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大家好

这节课我们学习序列的

离散傅里叶变换

主要内容包括

离散傅里叶变换的意义

离散傅里叶变换的定义

以及序列离散傅里叶变换的结果

与变换区间长度关系

我们首先看离散傅里叶变换的意义

在前面

我们学习了序列的傅里叶变换

对于有限长序列x(n)

它的傅里叶变换可以用公式(1)来表示

其中x(n)是离散的

但它的傅里叶变换X(e^jω)是连续的

也就是说

在时域是离散的 频域是连续的

而x(n)的离散傅里叶变换

就是对序列傅里叶变换

在频域的有限点离散采样

所以离散傅里叶变换

实现了频域的离散化

这样在时域 频域

都可以利用计算机或者数字系统

来进行计算了

因此

离散傅里叶变换

在信号处理的理论上有重要意义

另一方面

离散傅里叶变换具有快速算法FFT

也就是快速傅里叶变换

大大加快了信号处理的速度

所以对信号的实时处理

也具有重要作用

下面我们来看

离散傅里叶变换的定义

假设x(n)是一个长度为M的有限长序列

它的N点离散傅里叶变换是X(k)

如公式(2)所示

为了简便

可以把e^(-j2π/N)用符号WN来表示

因此离散傅里叶变换

也可以写成这种形式

k是从0到N-1

那同学们需要注意的是

离散傅里叶变换的点数

或者说变换区间的长度

N要大于等于序列的长度M

当N大于M的时候

相当于在序列的后面补了N-M个0

X(k)的离散傅里叶逆变换

IDFT 或者叫离散傅里叶反变换

是由公式(3)所描述的

也就是有了X(k)

我们去做反变换求出x(n)

其中n等于0到N-1

公式(2)和公式(3)称为

离散傅里叶变换对

我们比较一下这两个公式

在正变换式中

系数是WN的kn次方

在反变换中是WN的-kn次方

另外在反变换中

前面还要乘一个1/N

X(k)等于DFT[(x(n)]

也可以写成下面这种形式

也就是在中括号的右下角写一个N

这样能够清楚的看到

离散傅里叶变换的点数

反变换也是一样

这个就是离散傅里叶变换的定义

那么离散傅里叶变换

还可以写成矩阵的形式

然后利用MATLAB的矩阵运算功能

来进行程序实现

以N等于4为例

X(k)是等于Σx(n)WN^(nk)

我们可以把WN的nk次方写成一个

N乘N的矩阵的形式

我们看这个指数部分nk

它可以写成这种矩阵的形式

n和k都是从0到N-1

当k等于0的时候

n乘以k都是等于0的

当k等于1的时候

n乘以k就等于n

当k等于2的时候

n乘以k就是2n

k等于3的时候

n乘以k就是3n

这样得到了nk的矩阵

有了nk

我们就可以把WN的nk次方

也写成一个矩阵的形式

把x(n)写成一个行向量的形式

这样的话就可以去矩阵相乘

得到X(k)

那么还可以把这个WN的nk次方

写在前面

把x(n)写在后面

但是这个时候x(n)

就不能写成行向量了

因为我们要做矩阵相乘

这个时候x(n)是要写成列向量的

这两个都是相等的

这个就是DFT的矩阵形式

那么对于同一个有限长序列

如果N不同

它的变换结果是否相同呢

我们以长度为4的矩形序列R4(n)为例

计算它的4点 8点

和16点的离散傅里叶变换

首先计算

N等于4的离散傅里叶变换

利用正变换公式

把R4(n)带到公式里面来

因为R4(n)在n等于0到3

这个区间的值是1

所以我们在这儿给它省略了

那么就剩下这一项去求和

利用等比级数求和的方法

我们可以得到这个式子

就是1减e^(-j2πk)比1减e^(-j2πk/2)

当k等于0的时候

它是0比0型

就是1-1比1-1

可以单独计算一下

当k等于0

括号里面的值是等于1的

也就是说是4个1相加

所以当k等于0的时候

X(0)是等于4的

那么当k不等于0

这个式子

它的分子是1-1等于0

所以当k不等于0的时候

X(k)是等于0的

这个是4点的离散傅里叶变换

我们再来看N等于8的时候

同样也是利用正变换式

把x(n)的值代进来

因为矩形序列是从0到3有值

所以这个求和也是n从0到3

但是在e^（-j2π/N）这个位置

这个N是要等于8的

利用级数求和得到这个结果

k是从0到7

当N等于16的时候

利用同样的方法

我们也可以得到结果

那么我们可以看到

当N等于4 8 16的时候

这三个结果是不一样的

为了更直观的进行分析

我们把矩形序列傅里叶变换

以及离散傅里叶变换

用图形的方式表示出来

图(a)是矩形序列的傅里叶变换

横坐标是ω

也就是数字频率

纵坐标是X(e^jω)的绝对值

也就是傅里叶变换幅值

X(e^jω)是连续的

并且是以2π为周期的

所以在图中画出了它的一个周期

区间就是0到2π

那么这个横坐标呢

是对π进行了归一化

其它三个图

是序列的离散傅里叶变换

横坐标是k

纵坐标是X(k)的绝对值

从这几个图中可以看出

当N不同的时候

很明显

它们的离散傅里叶变换是不一样的

那么这个结果有没有什么规律呢

我们把它的

离散傅里叶变换的包络画出来

可以发现它们的包络是一样的

而这个包络就是傅里叶变换的波形

也就是说可以得到这样一个结论

对于同一个序列

当变换区间长度不同的时候

变换结果是不一样的

和N的取值有关

但是它的包络形状是一致的

这节课的内容我们就学习到这里

再见