当前课程知识点：数字信号处理 > 三 时域离散信号与系统DFT分析 > 3-3 离散傅里叶变换的隐含周期性 > 3-3 视频
大家好
这节课我们讨论
序列的离散傅里叶变换的隐含周期性
主要内容包括
离散傅里叶变换的隐含周期性
有限长序列和周期序列的关系
序列的离散傅里叶级数DFS
与DFT的关系
我们首先来看
序列离散傅里叶变换的隐含周期性
在离散傅里叶变换中
x(n)和X(k)都是有限长序列
但它们是具有隐含周期性的
周期是离散傅里叶变换的点数N
根据周期序列的定义
它应该满足这个公式
那下面我们来分析一下
这二者是不是相等的
把k+mN代入到
离散傅里叶变换的公式当中
我们可以得到这个公式
把这个系数化简一下
这个系数我们把它展开
得到两项相乘
而这一部分它是等于1的
那我们就可以得到公式(2)
公式(2)说明WN^kn是具有周期性的
把公式(2)再代回到
上面这个式子里面来
我们可以得到X(k+mN)等于X(k)
同理我们还可以得到公式(3)
就是时域序列x(n+mN)等于x(n)
公式(1)和公式(3)说明X(k)和x(n)
都是具有隐含周期性的
我们再来看有限长序列
和周期序列的关系
它们的关系
是用下面两个公式来描述的
在这个公式里
周期序列是字母上加一个~来表示
公式(4)的含义
就是周期序列是有限长序列
以N为周期进行周期延拓得到的
公式(5)的含义是有限长序列
是周期序列的一个周期
我们从公式(5)可以看到
这个周期序列乘以一个矩形序列
得到的就是这个有限长序列
我们通过图形的方式来看一下
这个图是有限长序列x(n)
我们把它分别向左向右进行延拓
就形成了这个周期序列
而这个周期序列再去乘上矩形序列
我们把这个周期序列和矩形序列相乘
因为矩形序列它是0到N-1有值的
所以除了这以外的值
乘完以后都是得0的
这样的话就得到有限长序列
所以我们把0到N-1这个区间
定义成主值区间
在这个区间上的序列叫做主值序列
对一个有限长序列进行周期延拓
如果延拓周期大于等于序列长度
M的时候不会发生混叠现象
比如这个序列是一个4长的序列
那么以4或者比4大的数
为周期进行延拓
再取主值
和原来的有限长序列是相等的
但是
如果延拓周期小于序列的长度呢
比如4长的序列
我们以3为周期进行延拓
这时候会发生什么情况呢
这个还是序列x(n)
我们把它以3为周期进行延拓
我们发现这个序列的值
和延拓序列的值重叠到一起了
这就是发生了混叠现象
那么这时候再去取主值序列
很明显和原来的序列是不相等的
这个就是周期序列
和有限长序列的关系
那我们在后面的频域采样定理中
会涉及到这个概念
如果序列长度是M
当N大于等于M的时候
周期序列还可以用模运算符号来表示
也就是公式(6)来表示
那么这一部分表示n对N取余数
因为是周期序列
所以每个周期的值
都是和主值序列是一样的
如果n等于n1+mN
m是整数
那么n对大N取余数
结果就是n1
我们来看一个例子
假设序列x(n)的长度是6
对它以6为周期进行延拓
得到周期序列
那么这个周期序列n等于15的值
应该是什么呢
我们把15对6取余数
结果是3
所以这个值应该等于
有限长序列n等于3的那个值
也就是说
周期序列里每个周期的值
都可以在主值区间找到
下面我们看
周期序列的离散傅里叶级数
和序列的离散傅里叶变换是什么关系
公式(7)是周期序列的离散傅里叶级数
它也是周期的
因为n是从0到N-1
所以时域周期序列的值就是x(n)
公式(8)是有限长序列的
离散傅里叶变换
公式(9)就是二者的关系
就是周期序列的
离散傅里叶级数的主值序列
就是序列的离散傅里叶变换
那么它的物理意义就是
X(k)是序列x(n)的
周期延拓序列的频谱特性
同样我们可以得到
时域周期序列和有限长序列的关系
就是公式(11)所表示的
有限长序列是周期序列的主值序列
我们再来看一个例子
如果序列为N点矩形序列
求它的N点离散傅里叶变换
首先写出离散傅里叶变换的公式
那么这一项在k等于0的时候
它的值是1
也就是X(k)
在k等于0的时候
是N个1相加等于N
那么k不等于0的时候
利用级数求和的方法
可以得到X(k)等于0
也可以写成N乘以δ(k)
它的物理意义
就是说序列以N为周期进行周期延拓
得到了这个周期序列
它是一个直流序列
值都是1
所以只有直流成分
那么矩形序列的N点
离散傅里叶变换
就表示了
它的周期延拓序列的频谱特性
和我们前面给出来的结论是一样的
这节课我们学习了
离散傅里叶变换的隐含周期性
有限长序列和周期序列的关系
以及序列的DFS和DFT的关系
这节课的内容
我们就学习到这里 再见
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--1-2 视频
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--1-4 视频
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--2-1视频
-2-2 序列傅里叶变换的性质
--2-2 视频-1
--2-2 视频-2
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--2-3 视频
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--2-5视频
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--2-9 视频
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--3-0 视频
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--3-1 视频
-3-2 DFT与Z变换、傅里叶变换的关系
--3-2视频
-3-3 离散傅里叶变换的隐含周期性
--3-3 视频
-3-4 离散傅里叶变换的性质
--3-4 视频
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--3-5 视频
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--3-6 视频
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--3-8 视频
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--DFT应用 学案
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