当前课程知识点：数字信号处理 > 二 时域离散信号和系统的频域分析 > 2-8 利用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性 > 2-8 视频
大家好
我们继续学习第二知识模块
今天学习第八讲
利用系统函数的极点分布
分析系统的因果性和稳定性
在这一讲
我们需要了解频率响应函数
系统函数的定义
然后根据序列Z变换的收敛域特性
通过系统函数极点分布的位置
分析系统的因果性和稳定性
首先我们来看一下
频率响应函数的定义
之前我们讨论过
对于离散系统来讲
单位脉冲响应h(n)
是系统在零状态的情况下
对单位脉冲序列δ(n)的响应
如果我们对h(n)取它的傅里叶变换
得到公式(1)
那么我们就称其为
系统的频率响应函数
也可以叫传输函数
我们再来看一下系统函数的定义
我们称h(n)的Z变换
也就是公式(2)
为系统的系统函数
那根据序列的傅里叶变换
还有Z变换的关系
显然也可以有
如果H(z)的收敛域包括单位圆
那么就可以得到公式(3)
就是说当z等于e^jω的时候
我们就可以得到它的频率响应函数
或者说得到它的传输函数
就是说单位脉冲响应
在单位圆上的Z变换
就是系统的传输函数
好
那么我们如何
利用系统函数的极点分布
来分析系统的因果性和稳定性呢
首先我们来看一下
系统因果性的条件
如果一个系统具有因果性
它的单位脉冲响应h(n)一定满足
当n小于0时
h(n)是等于0的
那这时候系统函数H(z)的收敛域
是z的绝对值大于r
也就是说
对于因果系统来讲
它的收敛域一定是包括无穷大的
这和因果序列的性质是相类似的
我们再来看一下稳定性
对于稳定的系统来讲
我们要求它的收敛域包括单位圆
也就是说
对于因果稳定的系统
H(z)的极点是集中在单位圆内的
这就要求因果稳定系统的收敛域
是z的绝对值
大于r 小于等于无穷大
这里要注意
r的取值是大于0 小于1
下面我们通过一个例题
来讨论系统的因果性和稳定性
如果一个离散系统
它的差分方程用公式(5)来描述
显然这是一个二阶的差分方程
要求我们求系统的系统函数H(z)
并画出系统的零极点图
如果系统是因果的
我们来分析H(z)的收敛域
如果系统是稳定的
H(z)的收敛域又该怎样
为了求解系统的系统函数
我们首先对差分方程求其Z变换
就可以得到公式(6)
然后可以进一步的整理
得到公式(7)
我们还可以把它表示成
公式(8)的形式
之所以把它写成公式(8)的形式
是为了我们进一步的求解
系统函数H(z)的极点
我们令z方减z减1等于0
就可以得到它的极点
这里我们求出它的两个极点z1和z2
我们把H(z)的零极点图
用图1来表示
零点用○来表示
极点用×来表示
首先我们来分析一下
这个系统的零极点图
它在坐标的原点有一个零点
在z1处有一个极点
在z2处有一个极点 都是在横轴上
显然从取值上来讲
z1是大于z2的
因为我们也知道
收敛域是用极点来限定的
那么当我们限定系统是因果的时候
它的收敛域一定是圆外域
那么从图形的z1和z2的位置
就决定了H(z)的收敛域
在因果的情况下
是z的绝对值大于z1
那么如果我们限定这个系统
具有稳定性
因为稳定系统
它的收敛域是要包括单位圆的
所以从这个图形当中
单位圆z1和z2的位置
我们就可以分析出
如果这个系统是稳定的
它的收敛域一定包括单位圆
因此收敛域应该是z的绝对值
大于z2 小于z1
那么在这里面
我们思考一个问题
在要求系统稳定时
系统还具有因果性吗
由于它的收敛域已经变成了
z的绝对值大于z2
小于z1
显然这个系统已经不具备因果性了
通过上述分析我们可以知道
因果稳定的系统
它的极点是集中在单位圆内的
其系统函数的收敛域
为包括单位圆的圆外域
今天的学习就到这里
再见
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--2-2 视频-1
--2-2 视频-2
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-2-5 序列的Z变换及其逆变换
--2-5视频
-2-6 序列Z变换的性质
--2-6 视频
-2-7 利用Z变换求解差分方程
--2-7 视频
-2-8 利用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性
--2-8 视频
-2-9 利用Z变换定性分析系统特性
--2-9 视频
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