当前课程知识点:数字信号处理 > 六 FIR数字滤波器设计及实现结构 > 6-10 频率采样法的逼近误差及其改进措施 > 6-10 视频
大家好
这次课我们将分析频率采样法产生逼近误差的原因
并给出改善逼近误差的措施
上一节课
我们学习了频率采样法
设计线性相位FIR数字滤波器的基本原理
我们知道
频率采样法是通过频率域采样
来逼近期望的滤波器频率响应
那么采用这样一种方法设计出来的数字滤波器
它的频率响应能不能做到
和期望的频率响应完全一致呢
这个问题的答案是否定的
在这一次课
我们首先分析它们两个不一致的原因
也就是所谓的逼近误差产生的原因
在此基础上
我们将总结
改善逼近误差的频率采样法设计步骤
同时给出设计的实例及其分析
最后将介绍利用频率采样法
来设计FIR滤波器的MATLAB函数
首先我们来分析逼近误差产生的原因
这个原因的分析
我们分别可以从时域和频域来进行解释
首先来看看时域的解释
根据频率采样法的原理
它是通过对期望的频率响应
Hd(ejω)进行频域采样
来设计线性相位FIR数字滤波器
所设计滤波器的单位响应h(n)
是它的N个频率采样点的IDFT
而期望频率响应
它所对应的单位响应应该是hd(n)
这个hd(n)是期望频率响应的傅立叶反变换
根据频率域采样的原理我们会知道
h(n)应该是hd(n)
以N为周期进行周期延拓之后的主值序列
一般情况下
hd(n)是无限长的
那么我们对它进行周期延拓的时候
它就必然会产生时域的混叠
从而导致h(n)和hd(n)两者并不完全一致
下面我们再来看看频域解释
根据频域采样恢复的内插公式
H(ejω)
应该是这样一个φ(ω)函数它的平移线性组合
而φ(ω)这个函数
它具有一种波纹震荡的特性
所以它的平移线性组合
必然就会使H(ejω)
在通带和阻带都会出现纹波
并且会导致过渡带展宽
下面我们通过一个例子
来展示这种逼近误差及其特点
滤波器的期望特性如虚线所示
它是一个理想的低通滤波器
然后我们分别取N=15和N=75
采用频率采样法设计了相应的FIR滤波器
所设计滤波器的幅度特性
分别如这两条实线所示
其中纹波震荡比较慢的
是N=15的滤波器
纹波震荡比较快的
是N等=75的FIR滤波器
通过对比理想滤波器特性
和实际滤波器的特性
以及两种不同长度滤波器的幅度特性
我们可以总结出这么几个特点
第一
只有在频率采样点
实际的幅度特性
也就是图中的实线
和期望的特性
图中的曲线是一致的
我们可以看出无论是N=15
还是N=75
它们在采样点都是和期望特性
也就是和这个虚线是一致的
二
相对于期望特性
实际滤波器它的过渡带展宽了
而且过渡带的宽度
随着滤波器长度N的增大而减小
期望特性的过渡带带宽等于零
而实际设计出来的这个滤波器的过渡带宽
它是不可能等于零的
但是N=75的这个滤波器它的过渡带宽
要小于N=15的这个滤波器的过渡带宽
三
实际滤波器的幅度特性
在通带和阻带都出现了纹波
而且这个纹波幅度的峰值
它是不会随着N的改变而改变的
从图中我们可以看出
N=15的这个滤波器
和N=75的这个滤波器
它们的纹波幅度的峰值是相同的
我们无论怎么改变这个N
它的通带和阻带纹波的最大幅度
都是不会改变
也就是我们无法通过增加滤波器的长度
来满足滤波器
对阻带和通带衰减的一个更高的技术要求
那么如果我们对通带和阻带的衰减
它有更高的技术要求
我们应该怎么办
这就需要采取改善逼近误差的措施
改善逼近误差的方法
就是在期望特性的间断点处
插入若干个过渡采样点
比如我们对于这样一个
理想的低通滤波特性
分别插入了一个
两个 三个过渡带采样点
两个 三个过渡带采样点
插入过渡点之后
它会使得滤波器的过渡带
带宽进一步展宽
但是它能够有效地
抑制通带和阻带纹波的大小
但是值得注意的是
过渡点的数量和幅值
都会影响滤波器在通带和阻带的纹波大小
也就是它会影响滤波器的
通带和阻带衰减技术指标
那么我们在设计滤波器时
怎么样来确定过渡点的数量和幅值呢
这个问题并没有一个严格的答案
不过过渡点的数量
我们可以参照这样一个表来选取
这个表分别给出了1到3个过渡点
所能够达到的阻带最小衰减
当然这只是一个经验值
根据上述的分析结果
我们就可以总结
加入改善逼近误差措施的频率采样法设计步骤
首先应该根据滤波器的阻带最小衰减指标
选择适当的过渡点个数m及其数值
然后根据过渡点个数和过渡带宽的要求
确定频率采样的点数
也就是滤波器的长度 N
m个过渡点对应的过渡带带宽
近似等于 N分之2π的m+1倍
也就是我们可以采用这样的一个公式
来估算滤波器长度N
第三步
根据期望的滤波器特性和N的奇偶性
确定0到2π区间的期望频率响应Hd(ejω)
并对期望频率响应
在0到2π区间进行N点的等间隔采样
在每一个间断点处插入m个过渡点
再求频率采样的N点 IDFT
就可以得到单位响应 h(n)
或者直接根据频率采样点
