当前课程知识点：数字信号处理 > 三 时域离散信号与系统DFT分析 > 3-2 DFT与Z变换、傅里叶变换的关系 > 3-2视频
大家好
这节课我们讨论
序列的离散傅里叶变换
与Z变换和傅里叶变换的关系
主要内容包括
序列的离散傅里叶变换与Z变换的关系
序列的离散傅里叶变换
与傅里叶变换的关系
我们首先来看
离散傅里叶变换与Z变换的关系
假设序列是有限长序列长度为M
那么它的Z变换如公式(1)所示
由于序列的长度是M
所以求和的范围n是从0到M-1
序列的离散傅里叶变换
如公式(2)所示
n也是从0到M-1
k是从0到N-1
在做离散傅里叶变换的时候
要求离散傅里叶变换的点数
大于等于序列的长度
也就是N大于等于M
对公式(1)和(2)进行比较
可以得到离散傅里叶变换
与Z变换的关系
就是公式(3)
这个公式说明
当Z等于e^(j2πk/N)的时候
二者是相等的
那么这些点分布在什么位置呢
我们知道在Z平面中
z等于e^jω表示的是单位圆
对它两边取绝对值
得到的就是z的绝对值等于1
它对应的就是单位圆
把这个圆N等分
得到了在单位圆上等间隔分布的点
z等于1这一点 对应的是k等于0
这一点对应的k等于1
一直到k等于N-1
这些点上的值就是X(k)
所以它的物理意义就是
x(n)的N点离散傅里叶变换
是其Z变换
在单位圆上的N点等间隔采样
我们再来看
离散傅里叶变换与傅里叶变换的关系
公式(2)是离散傅里叶变换
公式(4)是序列的傅里叶变换
n是从0到M-1
ω是数字频率
对这两个公式进行比较
我们可以得到
当ω等于(2π/N)k的时候
这二者是相等的
那么它的物理意义是什么呢
我们还是以
长度为4的矩形序列来分析
图(a)是序列的傅里叶变换
图(b)(c)(d)分别是序列的
4点 8点 16点的离散傅里叶变换
在图(a)中画出了4点的矩形序列
它的傅里叶变换的一个周期
区间是0到2π
把这个区间平均分成N等份
得到等间隔分布的点
在这些点上的值就是X(k)
也就是(b)(c)(d)表示的
当k等于4的时候
就是对序列傅里叶变换
进行4点等间隔采样
采样得到4个值
N等于8
就是进行8点的等间隔采样
就是(c)图表示的
和4点的离散傅里叶变换相比
8点的离散傅里叶变换
就是在原来的两个采样点之间
又增加了一个采样点
N等于16的时候
采样点就更多了
所以X(k)是序列傅里叶变换
在0到2π这个区间上的
N点等间隔采样
就是说对频域也进行了离散化
并且对同一个序列
进行的离散傅里叶变换点数越多
就相当于序列在时域补0越多
在频域采样就越多
能够看到的谱线也就越多
这也是解决栅栏效应的方法
这个内容我们在后面再进行讨论
最后
我们对几个变换的关系做一个总结
序列的离散傅里叶变换是其Z变换
在单位圆上的N点等间隔采样
而单位圆上的Z变换
又是序列的傅里叶变换
所以序列的离散傅里叶变换
是其傅里叶变换
在0到2π这个区间上的
N点等间隔采样
因此公式(3)和公式(5)
所表达的意义是一致的
这节课的内容我们就学习到这里
再见
-课程简介
-1-0 内容简介
--1-0 视频
-1-1 时域离散信号的表示与运算
--1-1 视频
-1-2 LTI时域离散系统
--1-2 视频
-1-3 系统初始状态对输出的影响
--1-3视频
-1-4 模拟信号数字处理方法
--1-4 视频
-第一模块测试题
--第一模块测试-作业
-2-0 内容简介
--2-0 视频
-2-1 序列的傅里叶变换
--2-1视频
-2-2 序列傅里叶变换的性质
--2-2 视频-1
--2-2 视频-2
-2-3 周期序列离散傅里叶级数与傅里叶变换的表示
--2-3 视频
-2-4 时域离散信号FT与模拟信号FT之间的关系
--2-4视频
-2-5 序列的Z变换及其逆变换
--2-5视频
-2-6 序列Z变换的性质
--2-6 视频
-2-7 利用Z变换求解差分方程
--2-7 视频
-2-8 利用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性
