坦的幅度特性
而且阻带是单调下降的
第三个特点
随着滤波器阶次N的增大
幅度下降越大
并且能过渡带越窄
这是他的三个特点
希望大家注意
对于巴特沃斯类型的
模拟低通滤波器
根据他的幅度平方函数
我们可以找到他的
2N个极点
极点用Sk表示表达式
表达式如图所示
根据相应的推导
分析可以看到
对于
巴特沃斯类型的
模拟低通滤波器
它的2N个极点分布
是很有规律的
如图所示
为了形成稳定的滤波器
根据稳定性的条件要求
系统函数的所有极点
都位于S平面
左半平面
因此在2N个极点当中
我们只取S平面左半平面
的N个极点构成
滤波器的系统函数HaS
而右半平面的N个极点
构成系统函数的
另一部分Ha(S)
我们以滤波器阶次
N=3为例
来构造它的系统函数
可以看到它的六个极点
分别表达式如图所示
我们取其中左半平面的
3个极点S0 S1 S2
来构造此滤波器的系统函数
Ha(S)
那么
根据这样的一个规律
我们取S0 S1 S2
构造了
巴特沃斯类型滤波器的
系统函数
为了设计的统一
将所有的频率
对Ωc进行规一化处理
规一化处理之后
的滤波器的系统函数表达式
如图所示
根据规划之后的
模拟低通滤波器的
系统函数的特点
我们引入一个新的变量
规一划的复频率P
同时
我们引入
规一划的频率λ
在这种情况下
滤波器的系统函数Ha(S)
我们可以用规一划的
系统函数Ha(P)来进行表示
滤波器的极点Sk
可以转换为规一划的极点
Pk
Sk和Pk之间的关系
大家可以看到
这是Sk的表达式
这是归一化之后
Pk的表达
是经过了归一化处理之后
我们给出
归一化的巴特沃斯滤波器
它的系统
函数的
一般的通式的表达形式
Ha(P)就是这样的一个形式
那么也就是说我们在设计
滤波器的过程当中
根据他的极点分布想办法
把Ha(P)找到
就得到了
归一化的滤波器的系统
函数的表达式
得到归一化的系统函数
的表达式之后
我们就可以去归一化
得到我们要设计的
巴特沃斯类型的
模拟低通滤波器的系统函数
下面我们总结一下
巴特沃斯模拟
低通滤波器的设计方法
第一步
根据
技术指标确定
滤波器的阶次N
第二步
求规划的极点
Pk并带到归一化
的系统函数Ha(P)当中
或者是
查表得到规划的系统函数
Ha(P)
第四步
根据技术指标
确定3dB截止频率
去归一化处理
得到
实际的滤波器的系统函数
Ha(S)
根据这样的一个设计步骤
我们来进行设计方法
具体计算的一个说明
第一步
我们需要由给定的
技术指标确定N
那么N
跟什么量有关系呢
根据巴特沃斯
模拟滤波器的幅度
平方函数的表达式
参考
它的阻带衰减
和通带衰减
和相应指标的关系是
我们首先
把他的两个衰减的
表达式转换为指数的
这样的一个形式
也就是说
都是用幅度平方函数的形式
来进行
表示
转换成这个结果之后
我们对比他的幅度
平方函数的
这个表达式和这个表达式
之间的关系
我们得到
这样的一个表达式
去掉它的幅度
平方函数
可以看到
这组表达式当中
只跟四个指标和N
有关系
由此
我们在进行进一步的变形
就得到这组表达式
我们可以把
3bB的截止频率的影响
去掉
另两个式子之比经过整理
得到这个表达式
得到这组表达式之后
我们就能
得到N和四个指标之间的
一组关系式
在这组关系式当中
我们为了表示的方便
可以利用对数的这部分
等于Ksp
Ωs比Ωp的部分
我们令她是λsp
所以说
N的表达式
变为这个比较简单的形式
我们把它整理一下
大家可以看一下
这个颜色的表达式
就是我们N
和滤波器的
四个指标之间的关系式
这是我们最终
求解N的表达式
希望大家要熟悉
得到滤波器的阶次N之后
下面我们来计算
虑波器的3dB的截止频率
Ωc
Ωc跟什么量有关系呢
通过刚才的分析
我们注意到
这组表达式得到
这组关系式之后
我们发现
3dB截止频率
分别跟通带的指标有关系
和阻带的指标有关系
如果我们按照
通带的指标计算的话
组带指标会有余量
如果我们利用
阻带的指标来计算的话
通带的指标会有余量
