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大家好
我们继续学习基础知识模块
今天学习第三讲
系统初始状态对输出的影响
主要内容包括
线性常系数差分方程的数学模型
差分方程的求解
系统初始状态对输出的影响
线性常系数差分方程的程序求解
首先 我们看一下
线性常系数差分方程的数学模型
一个N阶的线性常系数差分方程
它的数学模型有两种表示方式
公式(1)是它的第一种表示方式
这实际上
后面我们在进行
差分方程求解的时候
是一种迭代的解法
也可以用公式(2)的形式来表示
这是后面我们在
求解差分方程的时候
可以用经典法进行求解
所以说
对于线性常系数差分方程的求解
我们可以用时域求解法
在时域的求解法当中有迭代法
迭代法可以手工迭代
也可以借助计算机软件
例如MATLAB软件进行相关的求解
当然也可以用
数学当中的经典解法
也就是齐次解加特解的形式
也可以通过变换域的求解方式
就是后面我们在
下一个知识单元当中所学的
Z变换的方式
那么这一节当中
我们重点给大家讨论
系统的初始状态
对系统输出的影响
因为在求解差分方程的时候
都需要系统的初始状态
不同的初始状态
对于差分方程的求解是不一样的
系统的初始状态对它输出的影响
我们分三种情况来进行讨论
通过三个相应的例题
可以得到三个结论
这三个结论的分别是 一
对于同一个差分方程
和同一个输入信号
其初始状态不同
得到的输出信号也不同
第二个结论 差分方程本身
并不能确定该系统
是因果的还是非因果的
还需要用初始状态进行相应的限制
三 线性常系数差分方程
描述的系统
不一定是线性时不变系统
这和系统的初始状态有关
下面我们通过三个例子
来详细的讲解这三个结论
我们看第一个例题
假如系统的差分方程是
y(n)等于a倍的y(n-1)加x(n)
假设系统的输入x(n)等于δ(n)
它的初始状态分别为
y(-1)等于0和y(-1)等于1
在这两种情况下
我们通过迭代法
来求解这个差分方程的输出
一般情况下
我们是通过初始状态
向n大于0的方向进行迭代
看一下迭代的结果是什么
第一种情况下
它的初始状态是y(-1)等于0
我们逐一迭代
所得到的结果
是y(n)等于(a^n)u(n)
第二种情况下
我们所迭代的结果
是y(n)等于1+a再乘上(a^n)u(n)
显然从它的输出的解当中
我们可以看到都是因果解
但是
这两个解的形式显然是不一样的
因此
就是我们前面所给大家的第一个结论
对于同一个差分方程
和同一个输入信号
如果它的初始状态不同
得到的输出信号是不一样的
再看第二个例子
差分方程的和上一个例题是一样的
x(n)还是δ(n)
只是这时候我们给的
相应的限制是
当n大于0的时候
y(n)等于0
如果在这样情况下
我们求解它的输出y(n)
它的迭代的方向就需要
向n小于0的方向
进行相应的迭代
我们经过逐一迭代后
所得到的y(n)
是负的a的n次方u(-n-1)
显然呢
所得到的y(n)
它是非因果的
所以说在这个例题当中
我们看到的这样的一个系统
它是一个非因果的系统
这也就得到了
前边所给大家的第二个结论
差分方程本身并不能确定
该系统是因果的还是非因果的
还需要用初始状态进行限制
下面我们再看第三个例子
在第三个例题当中
我们假定它的输入x1等于δ(n)
它的初始状态是等于1
那在这种情况下
和我们前面的第一个例题那是一样的
所得到的输出
是1+a再乘a的n次方u(n)
如果它的输入x2等于δ(n-1)
也就是说
经过了一个移位 初始状态还是一样的
那这时候
我们经过迭代之后所得到的y2
大家可以比较一下 显然
y2是不等于y1(n-1)
也就是说这个系统
我们看到它的输出
它不是输入经过移位之后
它的输出也得到同样的移位
再看第三种情况
y3 它的输入
所给的是δ(n)加上δ(n-1)
也就是说这个系统