--2-8 视频
-2-9 利用Z变换定性分析系统特性
--2-9 视频
-第二模块测试题
--第二模块测试题-作业
-3-0 内容简介
--3-0 视频
-3-1 序列的离散傅里叶变换
--3-1 视频
-3-2 DFT与Z变换、傅里叶变换的关系
--3-2视频
-3-3 离散傅里叶变换的隐含周期性
--3-3 视频
-3-4 离散傅里叶变换的性质
--3-4 视频
-3-5 循环卷积计算
--3-5 视频
-3-6 频率域采样
--3-6 视频
-3-7 利用DFT计算线性卷积
--3-7 视频
-3-8 利用DFT对信号进行谱分析
--3-8 视频
-第三模块测试题
--第三模块测试-作业
-4-0 内容简介
--4-0 视频
-4-1 采用快速傅里叶变换的原因
--4-1 视频
-4-2 减少DFT运算量的途径
--4-2 视频
-4-3 时域抽取法基2FFT
--4-3视频
-4-4 频域抽取法基2FFT
--4-4 视频
-4-5 基2FFT算法运算量及运算规律
--4-5视频
-4-6 进一步减少运算量的措施
--4-6 视频
-第四模块测试题
--第四模块测试-作业
-5-0 内容简介
--5.0视频
-5-1 数字滤波器介绍
--5.1视频
-5-2 滤波器技术指标
--5.2视频
-5-3 巴特沃斯模拟低通滤波器
--5.3视频
-5-4 切比雪夫模拟低通滤波器
--5.4视频
-5-5 脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器
--5.5视频
-5-6 双线性变换法设计IIR数字低通滤波器
--5.6视频
-5-7 数字各型滤波器的设计
--5.7视频
-5-8 由信号流图求网络系统函数
--5.8视频
-5-9 IIR系统基本网络结构
--5.9视频
-5-10 IIR数字滤波器的工程应用
--5.10视频
-5-11 IIR数字滤波器的量化误差
--5.11视频
-第五模块测试题
--第五模块测试-作业
-6-0 引言
--6-0 视频
-6-1 线性相位FIR滤波器的条件与特点
--6-1 视频
-6-2 线性相位FIR滤波器的零点分布
--6-2 视频
-6-3 FIR数字滤波器的基本实现结构
--6-3 视频
-6-4 FIR数字滤波器的频率采样结构
--6-4 视频
-6-5 格型网络结构
--6-5视频
-6-6 窗函数法设计线性相位FIR滤波器的原理
--6-6 视频
-6-7 典型窗函数及其特性
--6-7 视频
-6-8 窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器步骤
--6-8 视频
-6-9 频率采样法设计线性相位FIR滤波器
--6-9 视频
-6-10 频率采样法的逼近误差及其改进措施
--6-10 视频
-6-11 等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器
--6-11 视频
-6-12 FIR数字滤波器的工程应用
--6-12 视频
-6-13 FIR滤波器和IIR滤波器比较
--6-13 视频
-第六模块测试题
--第六模块测试-作业
-实验一
--实验一 视频
--实验一指导书
-实验二
--实验二 视频
--实验二指导书
-实验三
--实验三指导书
--实验三视频
-实验四
--实验四指导
-模拟信号数字处理 学案
-DFT应用 学案
--DFT应用 学案
-课程拓展讨论
--模块一 讨论1
--模块一 讨论2
--模块二讨论1
--模块二讨论2
--模块三讨论1
--模块三讨论2
--模块四讨论1
--模块四讨论2
--模块五讨论1
--模块五讨论2
--模块五讨论3
--模块五讨论4
--模块六讨论1
--模块六讨论2
--模块六讨论3
--模块六讨论4
--模块六讨论5
-微课
--DFT
--梳状滤波器
-课后拓展内容
--采样与混叠实例
--离散时间调制
--FFT应用
--反馈实例
--吉布斯效应