第三步
我们需要根据确定的N
查表可以很方便地
得到他的规一划的
系统函数的表达式Ha(P)
最后一步
我们把
归一化的系统函数
进行去规一划处理
得到我们要设计的
滤波器的系统函数
另P=S/Ωc带到规一划
滤波器的系统函数当中去
可以得到
我们要设计的
滤波器的系统函数
Ha(S)
以上就是我们设计
巴特沃斯模拟滤波器
基本的计算步骤
希望大家要熟悉
下面我们看一个例题
要求设计巴特沃斯
低通滤波器
通带截止频率
通带的最大衰减
阻带的截止频率
以及组带的最小衰减
四个指标给定
要求设计巴特沃斯类型的
低通模拟滤波器Ha(S)
根据我们刚才的分析
第一步
确定模拟低通滤波器的N
根据刚才的计算公式的分析
我们需要分别计算
N相关的这两个量具体数值
那么可以看到Ksp
λsp跟
通带阻带的衰减
以及它相应的截止频率
有关我们带入具体的数值
分别得到具体的参数
经过代入这个公式之后
N是4.26
我们一般取
N是取整取五
由此确定了滤波器的N
是5
滤波器极点的表达式
可以看到
跟N密切相关
我们就可以计算它的
5个极点
得到
归一化的系统函数Ha(P)
这是得归一化系统函数的
方法之一
方法二
我们可以根据
我们计算出来的
N=5查表
得到它的5个极点
这是方法二
方法三
我们可以直接查表
得到它规一划的系统
函数的系数
并带到规一划的
滤波器系统函数的表达式
当中去
从而得到
我们要设计滤波器的
规一划类型的系统函数
Ha(P)
下一步
第三步
我们需要对Ha(P)
进行去规一划的处理
需要先求3dB
的截止频率
在求3dB截止频率的过程
当中
我们可以按通带指标确定
也可以按阻带指标确定
作为举例
在此
按通带的指标来
进行计算 计算
结果如图所示
经过验证
可以看到阻带的指标
是有余量的
最后
我们把
我们计算得到的3dB的截止频率
用去归一化的方法
带到我们归一化的
系统函数的表达式当中去
从而得到我们要设计的
滤波器的系统函数
Ha(s)表达式
通过这个具体的例子
我们通过相应的仿真验证
可以看到
巴特沃斯类型
滤波器的频率特性曲线
无论在通带
还是在阻带
都是频率的单调函数
当通带边界满足
指标要求的时候
通带内会有一定的余量
这样
更有效的设计方法
是将精确度均匀的
分布在整个频带内
从而可用阶数较低的
系统满足设计要求
这种效果
可用具有等波纹特性的
切比雪夫滤波器来设计实现
以上就是今天我们所讲的
模拟巴特沃斯类型
低通滤波器的设计方法
希望大家重点掌握
它的设计原理和设计步骤
今天我们就学习到这里
谢谢下次课再见
-课程简介
-1-0 内容简介
--1-0 视频
-1-1 时域离散信号的表示与运算
--1-1 视频
-1-2 LTI时域离散系统
--1-2 视频
-1-3 系统初始状态对输出的影响
--1-3视频
-1-4 模拟信号数字处理方法
--1-4 视频
-第一模块测试题
--第一模块测试-作业
-2-0 内容简介
--2-0 视频
-2-1 序列的傅里叶变换
--2-1视频
-2-2 序列傅里叶变换的性质
--2-2 视频-1
--2-2 视频-2
-2-3 周期序列离散傅里叶级数与傅里叶变换的表示
--2-3 视频
-2-4 时域离散信号FT与模拟信号FT之间的关系
--2-4视频
-2-5 序列的Z变换及其逆变换
--2-5视频
-2-6 序列Z变换的性质
--2-6 视频
-2-7 利用Z变换求解差分方程
--2-7 视频
-2-8 利用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性
--2-8 视频
-2-9 利用Z变换定性分析系统特性
--2-9 视频
-第二模块测试题
--第二模块测试题-作业
-3-0 内容简介
--3-0 视频
-3-1 序列的离散傅里叶变换
--3-1 视频
-3-2 DFT与Z变换、傅里叶变换的关系
--3-2视频
-3-3 离散傅里叶变换的隐含周期性
--3-3 视频
