当前课程知识点:数字信号处理 > 五 IIR数字滤波器设计及实现结构 > 5-6 双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 > 5.6视频
下面我们来分析5.6节
双线性变换法设计
IIR数字低通滤波器
第一部分
我们首先来介绍设计原理
双线性变换法设计
IIR数字低通滤波器
采用的是一种
非线性频率压缩的方法
我们将整个频率轴上
的频率范围
压缩到
正负π/T之间
再利用
Z=est
这个对应关系
转换到Z平面
如图所示
我们设
S平面是原来的系统函数
Ha(S)
设Ha(S)
是模拟
低通滤波器的系统函数
经过非线性的频率压缩之后
用Ha(S1)来表示
如图所示
也就是由S平面
转换到了S1平面
将S平面的左半平面
压缩到了+-π比T
一个带状的区域
用正切变换
实现频率的压缩
满足的关系式 这个表达式
通过这个表达式
我们分析
可见
当Ω1
从+-π/T
在这个带状区域内
进行变化的时候
对应的角频率可以发现
从负无穷到零
到正无穷进行变换
正好映射到
整个S平面的左半平面
然后我们再利用
脉冲响应
不变法
这个映射关系
将这个带状区域
映射到Z平面
由此可见
S1平面
这个阴影部分的带状区域
正好映射为Z平面的单位
圆的内部
满足了我们设计的要求
下面我们来分析
S平面和
Z平面的对应关系
根据刚才的分析
我们用这个
非线性的频率压缩
实现了
S平面到S1平面的转换
由此
利用这个关系式
转换到S平面
两边同乘以J
然后进行相应的整理
那么可以看到
S平面和
S1平面之间的对应关系
满足这个表达式
然后我们令
Z=es1T
由S1平面
映射到Z平面
我们经过整理之后
可以看到S平面
和z平面之间的对应关系式
满足这个表达式
由此
我们得到了S
平面和z平面的对应关系
这是一个非常重要的关系
希望大家要重视
S平面和
z平面的对应关系
我们得到之后
下面我们来分析
模拟角频率
Ω和数字域的频率
这个ω之间的关系
根据刚才的分析
我们令S=jΩ
z=ejΩ
带到刚才的
然后进行相应的整理
模拟频率
Ω和数字频率之间
对应关系
满足这个关系式
这就是双线性变换法
对应的频率变换关系
首先需要明确的是
模拟角频率
和数字与频率之间的
对应关系
满足这个表达式如图所示
那么S平面和
z平面的对应关系
满足这个表达式
希望大家能要牢固掌握
这两种对应关系
下面我们来分析
这种双线性变换法
它的主要的特点
首先它的优点是
克服了频率混叠的现象
他的缺点
是频率满足非线性的关系
会带来幅度响应和
相位响应的失真
适用于片段
常数
滤波器的设计
如图所示
经过这样的双线性变换之后
幅频特性和相频特性
发生了
相应的改变
也就是发生了
相应的失真的一种现象
根据以上原理的分析
下面我们来介绍
双线性变换法
数字滤波器设计的基本步骤
首先
需要确定
数字低通滤波器的
技术指标
这四个参数值
第二步
我们需要将
数字低通滤波器的指标
转换为模拟低通
滤波器的技术指标
那么转换的方法有两种
脉冲响应
不变法
对应这个转换关系
双线性变换法
对应这个非线性的转换关系
第三步
按照
模拟低通滤波器的
技术指标设计
模拟低通滤波器
第四步
将模拟滤波器
从S平面转换到Z平面
从而得到
数字低通滤波器的系统函数
H(Z)
根据前面
采用变换方法的不同
在转换过程当中
脉冲响应不变法
对于这组关系式
进行相应的转换
双线性变换法
对应这组关系式
来进行相应的转换
通过
以上这两种转换关系
大家可以看到
对于双线性变换法
当滤波器的阶次较高的时候
将H(z)
整理成需要的形式
计算复杂度也比较高
为了简化设计
在一些工具参考书里面
提供了将模拟滤波器
转换为
数字滤波器
各系数之间对应的关系
并列成表格
共查表设计使用
大家可以看
到由Ha(S)
转换到H(z)
用这个相应的转换关系
计算量是非常大的
因此提供了相应的
对应的系数关系表
供大家进行查阅
从一定程度上
简化大家的分析
在设计过程当中
还有一个问题需要注意
那就是采样间隔T的选择
我们先分析脉冲响应
不变法
脉冲响应
不变法
