1-2 视频在线视频

大家好

我们继续学习基础知识模块

今天学习第二讲

上一讲我们学习了

时域离散信号的四种表示方法

以及六种基本运算法则

今天学习第二讲

LTI时域离散系统的相关知识

内容包括

系统的分类

LTI系统输入 输出之间的关系

线性卷积的性质及其工程应用

LTI系统的因果性和稳定性

首先我们来看一下系统的分类

线性系统

线性系统指的是系统的输入 输出

满足线性叠加定理的系统

线性系统的数学模型

可以用公式(1)来表示

当然也可以用公式(2)来表示

通过公式(1)和公式(2)

我们可以看到

对于线性系统而言

如果系统的输入信号进行线性运算

那么系统的输出

也将做同样的线性运算

下面我们再看一下时不变系统

时不变系统的输出响应

与信号加入系统的时间无关

时不变系统的数学模型

可以用公式(3)来描述

从公式(3)可以看到

如果系统的输入信号是x(n)

它的响应是y(n)

当输入信号延迟n0个单元

也就是说输入信号变成了x(n-n0)

那么系统的输出也将变成y(n-n0)

输出响应的形式没有任何变化

下面我们再看一下线性时不变系统

线性时不变系统

指的是同时具有线性

和时不变性的系统

那么线性时不变系统的输入

输出之间的关系又是什么呢

首先我们先看一下单位脉冲响应

如果一个系统的单位脉冲响应

用h(n)表示

当然单位脉冲响应指的是

系统对于δ(n)的零状态响应

如果我们

已知一个系统的单位脉冲响应

那系统的输入和输出之间的关系

就可以用公式(5)来进行描述

从公式(5)我们可以看到

LTI系统的零状态响应

等于输入序列

和该系统的单位脉冲响应的卷积和

也就是说

如果我们已知系统的单位脉冲响应

当求解任意信号作用的

系统的零状态响应的时候

就可以用公式(5)来进行计算

就是说LTI系统的零状态响应

等于输入序列和该系统的

单位脉冲响应的卷积和

下面我们再看一下

线性卷积的性质

及其在工程当中的应用

线性卷积主要有下面的三个性质

一 交换律

二 结合律

三 分配律

交换律指的是两个序列进行卷积

可以任意的交换其相应的运算次序

结合律

就是这里面大家看到的公式(7)

我们可以将三个序列的卷积

任意的两两结合

并不影响卷积的结果

那结合率在实际的工程当中

它可以对于级联的系统

求解级联系统的等效系统

我们大家看一下图(a)

图(a) h1和h2是级联关系

那么当这样一个级联的系统

我们输入相应的信号x(n)

x(n)输入系统之后

从h1所得到的输出将是x(n)卷积h1

那么这样一个信号

在进入到经过级联的下一级h2

从h2输出之后得到的y

那将是什么呢

它将是x(n)卷积h1

再卷积h2

实际上

我们再根据交换律

可以把x(n)提出来

将h1和h2进行卷积

也就是说

我们就得到了图(b)

这样一个等效的系统

在图(b)这样一个等效的系统当中

系统的输入信号是x(n)

所等效的系统是h1卷积h2

通过我们所给大家的这样一个图形

就可以看到两个级联的系统

它的等效的系统

可以表示成h1和h2卷积的形式

下面我们再看一下分配律

分配律的数学公式

就是这里面大家所看到的公式(8)

它的左侧是将x(n)卷积h1加h2

按照分配律的计算法则

它等效成x(n)卷积h1

再加上x(n)卷积h2

那这样的一种分配律的特性

在工程当中

它可以对系统的并联

或者说并联的系统

求解它的等效系统

我们来看一下图3

在图3当中

它的(a)图是两个相并联的系统

信号x(n)

进入这样的两个并联的系统

x(n)进入h1

x(n)同时也进入h2

通过h1得到的信号是x(n)卷积h1

通过h2所得到的信号是x(n)卷积h2

相加之后得到系统的输出

那么我们再看一下图(b)

图(b)是这样一个等效的系统

它是h1加上h2

如果对于这样一个等效的系统

我们给它输入一个相应的信号x(n)

在系统

它的输出端所得到的输出信号y(n)

实际上

就是我们这里面所看到的

x(n)卷积h1加h2

因此 对于实际工程当中

两个相并联的系统

它的等效系统是

单位脉冲响应的相加

但是在这里面需要说明的是

系统级联 并联的等效系统是

基于线性卷积的性质

而线性卷积

是基于线性时不变系统

满足线性叠加定理

所以对于非线性

或者非时不变的系统 以上的结论

是不成立的

最后我们再看一下

LTI系统的因果性和稳定性

首先看一下因果性

对于因果性而言

n等于n0的时候

系统的输出y(n0)应该只取决于

n小于等于n0的输入

那就是说LTI系统

是因果系统的充分必要条件

将是 在n小于0的时候

系统的单位脉冲响应是等于0的

所以 对于因果系统而言

系统的输出

应该是滞后于系统的输入的

我们再来看一下LTI系统的稳定性

稳定性指的是有界输入

产生有界输出的系统才是稳定系统

那么LTI系统

是稳定系统的充分必要条件

也就是系统的单位脉冲响应

h(n)要绝对可和

因此我们就可以得到这样的结论

因果稳定的LTI系统

其单位脉冲响应是

是因果的 且是绝对可和的

也就是说

h(n)既要符合公式(9)

同时也要符合公式(10)

在这一节当中

我们主要学习了系统的分类方法

LTI系统输入输出之间的卷积关系

线性卷积三个性质的工程应用

LTI系统因果性 稳定性的判定方法

今天的学习就到这里

再见