-3-4 离散傅里叶变换的性质
--3-4 视频
-3-5 循环卷积计算
--3-5 视频
-3-6 频率域采样
--3-6 视频
-3-7 利用DFT计算线性卷积
--3-7 视频
-3-8 利用DFT对信号进行谱分析
--3-8 视频
-第三模块测试题
--第三模块测试-作业
-4-0 内容简介
--4-0 视频
-4-1 采用快速傅里叶变换的原因
--4-1 视频
-4-2 减少DFT运算量的途径
--4-2 视频
-4-3 时域抽取法基2FFT
--4-3视频
-4-4 频域抽取法基2FFT
--4-4 视频
-4-5 基2FFT算法运算量及运算规律
--4-5视频
-4-6 进一步减少运算量的措施
--4-6 视频
-第四模块测试题
--第四模块测试-作业
-5-0 内容简介
--5.0视频
-5-1 数字滤波器介绍
--5.1视频
-5-2 滤波器技术指标
--5.2视频
-5-3 巴特沃斯模拟低通滤波器
--5.3视频
-5-4 切比雪夫模拟低通滤波器
--5.4视频
-5-5 脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器
--5.5视频
-5-6 双线性变换法设计IIR数字低通滤波器
--5.6视频
-5-7 数字各型滤波器的设计
--5.7视频
-5-8 由信号流图求网络系统函数
--5.8视频
-5-9 IIR系统基本网络结构
--5.9视频
-5-10 IIR数字滤波器的工程应用
--5.10视频
-5-11 IIR数字滤波器的量化误差
--5.11视频
-第五模块测试题
--第五模块测试-作业
-6-0 引言
--6-0 视频
-6-1 线性相位FIR滤波器的条件与特点
--6-1 视频
-6-2 线性相位FIR滤波器的零点分布
--6-2 视频
-6-3 FIR数字滤波器的基本实现结构
--6-3 视频
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--6-4 视频
-6-5 格型网络结构
--6-5视频
-6-6 窗函数法设计线性相位FIR滤波器的原理
--6-6 视频
-6-7 典型窗函数及其特性
--6-7 视频
-6-8 窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器步骤
--6-8 视频
-6-9 频率采样法设计线性相位FIR滤波器
--6-9 视频
-6-10 频率采样法的逼近误差及其改进措施
--6-10 视频
-6-11 等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器
--6-11 视频
-6-12 FIR数字滤波器的工程应用
--6-12 视频
-6-13 FIR滤波器和IIR滤波器比较
--6-13 视频
-第六模块测试题
--第六模块测试-作业
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--实验一 视频
--实验一指导书
-实验二
--实验二 视频
--实验二指导书
-实验三
--实验三指导书
--实验三视频
-实验四
--实验四指导
-模拟信号数字处理 学案
-DFT应用 学案
--DFT应用 学案
-课程拓展讨论
--模块一 讨论1
--模块一 讨论2
--模块二讨论1
--模块二讨论2
--模块三讨论1
--模块三讨论2
--模块四讨论1
--模块四讨论2
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--模块五讨论2
--模块五讨论3
--模块五讨论4
--模块六讨论1
--模块六讨论2
--模块六讨论3
--模块六讨论4
--模块六讨论5
-微课
--DFT
--梳状滤波器
-课后拓展内容
--采样与混叠实例
--离散时间调制
--FFT应用
--反馈实例
--吉布斯效应