当前课程知识点:数字信号处理 > 三 时域离散信号与系统DFT分析 > 3-1 序列的离散傅里叶变换 > 3-1 视频
大家好
这节课我们学习序列的
离散傅里叶变换
主要内容包括
离散傅里叶变换的意义
离散傅里叶变换的定义
以及序列离散傅里叶变换的结果
与变换区间长度关系
我们首先看离散傅里叶变换的意义
在前面
我们学习了序列的傅里叶变换
对于有限长序列x(n)
它的傅里叶变换可以用公式(1)来表示
其中x(n)是离散的
但它的傅里叶变换X(e^jω)是连续的
也就是说
在时域是离散的 频域是连续的
而x(n)的离散傅里叶变换
就是对序列傅里叶变换
在频域的有限点离散采样
所以离散傅里叶变换
实现了频域的离散化
这样在时域 频域
都可以利用计算机或者数字系统
来进行计算了
因此
离散傅里叶变换
在信号处理的理论上有重要意义
另一方面
离散傅里叶变换具有快速算法FFT
也就是快速傅里叶变换
大大加快了信号处理的速度
所以对信号的实时处理
也具有重要作用
下面我们来看
离散傅里叶变换的定义
假设x(n)是一个长度为M的有限长序列
它的N点离散傅里叶变换是X(k)
如公式(2)所示
为了简便
可以把e^(-j2π/N)用符号WN来表示
因此离散傅里叶变换
也可以写成这种形式
k是从0到N-1
那同学们需要注意的是
离散傅里叶变换的点数
或者说变换区间的长度
N要大于等于序列的长度M
当N大于M的时候
相当于在序列的后面补了N-M个0
X(k)的离散傅里叶逆变换
IDFT 或者叫离散傅里叶反变换
是由公式(3)所描述的
也就是有了X(k)
我们去做反变换求出x(n)
其中n等于0到N-1
公式(2)和公式(3)称为
离散傅里叶变换对
我们比较一下这两个公式
在正变换式中
系数是WN的kn次方
在反变换中是WN的-kn次方
另外在反变换中
前面还要乘一个1/N
X(k)等于DFT[(x(n)]
也可以写成下面这种形式
也就是在中括号的右下角写一个N
这样能够清楚的看到
离散傅里叶变换的点数
反变换也是一样
这个就是离散傅里叶变换的定义
那么离散傅里叶变换
还可以写成矩阵的形式
然后利用MATLAB的矩阵运算功能
来进行程序实现
以N等于4为例
X(k)是等于Σx(n)WN^(nk)
我们可以把WN的nk次方写成一个
N乘N的矩阵的形式
我们看这个指数部分nk
它可以写成这种矩阵的形式
n和k都是从0到N-1
当k等于0的时候
n乘以k都是等于0的
当k等于1的时候
n乘以k就等于n
当k等于2的时候
n乘以k就是2n
k等于3的时候
n乘以k就是3n
这样得到了nk的矩阵
有了nk
我们就可以把WN的nk次方
也写成一个矩阵的形式
把x(n)写成一个行向量的形式
这样的话就可以去矩阵相乘
得到X(k)
那么还可以把这个WN的nk次方
写在前面
把x(n)写在后面
但是这个时候x(n)
就不能写成行向量了
因为我们要做矩阵相乘
这个时候x(n)是要写成列向量的
这两个都是相等的
这个就是DFT的矩阵形式
那么对于同一个有限长序列
如果N不同
它的变换结果是否相同呢
我们以长度为4的矩形序列R4(n)为例
计算它的4点 8点
和16点的离散傅里叶变换
首先计算
N等于4的离散傅里叶变换
利用正变换公式
把R4(n)带到公式里面来
因为R4(n)在n等于0到3
这个区间的值是1
所以我们在这儿给它省略了
那么就剩下这一项去求和
利用等比级数求和的方法
我们可以得到这个式子
就是1减e^(-j2πk)比1减e^(-j2πk/2)
当k等于0的时候
它是0比0型
就是1-1比1-1
可以单独计算一下
当k等于0
括号里面的值是等于1的
也就是说是4个1相加
所以当k等于0的时候
X(0)是等于4的
那么当k不等于0
这个式子
它的分子是1-1等于0
所以当k不等于0的时候
X(k)是等于0的
这个是4点的离散傅里叶变换
我们再来看N等于8的时候
同样也是利用正变换式
把x(n)的值代进来
因为矩形序列是从0到3有值
所以这个求和也是n从0到3
但是在e^(-j2π/N)这个位置
这个N是要等于8的
利用级数求和得到这个结果
k是从0到7
当N等于16的时候
利用同样的方法
我们也可以得到结果
那么我们可以看到
当N等于4 8 16的时候
这三个结果是不一样的
为了更直观的进行分析
我们把矩形序列傅里叶变换
以及离散傅里叶变换
用图形的方式表示出来
图(a)是矩形序列的傅里叶变换
横坐标是ω
也就是数字频率
纵坐标是X(e^jω)的绝对值
也就是傅里叶变换幅值
X(e^jω)是连续的
并且是以2π为周期的
所以在图中画出了它的一个周期
区间就是0到2π
那么这个横坐标呢
是对π进行了归一化
其它三个图
是序列的离散傅里叶变换
横坐标是k
纵坐标是X(k)的绝对值
从这几个图中可以看出
当N不同的时候
很明显
它们的离散傅里叶变换是不一样的
那么这个结果有没有什么规律呢
我们把它的
离散傅里叶变换的包络画出来
可以发现它们的包络是一样的
而这个包络就是傅里叶变换的波形
也就是说可以得到这样一个结论
对于同一个序列
当变换区间长度不同的时候
变换结果是不一样的
和N的取值有关
但是它的包络形状是一致的