得到频率采样结构形式的系统函数
最后我们要验证所设计的滤波器
是不是满足预定的技术指标的要求
这是因为在滤波器的设计过程当中
过渡点的个数
滤波器的长度
都是近似估算的
所以需要对最终的设计结果
进行技术指标的验证
我们来看一个设计实例
用频率采样法
设计第一类线性相位低通FIR数字滤波器
通带截止频率为三分之π
阻带最小衰减大于40分贝
过渡带宽要小于16分之π
首先根据阻带最小衰减的要求
我们选择采用一个过渡点
为了对比分析过渡点的值
对所设计滤波器技术指标的影响
我们采用在程序运行时
手动输入过渡点值的这样一种方法
这是对应的MATLAB设计程序
在输入过渡点的值之后
先估算滤波器的长度N
这里我们使N为奇数
是为了使得它的频率响应关于π偶对称
当然因为我们设计的是低通滤波器
所以N为奇数这个条件它不是必须的
接下来就是获取频率域采样
并且对它求IDFT
得到所设计滤波器的单位响应h(n)
最后计算所设计滤波器的通带和阻带纹波的大小
以验证它是不是满足预期的技术指标的要求
在这里
我们给出了过渡点的值T=0.38的时候
所设计出来的滤波器的单位响应
和它相应的损耗函数
同时我们也列出了不同的T值
所设计滤波器的主要技术指标
我们可以看到
当T=0.38的时候
所设计滤波器的技术指标
是能够满足我们预期的要求的
但是当T=0.5和T=0.7的时候
所设计滤波器的阻带最小衰减
都达不到40分贝
随着T的增加
它的阻带最小衰减越来越小
但是相应地它的通带纹波幅度也在降低
通过这样一个例子
我们进一步说明了
不仅仅是过渡点的数量
过渡点的值
也会影响所设计滤波器的性能指标
所以我们在实际设计的时候
需要选择适当的过渡点数值
否则有可能所设计的滤波器
不能够满足预期的设计指标要求
前面给出的例子
我们是按照频率采样法的设计步骤
自己编写MATLAB程序来进行设计
其实
MATLAB提供了频率采样法的设计函数
可以简化我们的程序设计
这个函数就是fir2
它是一个窗函数法和频率采样法相结合的
FIR滤波器设计函数
前面我们在窗函数法的时候
已经对它进行了一个初步的介绍
它的典型调用格式是这样一种形式
其中f是归一化的频率向量
取值范围从0到1
m是与这个频率向量相对应的幅度向量
f m它们的向量长度必须相同
所以基于这样一个函数
我们实际上可以设计
具有任意滤波特性的滤波器
只需要分段地
把它的滤波特性用频率向量
和幅度向量表征出来就可以了
同时我们还可以采用适当的窗函数
来进一步改善所设计滤波器的技术指标
所以这个fir2函数
它既可以用过渡带来控制阻带衰减
也可以通过加窗来控制阻带衰减
但是我们采用优化过渡带的方法
有利于设计出阶次更低的滤波器
对于前面我们介绍的实例
也可以用fir2函数来进行设计
这是它所对应的MATLAB程序
过渡点的选取和滤波器长度N的估算
跟前面是一样的
因为我们设计的是一个低通滤波器
所以我们只需要把它的频段
分成通带
阻带和过渡带
所以在频率向量当中
前两个值对应的是它的通带
后两个值对应的是它的阻带
中间这一个值对应的是它的过渡带
也就是过渡点的位置
对应的幅度向量
通带为1
阻带为0
过渡点是我们输入的过渡带采样值T
然后我们就可以采用fir2函数来设计滤波器
这里设计的时候我们采用的是矩形窗
也就是我们主要依赖
过渡带采样点来控制它的阻带最小衰减
这是过渡点T=0.38的时候的设计结果
与前面我们自行编程设计的结果相比
这个fir2函数的设计结果
稍微有一些差异
但是所设计滤波器的技术指标大致相同
最后我们对这一次课的内容进行一个小结
一
由于频域采样产生的时域混叠
导致频率采样法
所设计的FIR滤波器的幅度特性
会产生逼近误差
二
在幅度特性间断点处插入若干的过渡点
能改善逼近误差
三
过渡点的数量和数值
都将影响所设计滤波器的技术指标
这一次课的内容
我们就学习到这里
再见
-课程简介
-1-0 内容简介
--1-0 视频
-1-1 时域离散信号的表示与运算
--1-1 视频
-1-2 LTI时域离散系统
--1-2 视频
-1-3 系统初始状态对输出的影响
--1-3视频
-1-4 模拟信号数字处理方法
--1-4 视频
-第一模块测试题
--第一模块测试-作业
-2-0 内容简介
--2-0 视频
-2-1 序列的傅里叶变换
--2-1视频
-2-2 序列傅里叶变换的性质
--2-2 视频-1
--2-2 视频-2
-2-3 周期序列离散傅里叶级数与傅里叶变换的表示
--2-3 视频
-2-4 时域离散信号FT与模拟信号FT之间的关系
--2-4视频
-2-5 序列的Z变换及其逆变换
--2-5视频
-2-6 序列Z变换的性质
--2-6 视频
-2-7 利用Z变换求解差分方程
--2-7 视频
-2-8 利用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性