采用的对应关系是
这组表达式
通过分析
我们在设计过程当中
为了避免
出现频率混叠的现象
我们需要要求
模拟低通滤波器
带限于
+-π/T之间
而实际当中虑波器
都有一定的过渡带的带宽
因此我们可以选择
阻带的截止频率
在这个范围内
根据这样的一个选择
我们可以设定
假如
先给定了数字低通的
技术指标
由于数字
低通滤波器的频响函数
是以2π为周期的
最高频率
处在Ω=π的位置
因此我们可以设定
数字域的
频率小于π
按照线性的
对应关系
我们可以得到
模拟域的频率
在这个范围内变化
那么对比这两组关系式
大家可以看到
我们在这种限定条件下
就可以任意选择T
从而
满足带限于
+-π/T这样的一个条件
为了计算的简单
一般选T=1
这是脉冲响应
不变法
对采样间隔的考虑
对于双线性变换法是
一种什么情况呢
经过分析
我们知道
由于双线性变换法
不存在频率混叠的现象
尤其是对于片段
常数
滤波器的设计
所以在双线性变换法当中
采样间隔T
我们可以任意选择
下面
我们看一个具体的设计例题
要求设计
数字低通滤波器
通带内的频率
允许的误差
以及
频率在0.3π到π之间
阻带衰减大于15db
指定模拟滤波器为
巴特沃斯低通滤波器
要求分别用
脉冲响应不变法
和双线性变换法
设计
数字低通滤波器
首先
我们来用脉冲响应
不变法
设计数字低通滤波器
根据设计要求
我们首先确定
数字低通的技术指标
然后
由数字指标
转换为模拟低通的指标
相应的数值参数
如图所示
我们选采样间隔为一秒
根据设计要求
模拟滤波器指定为
巴特沃斯低通滤波器
因此
先计算阶次N
3DB的截止频率
Ωc
具体计算结果
如图所示
我们选择
巴特沃斯的阶次为6
然后
根据通带的技术指标
我们来
确定3DB的截止频率
得到ΩC的数值
发现
此数值小于0.3π
满足通带的技术指标的要求
可以看到给阻带的衰减
留有一定的余量
从而防止混叠现象
根据计算
可得的
模拟低通滤波器的阶次
我们查表得到
归一化的系统函数
Ha(p)
然后
去归一化的处理
另p=S/Ωc代入上式
我们可以得到
去归一化的系统函数
最后
用脉冲响应不变法
将Ha(s)转换成相应的H(Z)
转换的方法
用脉冲响应不变法
用这组关系式来进行
相应的转换
以上就是脉冲响应
不变法
设计数字低通滤波器的
具体的过程
这种方法
适用于并联型网络结构
下面我们用
双线性变换法
来设计数字低通滤波器
用到的
转换关系是
这组非线性的关系
首先
确定
数字低通滤波器的技术指标
然后
利用双线性变换法
这组对应关系式
将数字低通的指标
转换为模拟低通的指标
这是具体的数值
第三步
根据设计要求
设计
巴特沃斯模拟低通滤波器
阶次N=6
下一步
我们根据
阻带的指标
来计算3DB截止频率
可以发现
阻带指标满足
给通带衰减留有一定的余量
可以看到
用这种方法
得到的归一化的系统函数
和脉冲响应不变法
结果是相同的
去归一化之后
得到
相应的系统函数的表达式
最后一步
用双线性变换法
将Ha(S)
转换成相应的H(Z)
这是具体的计算过程
以上为双线性变换法
设计
数字低通滤波器的
具体的过程
今天我们就学习到这里
谢谢下次课再见
-课程简介
-1-0 内容简介
--1-0 视频
-1-1 时域离散信号的表示与运算
--1-1 视频
-1-2 LTI时域离散系统
--1-2 视频
-1-3 系统初始状态对输出的影响
--1-3视频
-1-4 模拟信号数字处理方法
--1-4 视频
-第一模块测试题
--第一模块测试-作业
-2-0 内容简介
--2-0 视频
-2-1 序列的傅里叶变换
--2-1视频
-2-2 序列傅里叶变换的性质
--2-2 视频-1
--2-2 视频-2
-2-3 周期序列离散傅里叶级数与傅里叶变换的表示
--2-3 视频
-2-4 时域离散信号FT与模拟信号FT之间的关系
--2-4视频
-2-5 序列的Z变换及其逆变换
--2-5视频
-2-6 序列Z变换的性质
--2-6 视频
-2-7 利用Z变换求解差分方程
--2-7 视频
-2-8 利用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性