这节课的内容我们就学习到这里
再见
-课程简介
-1-0 内容简介
--1-0 视频
-1-1 时域离散信号的表示与运算
--1-1 视频
-1-2 LTI时域离散系统
--1-2 视频
-1-3 系统初始状态对输出的影响
--1-3视频
-1-4 模拟信号数字处理方法
--1-4 视频
-第一模块测试题
--第一模块测试-作业
-2-0 内容简介
--2-0 视频
-2-1 序列的傅里叶变换
--2-1视频
-2-2 序列傅里叶变换的性质
--2-2 视频-1
--2-2 视频-2
-2-3 周期序列离散傅里叶级数与傅里叶变换的表示
--2-3 视频
-2-4 时域离散信号FT与模拟信号FT之间的关系
--2-4视频
-2-5 序列的Z变换及其逆变换
--2-5视频
-2-6 序列Z变换的性质
--2-6 视频
-2-7 利用Z变换求解差分方程
--2-7 视频
-2-8 利用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性
--2-8 视频
-2-9 利用Z变换定性分析系统特性
--2-9 视频
-第二模块测试题
--第二模块测试题-作业
-3-0 内容简介
--3-0 视频
-3-1 序列的离散傅里叶变换
--3-1 视频
-3-2 DFT与Z变换、傅里叶变换的关系
--3-2视频
-3-3 离散傅里叶变换的隐含周期性
--3-3 视频
-3-4 离散傅里叶变换的性质
--3-4 视频
-3-5 循环卷积计算
--3-5 视频
-3-6 频率域采样
--3-6 视频
-3-7 利用DFT计算线性卷积
--3-7 视频
-3-8 利用DFT对信号进行谱分析
--3-8 视频
-第三模块测试题
--第三模块测试-作业
-4-0 内容简介
--4-0 视频
-4-1 采用快速傅里叶变换的原因
--4-1 视频
-4-2 减少DFT运算量的途径
--4-2 视频
-4-3 时域抽取法基2FFT
--4-3视频
-4-4 频域抽取法基2FFT
--4-4 视频
-4-5 基2FFT算法运算量及运算规律
--4-5视频
-4-6 进一步减少运算量的措施
--4-6 视频
-第四模块测试题
--第四模块测试-作业
-5-0 内容简介
--5.0视频
-5-1 数字滤波器介绍
--5.1视频
-5-2 滤波器技术指标
--5.2视频
-5-3 巴特沃斯模拟低通滤波器
--5.3视频
-5-4 切比雪夫模拟低通滤波器
--5.4视频
-5-5 脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器
--5.5视频
-5-6 双线性变换法设计IIR数字低通滤波器
--5.6视频
-5-7 数字各型滤波器的设计
--5.7视频
-5-8 由信号流图求网络系统函数
--5.8视频
-5-9 IIR系统基本网络结构
--5.9视频
-5-10 IIR数字滤波器的工程应用
--5.10视频
-5-11 IIR数字滤波器的量化误差
--5.11视频
-第五模块测试题
--第五模块测试-作业
-6-0 引言
--6-0 视频
-6-1 线性相位FIR滤波器的条件与特点
--6-1 视频
-6-2 线性相位FIR滤波器的零点分布
--6-2 视频
-6-3 FIR数字滤波器的基本实现结构
--6-3 视频
-6-4 FIR数字滤波器的频率采样结构
--6-4 视频
-6-5 格型网络结构
--6-5视频
-6-6 窗函数法设计线性相位FIR滤波器的原理
--6-6 视频
-6-7 典型窗函数及其特性
--6-7 视频
-6-8 窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器步骤
--6-8 视频
-6-9 频率采样法设计线性相位FIR滤波器
--6-9 视频
-6-10 频率采样法的逼近误差及其改进措施
--6-10 视频
-6-11 等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器
--6-11 视频
-6-12 FIR数字滤波器的工程应用
--6-12 视频
-6-13 FIR滤波器和IIR滤波器比较
--6-13 视频
-第六模块测试题
--第六模块测试-作业
-实验一
--实验一 视频
--实验一指导书
-实验二
--实验二 视频
--实验二指导书
-实验三
--实验三指导书
--实验三视频
-实验四
--实验四指导
-模拟信号数字处理 学案
-DFT应用 学案
--DFT应用 学案
-课程拓展讨论
--模块一 讨论1
--模块一 讨论2
--模块二讨论1
--模块二讨论2
--模块三讨论1
--模块三讨论2
--模块四讨论1
--模块四讨论2
--模块五讨论1
--模块五讨论2
--模块五讨论3
--模块五讨论4
--模块六讨论1
--模块六讨论2
--模块六讨论3
--模块六讨论4
--模块六讨论5
-微课
--DFT
--梳状滤波器
-课后拓展内容
--采样与混叠实例
--离散时间调制
--FFT应用
--反馈实例
--吉布斯效应