6-10 视频在线视频

大家好

这次课我们将分析频率采样法产生逼近误差的原因

并给出改善逼近误差的措施

上一节课

我们学习了频率采样法

设计线性相位FIR数字滤波器的基本原理

我们知道

频率采样法是通过频率域采样

来逼近期望的滤波器频率响应

那么采用这样一种方法设计出来的数字滤波器

它的频率响应能不能做到

和期望的频率响应完全一致呢

这个问题的答案是否定的

在这一次课

我们首先分析它们两个不一致的原因

也就是所谓的逼近误差产生的原因

在此基础上

我们将总结

改善逼近误差的频率采样法设计步骤

同时给出设计的实例及其分析

最后将介绍利用频率采样法

来设计FIR滤波器的MATLAB函数

首先我们来分析逼近误差产生的原因

这个原因的分析

我们分别可以从时域和频域来进行解释

首先来看看时域的解释

根据频率采样法的原理

它是通过对期望的频率响应

Hd(ejω)进行频域采样

来设计线性相位FIR数字滤波器

所设计滤波器的单位响应h(n)

是它的N个频率采样点的IDFT

而期望频率响应

它所对应的单位响应应该是hd(n)

这个hd(n)是期望频率响应的傅立叶反变换

根据频率域采样的原理我们会知道

h(n)应该是hd(n)

以N为周期进行周期延拓之后的主值序列

一般情况下

hd(n)是无限长的

那么我们对它进行周期延拓的时候

它就必然会产生时域的混叠

从而导致h(n)和hd(n)两者并不完全一致

下面我们再来看看频域解释

根据频域采样恢复的内插公式

H(ejω)

应该是这样一个φ(ω)函数它的平移线性组合

而φ(ω)这个函数

它具有一种波纹震荡的特性

所以它的平移线性组合

必然就会使H(ejω)

在通带和阻带都会出现纹波

并且会导致过渡带展宽

下面我们通过一个例子

来展示这种逼近误差及其特点

滤波器的期望特性如虚线所示

它是一个理想的低通滤波器

然后我们分别取N=15和N=75

采用频率采样法设计了相应的FIR滤波器

所设计滤波器的幅度特性

分别如这两条实线所示

其中纹波震荡比较慢的

是N=15的滤波器

纹波震荡比较快的

是N等=75的FIR滤波器

通过对比理想滤波器特性

和实际滤波器的特性

以及两种不同长度滤波器的幅度特性

我们可以总结出这么几个特点

第一

只有在频率采样点

实际的幅度特性

也就是图中的实线

和期望的特性

图中的曲线是一致的

我们可以看出无论是N=15

还是N=75

它们在采样点都是和期望特性

也就是和这个虚线是一致的

二

相对于期望特性

实际滤波器它的过渡带展宽了

而且过渡带的宽度

随着滤波器长度N的增大而减小

期望特性的过渡带带宽等于零

而实际设计出来的这个滤波器的过渡带宽

它是不可能等于零的

但是N=75的这个滤波器它的过渡带宽

要小于N=15的这个滤波器的过渡带宽

三

实际滤波器的幅度特性

在通带和阻带都出现了纹波

而且这个纹波幅度的峰值

它是不会随着N的改变而改变的

从图中我们可以看出

N=15的这个滤波器

和N=75的这个滤波器

它们的纹波幅度的峰值是相同的

我们无论怎么改变这个N

它的通带和阻带纹波的最大幅度

都是不会改变

也就是我们无法通过增加滤波器的长度

来满足滤波器

对阻带和通带衰减的一个更高的技术要求

那么如果我们对通带和阻带的衰减

它有更高的技术要求

我们应该怎么办

这就需要采取改善逼近误差的措施

改善逼近误差的方法

就是在期望特性的间断点处

插入若干个过渡采样点

比如我们对于这样一个

理想的低通滤波特性

分别插入了一个

两个 三个过渡带采样点

两个 三个过渡带采样点

插入过渡点之后

它会使得滤波器的过渡带

带宽进一步展宽

但是它能够有效地

抑制通带和阻带纹波的大小

但是值得注意的是

过渡点的数量和幅值

都会影响滤波器在通带和阻带的纹波大小

也就是它会影响滤波器的

通带和阻带衰减技术指标

那么我们在设计滤波器时

怎么样来确定过渡点的数量和幅值呢

这个问题并没有一个严格的答案

不过过渡点的数量

我们可以参照这样一个表来选取

这个表分别给出了1到3个过渡点

所能够达到的阻带最小衰减

当然这只是一个经验值

根据上述的分析结果

我们就可以总结

加入改善逼近误差措施的频率采样法设计步骤

首先应该根据滤波器的阻带最小衰减指标

选择适当的过渡点个数m及其数值

然后根据过渡点个数和过渡带宽的要求

确定频率采样的点数

也就是滤波器的长度 N

m个过渡点对应的过渡带带宽

近似等于 N分之2π的m+1倍

也就是我们可以采用这样的一个公式

来估算滤波器长度N

第三步

根据期望的滤波器特性和N的奇偶性

确定0到2π区间的期望频率响应Hd(ejω)