我们所给的输入是前两个输入的叠加
那么我们所得到的这个y3
它也并不是y1加上y2
不具备这种线性的性质
所以说
对于这个系统来讲
在我们所给定的初始状态下
它既不存在时不变性
也不存在线性性质
然而如果我们把初始状态变为
n小于等于-1的时候
y(n)等于0
这个系统也就变成了具有
线性时不变的特性了
所以说
通过第三个例子
我们就得到了
前面所给大家的第三个结论
线性常系数差分方程描述的系统
不一定是线性时不变系统
这和系统的初始状态有关
因此通过这样的三个例题
我们就可以充分的认识到
对于离散系统 系统的初始状态
对于系统的输出
它的影响是非常大的
下面我们再看一下
线性常系数差分方程的
程序求解方法
主要是通过MATLAB软件
进行差分方程的程序求解
这可以利用MATLAB软件的工具箱当中
所提供的filter函数
利用这个函数可以求解零状态响应
大家要注意
在利用这个函数进行求解
零状态响应的时候
它的调用格式当中
xn为输入信号向量
yn为零状态响应的输出信号向量
这里xn和yn
它的长度是相等的
B和A是差分方程的系数向量
利用这个函数
我们还可以求解系统的完全响应
只是它的调用格式不一样
在这里面
它的调用格式当中
出现了另外的一个变量xi
这个xi是它的等效的初始条件
所谓等效的初始条件
xi是根据系统的实际的初始状态
所得到的一个相应的
叫等效初始条件向量
是需要用公式(3)来进行确定的
当然
如果xn是因果序列
xs就可以进行相应的缺省了
下面我们看一个实际的例子
如果利用程序的方法来求解差分方程
y(n)等于0.6y(n-1)加上x(n)
x(n)是系统的输入信号
假如x(n)等于δ(n)
并且它的初始状态分别为
y(-1)等于0和y(-1)等于1
在进行程序编写的时候
就要注意一下
第一种情况y(-1)等于0
所以ys是等于0的
而第二种情况下
由于y(-1)是等于1的
ys是等于1的
那么其他的情况呢
在进行编写的时候
我们也需要
就是注意到它的初始状态
为0和不为0的时候
我们求解它的
ys所给的这样一个缺省值
是不一样的
通过程序运行
我们就可以得到
不同初始状态情况下系统的输出波形
下面我们对本次课的内容做一下小结
本次课主要讨论了
差分方程的求解方法
重点分析了系统初始状态
对系统输出的影响
我们得到了三个相应的结论
同一个差分方程和同一个输入信号
其初始状态不同
得到的输出信号也不同
系统的因果性
线性时不变性与初始状态有关
在这一讲的最后
对线性常系数差分方程的程序求解方法
进行了简单的讨论
并给出了一个求解的实例
今天的学习就到这里 再见
-课程简介
-1-0 内容简介
--1-0 视频
-1-1 时域离散信号的表示与运算
--1-1 视频
-1-2 LTI时域离散系统
--1-2 视频
-1-3 系统初始状态对输出的影响
--1-3视频
-1-4 模拟信号数字处理方法
--1-4 视频
-第一模块测试题
--第一模块测试-作业
-2-0 内容简介
--2-0 视频
-2-1 序列的傅里叶变换
--2-1视频
-2-2 序列傅里叶变换的性质
--2-2 视频-1
--2-2 视频-2
-2-3 周期序列离散傅里叶级数与傅里叶变换的表示
--2-3 视频
-2-4 时域离散信号FT与模拟信号FT之间的关系
--2-4视频
-2-5 序列的Z变换及其逆变换
--2-5视频
-2-6 序列Z变换的性质
--2-6 视频
-2-7 利用Z变换求解差分方程
--2-7 视频
-2-8 利用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性
--2-8 视频
-2-9 利用Z变换定性分析系统特性
--2-9 视频
-第二模块测试题
--第二模块测试题-作业
-3-0 内容简介
--3-0 视频