--2-8 视频
-2-9 利用Z变换定性分析系统特性
--2-9 视频
-第二模块测试题
--第二模块测试题-作业
-3-0 内容简介
--3-0 视频
-3-1 序列的离散傅里叶变换
--3-1 视频
-3-2 DFT与Z变换、傅里叶变换的关系
--3-2视频
-3-3 离散傅里叶变换的隐含周期性
--3-3 视频
-3-4 离散傅里叶变换的性质
--3-4 视频
-3-5 循环卷积计算
--3-5 视频
-3-6 频率域采样
--3-6 视频
-3-7 利用DFT计算线性卷积
--3-7 视频
-3-8 利用DFT对信号进行谱分析
--3-8 视频
-第三模块测试题
--第三模块测试-作业
-4-0 内容简介
--4-0 视频
-4-1 采用快速傅里叶变换的原因
--4-1 视频
-4-2 减少DFT运算量的途径
--4-2 视频
-4-3 时域抽取法基2FFT
--4-3视频
-4-4 频域抽取法基2FFT
--4-4 视频
-4-5 基2FFT算法运算量及运算规律
--4-5视频
-4-6 进一步减少运算量的措施
--4-6 视频
-第四模块测试题
--第四模块测试-作业
-5-0 内容简介
--5.0视频
-5-1 数字滤波器介绍
--5.1视频
-5-2 滤波器技术指标
--5.2视频
-5-3 巴特沃斯模拟低通滤波器
--5.3视频
-5-4 切比雪夫模拟低通滤波器
--5.4视频
-5-5 脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器
--5.5视频
-5-6 双线性变换法设计IIR数字低通滤波器
--5.6视频
-5-7 数字各型滤波器的设计
--5.7视频
-5-8 由信号流图求网络系统函数
--5.8视频
-5-9 IIR系统基本网络结构
--5.9视频
-5-10 IIR数字滤波器的工程应用
--5.10视频
-5-11 IIR数字滤波器的量化误差
--5.11视频
-第五模块测试题
--第五模块测试-作业
-6-0 引言
--6-0 视频
-6-1 线性相位FIR滤波器的条件与特点
--6-1 视频
-6-2 线性相位FIR滤波器的零点分布
--6-2 视频
-6-3 FIR数字滤波器的基本实现结构
--6-3 视频
-6-4 FIR数字滤波器的频率采样结构
--6-4 视频
-6-5 格型网络结构
--6-5视频
-6-6 窗函数法设计线性相位FIR滤波器的原理
--6-6 视频
-6-7 典型窗函数及其特性
--6-7 视频
-6-8 窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器步骤
--6-8 视频
-6-9 频率采样法设计线性相位FIR滤波器
--6-9 视频
-6-10 频率采样法的逼近误差及其改进措施
--6-10 视频
-6-11 等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器
--6-11 视频
-6-12 FIR数字滤波器的工程应用
--6-12 视频
-6-13 FIR滤波器和IIR滤波器比较
--6-13 视频
-第六模块测试题
--第六模块测试-作业
-实验一
--实验一 视频
--实验一指导书
-实验二
--实验二 视频
--实验二指导书
-实验三
--实验三指导书
--实验三视频
-实验四
--实验四指导
-模拟信号数字处理 学案
-DFT应用 学案
--DFT应用 学案
-课程拓展讨论
--模块一 讨论1
--模块一 讨论2
--模块二讨论1
--模块二讨论2
--模块三讨论1
--模块三讨论2
--模块四讨论1
--模块四讨论2
--模块五讨论1
--模块五讨论2
--模块五讨论3
--模块五讨论4
--模块六讨论1
--模块六讨论2
--模块六讨论3
--模块六讨论4
--模块六讨论5
-微课
--DFT
--梳状滤波器
-课后拓展内容
--采样与混叠实例
--离散时间调制
--FFT应用
--反馈实例
--吉布斯效应