并对期望频率响应

在0到2π区间进行N点的等间隔采样

在每一个间断点处插入m个过渡点

再求频率采样的N点 IDFT

就可以得到单位响应 h(n)

或者直接根据频率采样点

得到频率采样结构形式的系统函数

最后我们要验证所设计的滤波器

是不是满足预定的技术指标的要求

这是因为在滤波器的设计过程当中

过渡点的个数

滤波器的长度

都是近似估算的

所以需要对最终的设计结果

进行技术指标的验证

我们来看一个设计实例

用频率采样法

设计第一类线性相位低通FIR数字滤波器

通带截止频率为三分之π

阻带最小衰减大于40分贝

过渡带宽要小于16分之π

首先根据阻带最小衰减的要求

我们选择采用一个过渡点

为了对比分析过渡点的值

对所设计滤波器技术指标的影响

我们采用在程序运行时

手动输入过渡点值的这样一种方法

这是对应的MATLAB设计程序

在输入过渡点的值之后

先估算滤波器的长度N

这里我们使N为奇数

是为了使得它的频率响应关于π偶对称

当然因为我们设计的是低通滤波器

所以N为奇数这个条件它不是必须的

接下来就是获取频率域采样

并且对它求IDFT

得到所设计滤波器的单位响应h(n)

最后计算所设计滤波器的通带和阻带纹波的大小

以验证它是不是满足预期的技术指标的要求

在这里

我们给出了过渡点的值T=0.38的时候

所设计出来的滤波器的单位响应

和它相应的损耗函数

同时我们也列出了不同的T值

所设计滤波器的主要技术指标

我们可以看到

当T=0.38的时候

所设计滤波器的技术指标

是能够满足我们预期的要求的

但是当T=0.5和T=0.7的时候

所设计滤波器的阻带最小衰减

都达不到40分贝

随着T的增加

它的阻带最小衰减越来越小

但是相应地它的通带纹波幅度也在降低

通过这样一个例子

我们进一步说明了

不仅仅是过渡点的数量

过渡点的值

也会影响所设计滤波器的性能指标

所以我们在实际设计的时候

需要选择适当的过渡点数值

否则有可能所设计的滤波器

不能够满足预期的设计指标要求

前面给出的例子

我们是按照频率采样法的设计步骤

自己编写MATLAB程序来进行设计

其实

MATLAB提供了频率采样法的设计函数

可以简化我们的程序设计

这个函数就是fir2

它是一个窗函数法和频率采样法相结合的

FIR滤波器设计函数

前面我们在窗函数法的时候

已经对它进行了一个初步的介绍

它的典型调用格式是这样一种形式

其中f是归一化的频率向量

取值范围从0到1

m是与这个频率向量相对应的幅度向量

f m它们的向量长度必须相同

所以基于这样一个函数

我们实际上可以设计

具有任意滤波特性的滤波器

只需要分段地

把它的滤波特性用频率向量

和幅度向量表征出来就可以了

同时我们还可以采用适当的窗函数

来进一步改善所设计滤波器的技术指标

所以这个fir2函数

它既可以用过渡带来控制阻带衰减

也可以通过加窗来控制阻带衰减

但是我们采用优化过渡带的方法

有利于设计出阶次更低的滤波器

对于前面我们介绍的实例

也可以用fir2函数来进行设计

这是它所对应的MATLAB程序

过渡点的选取和滤波器长度N的估算

跟前面是一样的

因为我们设计的是一个低通滤波器

所以我们只需要把它的频段

分成通带

阻带和过渡带

所以在频率向量当中

前两个值对应的是它的通带

后两个值对应的是它的阻带

中间这一个值对应的是它的过渡带

也就是过渡点的位置

对应的幅度向量

通带为1

阻带为0

过渡点是我们输入的过渡带采样值T

然后我们就可以采用fir2函数来设计滤波器

这里设计的时候我们采用的是矩形窗

也就是我们主要依赖

过渡带采样点来控制它的阻带最小衰减

这是过渡点T=0.38的时候的设计结果

与前面我们自行编程设计的结果相比

这个fir2函数的设计结果

稍微有一些差异

但是所设计滤波器的技术指标大致相同

最后我们对这一次课的内容进行一个小结

一

由于频域采样产生的时域混叠

导致频率采样法

所设计的FIR滤波器的幅度特性

会产生逼近误差

二

在幅度特性间断点处插入若干的过渡点

能改善逼近误差

三

过渡点的数量和数值

都将影响所设计滤波器的技术指标

这一次课的内容

我们就学习到这里

再见