-3-1 序列的离散傅里叶变换
--3-1 视频
-3-2 DFT与Z变换、傅里叶变换的关系
--3-2视频
-3-3 离散傅里叶变换的隐含周期性
--3-3 视频
-3-4 离散傅里叶变换的性质
--3-4 视频
-3-5 循环卷积计算
--3-5 视频
-3-6 频率域采样
--3-6 视频
-3-7 利用DFT计算线性卷积
--3-7 视频
-3-8 利用DFT对信号进行谱分析
--3-8 视频
-第三模块测试题
--第三模块测试-作业
-4-0 内容简介
--4-0 视频
-4-1 采用快速傅里叶变换的原因
--4-1 视频
-4-2 减少DFT运算量的途径
--4-2 视频
-4-3 时域抽取法基2FFT
--4-3视频
-4-4 频域抽取法基2FFT
--4-4 视频
-4-5 基2FFT算法运算量及运算规律
--4-5视频
-4-6 进一步减少运算量的措施
--4-6 视频
-第四模块测试题
--第四模块测试-作业
-5-0 内容简介
--5.0视频
-5-1 数字滤波器介绍
--5.1视频
-5-2 滤波器技术指标
--5.2视频
-5-3 巴特沃斯模拟低通滤波器
--5.3视频
-5-4 切比雪夫模拟低通滤波器
--5.4视频
-5-5 脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器
--5.5视频
-5-6 双线性变换法设计IIR数字低通滤波器
--5.6视频
-5-7 数字各型滤波器的设计
--5.7视频
-5-8 由信号流图求网络系统函数
--5.8视频
-5-9 IIR系统基本网络结构
--5.9视频
-5-10 IIR数字滤波器的工程应用
--5.10视频
-5-11 IIR数字滤波器的量化误差
--5.11视频
-第五模块测试题
--第五模块测试-作业
-6-0 引言
--6-0 视频
-6-1 线性相位FIR滤波器的条件与特点
--6-1 视频
-6-2 线性相位FIR滤波器的零点分布
--6-2 视频
-6-3 FIR数字滤波器的基本实现结构
--6-3 视频
-6-4 FIR数字滤波器的频率采样结构
--6-4 视频
-6-5 格型网络结构
--6-5视频
-6-6 窗函数法设计线性相位FIR滤波器的原理
--6-6 视频
-6-7 典型窗函数及其特性
--6-7 视频
-6-8 窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器步骤
--6-8 视频
-6-9 频率采样法设计线性相位FIR滤波器
--6-9 视频
-6-10 频率采样法的逼近误差及其改进措施
--6-10 视频
-6-11 等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器
--6-11 视频
-6-12 FIR数字滤波器的工程应用
--6-12 视频
-6-13 FIR滤波器和IIR滤波器比较
--6-13 视频
-第六模块测试题
--第六模块测试-作业
-实验一
--实验一 视频
--实验一指导书
-实验二
--实验二 视频
--实验二指导书
-实验三
--实验三指导书
--实验三视频
-实验四
--实验四指导
-模拟信号数字处理 学案
-DFT应用 学案
--DFT应用 学案
-课程拓展讨论
--模块一 讨论1
--模块一 讨论2
--模块二讨论1
--模块二讨论2
--模块三讨论1
--模块三讨论2
--模块四讨论1
--模块四讨论2
--模块五讨论1
--模块五讨论2
--模块五讨论3
--模块五讨论4
--模块六讨论1
--模块六讨论2
--模块六讨论3
--模块六讨论4
--模块六讨论5
-微课
--DFT
--梳状滤波器
-课后拓展内容
--采样与混叠实例
--离散时间调制
--FFT应用
--反馈实例
--吉布斯效应