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大家好

这节课我们学习

序列循环卷积的计算方法

主要内容包括

循环卷积的时域计算原理

以及循环卷积的计算方法

我们首先来看

循环卷积的时域计算原理

假设有限长序列

x1(n)和x2(n)的长度分别是N1和N2

N是大于等于N1和N2中大值的

那么两个序列的N点循环卷积

我们用yc(n)来表示

yc(n)的定义如公式(1)所示

循环卷积的符号

可以用N加一个圈来表示

N表示循环卷积的点数

也可以用*加圈来表示

我们来分析一下公式(1)的含义

从这个公式中我们可以看出

首先要对x2(m)

以N为周期进行周期延拓

然后以纵轴为对称轴进行翻转

对翻转以后的周期序列进行移位

把移位序列

和x1(m)对应点相乘相加

最后再取主值序列

那么在这个过程当中

因为是对周期序列进行移位

所以移位序列还是周期的

不便于计算

也不便于用计算机来进行实现

所以我们可以把序列翻转以后

先取主值

也就是下面这个步骤

首先将x2(m)进行周期延拓

得到周期序列

然后对这个周期序列进行翻转以后

先取主值序列

对得到的主值序列进行循环移位

每次右移一位

然后用循环移位

和x1(m)对应点相乘相加

这样就可以得到循环卷积的结果

循环卷积的长度是N

下面我们介绍

循环卷积的计算方法

第一种是图解法

这个方法

就是按照刚才介绍的步骤

用做图的方式来进行计算

我们以两个3点的矩形序列

计算4点循环卷积为例

也就是N等于4

首先画出x1(m)和x2(m)的图形

然后对x2(m)进行周期延拓

再对周期序列进行翻转

取主值

下面对这个主值序列

进行循环移位

循环右移1位

对应着n等于1

就是上面这个序列

最后一位从右边移出来

从左边移进去

就是循环移位

然后再进行循环移位

再循环右移一位

把得到的这几个序列

分别去和x1(m)进行

对应点的相乘相加

就可以得到yc(n)的值

当n等于0的时候

将最上面这个序列

和x1(m)对应点相乘相加

得到的结果就是2

然后对循环右移一位的这个序列

和x1(m)对应点相乘相加

得到yc(1)

这个值也是2

再把其它两个序列

也和x1(m)对应点相乘相加

得到后面的两个值

这个就是利用图解法

来计算循环卷积的过程

图解法比较直观

但是画起来比较麻烦

所以我们可以采用

矩阵法来进行计算

循环卷积也满足交换律

所以公式(1)和公式(2)是相等的

也就是x1和x2交换位置

结果还是相等的

我们把公式(2)写成矩阵的形式

这个矩阵的第一行

就是x1(m）周期延拓

翻转 取主值得到的序列

我们观察一下它的特点

在这个序列中

除了x1(0)这个值不动

其它的值正好是前后翻转

所以第一行这个序列

循环倒相序列

第一行进行循环右移1位

再对第二行循环右移1位

就可以得到下面这几行序列了

如果循环卷积点数N大于序列的长度

那么序列要先补0

然后再去计算它的循环导向序列

把x2(m)写成列向量的形式

然后对这两个矩阵进行相乘

就可以得到yc(n)

我们举一个例子

假设有两个序列x1(n)和x2(n)

都是等于1 2 3 4

当N等于4的时候

这个循环倒相序列

除了1不动以外

剩下的后面几个值是前后翻转的

所以这个循环倒相序列

就是1 4 3 2

当N等于8的时候

要先对原来的序列进行补0

然后再去计算

它的循环倒相序列

所以这个循环倒相序列

是1 然后是四个0 4 3 2

我们对这两个序列

计算4点的和8点的循环卷积

首先看4点的循环卷积

先写出矩阵相乘的这种形式

然后把循环倒相序列

带入到这个N乘N的矩阵中

把循环倒相序列

作为这个矩阵的第一行

1 4 3 2

然后把第一行循环右移一位

再把第二行循环右移一位

形成一个4乘4的矩阵

然后把x2(n)带到这个矩阵当中

1 2 3 4

进行矩阵相乘

第一行和这一列对应点相乘相加

第二行和这一列对应点相乘相加

其它的也是这样

最后我们可以得到

4点循环卷积的结果

然后再来进行8点的循环卷积

同样

首先把第一行的序列写出来

就是1 4个0 4 3 2

后面的序列依次循环右移一位

然后把x2(n)带到这个矩阵里面

因为x2(n)也是4点

所以后面要补4个0

再进行矩阵相乘

就可以得到8点的循环卷积

这就是利用矩阵相乘的方法

来计算循环卷积

第三种方法是DFT法

根据时域循环卷积定理

如果x1(n)和x2(n)的

N点离散傅里叶变换

分别是X1(k)和X2(k)

然后对X1(k)和X2(k)进行相乘

得到Yc(k)

对Yc(k)进行离散傅里叶反变换

得到yc(n)

那么yc(n)

就是x1(n)和x2(n)的N点循环卷积

图2是利用离散傅里叶变换

计算循环卷积的过程框图

如果序列的长度小于N

那么需要把这两个序列补0到N长

然后分别进行N点的离散傅里叶变换

结果相乘

再做反变换

就可以得到yc(n)

在这个过程中

DFT和IDFT都可以用快速算法来实现

就是利用FFT和IFFT来进行实现

那么快速算法

我们在下一模块进行介绍

还是以x1(n)和x2(n)等于

1 2 3 4这个序列为例

来计算4点的循环卷积

根据利用DFT计算循环卷积的

这个过程框图

我们利用Matlab来进行实现

首先要定义两个序列x1和x2

因为这两个序列的长度就是N

所以我们不需要给它补0了

然后两个序列分别去做

N点的离散傅里叶变换

在这里我们采用Matlab的函数FFT

因为x1的长度是4

要进行4点的FFT

所以这个4也可以省略

计算的结果就是X1等于

10 -2+2j -2 -2-2j

因为序列x(n)是实序列

所以它的离散傅里叶变换

应该是共轭对称的

在k等于1和k等于3这两点

它们两个是共轭的

X2和X1是相等的

然后对X1(k)和X2(k)对应点相乘

得到Yc

因为是对应点相乘

所以用.*这个符号

最后再对Yc进行离散傅里叶反变换

用IFFT得到yc

也就是我们所求的

两个序列的4点循环卷积

这个结果和我们前面用矩阵法

得到的结果是一样的

如果要计算8点的循环卷积

可以直接写成fft(x1,8)

这样得到的结果和前面用矩阵法

得到的结果是一样的

这些就是循环卷积

在时域和频域上的计算方法

这节课的内容

我们就学习到这里 再见