--2-8 视频
-2-9 利用Z变换定性分析系统特性
--2-9 视频
-第二模块测试题
--第二模块测试题-作业
-3-0 内容简介
--3-0 视频
-3-1 序列的离散傅里叶变换
--3-1 视频
-3-2 DFT与Z变换、傅里叶变换的关系
--3-2视频
-3-3 离散傅里叶变换的隐含周期性
--3-3 视频
-3-4 离散傅里叶变换的性质
--3-4 视频
-3-5 循环卷积计算
--3-5 视频
-3-6 频率域采样
--3-6 视频
-3-7 利用DFT计算线性卷积
--3-7 视频
-3-8 利用DFT对信号进行谱分析
--3-8 视频
-第三模块测试题
--第三模块测试-作业
-4-0 内容简介
--4-0 视频
-4-1 采用快速傅里叶变换的原因
--4-1 视频
-4-2 减少DFT运算量的途径
--4-2 视频
-4-3 时域抽取法基2FFT
--4-3视频
-4-4 频域抽取法基2FFT
--4-4 视频
-4-5 基2FFT算法运算量及运算规律
--4-5视频
-4-6 进一步减少运算量的措施
--4-6 视频
-第四模块测试题
--第四模块测试-作业
-5-0 内容简介
--5.0视频
-5-1 数字滤波器介绍
--5.1视频
-5-2 滤波器技术指标
--5.2视频
-5-3 巴特沃斯模拟低通滤波器
--5.3视频
-5-4 切比雪夫模拟低通滤波器
--5.4视频
-5-5 脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器
--5.5视频
-5-6 双线性变换法设计IIR数字低通滤波器
--5.6视频
-5-7 数字各型滤波器的设计
--5.7视频
-5-8 由信号流图求网络系统函数
--5.8视频
-5-9 IIR系统基本网络结构
--5.9视频
-5-10 IIR数字滤波器的工程应用
--5.10视频
-5-11 IIR数字滤波器的量化误差
--5.11视频
-第五模块测试题
--第五模块测试-作业
-6-0 引言
--6-0 视频
-6-1 线性相位FIR滤波器的条件与特点
--6-1 视频
-6-2 线性相位FIR滤波器的零点分布
--6-2 视频
-6-3 FIR数字滤波器的基本实现结构
--6-3 视频
-6-4 FIR数字滤波器的频率采样结构
--6-4 视频
-6-5 格型网络结构
--6-5视频
-6-6 窗函数法设计线性相位FIR滤波器的原理
--6-6 视频
-6-7 典型窗函数及其特性
--6-7 视频
-6-8 窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器步骤
--6-8 视频
-6-9 频率采样法设计线性相位FIR滤波器
--6-9 视频
-6-10 频率采样法的逼近误差及其改进措施
--6-10 视频
-6-11 等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器
--6-11 视频
-6-12 FIR数字滤波器的工程应用
--6-12 视频
-6-13 FIR滤波器和IIR滤波器比较
--6-13 视频
-第六模块测试题
--第六模块测试-作业
-实验一
--实验一 视频
--实验一指导书
-实验二
--实验二 视频
--实验二指导书
-实验三
--实验三指导书
--实验三视频
-实验四
--实验四指导
-模拟信号数字处理 学案
-DFT应用 学案
--DFT应用 学案
-课程拓展讨论
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--模块一 讨论2
--模块二讨论1
--模块二讨论2
--模块三讨论1
--模块三讨论2
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--模块四讨论2
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--模块五讨论2
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--模块五讨论4
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--模块六讨论2
--模块六讨论3
--模块六讨论4
--模块六讨论5
-微课
--DFT
--梳状滤波器
-课后拓展内容
--采样与混叠实例
--离散时间调制
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--反馈实例
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