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大家好
这节课我们学习
离散傅里叶变换的另一个应用
利用离散傅里叶变换对信号进行谱分析
主要内容包括
对连续信号进行谱分析
谱分析的参数选择
对序列进行谱分析
谱分析误差问题及解决方法
在信号处理领域中
通常需要对信号进行分析
例如语音信号 心电信号
地震信号等等
可以通过对它们进行傅里叶变换
了解其频谱分布特点的
但是连续信号的傅里叶变换
不适宜在计算机中直接计算
所以可以采用时域和频域
都进行了离散化的DFT来近似
这也是DFT的一个重要应用
由傅里叶变换理论我们知道
如果信号持续时间有限长
则其频谱无限宽
如果信号频谱有限宽
则其持续时间无限长
严格来说
持续时间有限的带限信号是不存在的
而DFT要求时域和频域都是有限长的
所以在利用DFT进行谱分析的时候
要先进行预处理
图1是模拟信号数字处理框图
在进行模数转换之前
需要进行预滤波
滤除高于折叠频率Fs/2的频率成分
防止采样后发生频谱混叠现象
另外对于持续时间很长的信号
需要在时域截取有限个点进行处理
在工程中
滤除掉幅度很小的高频成分
以及截取一部分幅度很小的信号
是可以的
所以利用离散傅里叶变换
来进行谱分析是近似的
近似程度和信号带宽 采样频率
截取长度都是有关系的
例如对语音信号进行分析时
因为语音信号的频率
主要是在4000Hz以下
为了避免采样后发生频谱混叠
采样频率一般是大于等于8000Hz
图2(a)中是语音的时域波形
因为点数很多
所以画成了连续的形式
(b)是(a)的离散傅里叶变换
因为语音序列是实序列
所以X(k)是共轭对称的
k从0到N-1
对应的频率从0到Fs
根据采样定理
信号最高频率是Fs/2
所以在分析的时候
只看一半就可以了
也就是图(c)
由于语音信号长时间是非平稳的
但是在10到30ms的短时间内
是近似平稳的
所以语音信号通常是做短时分析
也就是截取有限个点
作为一帧来进行分析
图3(a)和(c)
分别是语音的浊音帧和清音帧
(b)和(d)分别是它们的频谱
在时域和频域
都可以看出它们的区别和特点
下面我们来看利用DFT
分析连续信号谱的过程
连续信号xa(t)进行傅里叶变换
得到它的频谱Xa(jΩ)
如图4(a)所示
在这个图中
是以频率f为自变量的
对连续信号进行采样
得到的采样值组成了序列x(n)
它的傅里叶变换是X(e^jω)
根据模块二中学的内容
时域离散信号的傅里叶变换
是模拟信号频谱的周期延拓
那么这一部分表示了
模拟信号频谱的周期延拓
如图(b)所示
对延拓的频谱在区间0到Fs之间
进行N点等间隔采样
就得到了这个采样值
那么这个采样值乘以1/T
就是x(n)的离散傅里叶变换X(k)
也就是公式(1)
其中F是频率采样间隔
T是时域采样间隔
公式(1)说明了
连续信号的频谱采样
可以通过对连续信号进行采样
离散傅里叶变换
再乘以T的方法得到
利用频率采样
可以恢复连续信号的频谱
利用离散傅里叶变换
进行连续信号谱分析时
参数的选择要遵循一定的原则
所以我们来看一下参数之间的关系
连续时间信号进行谱分析
有两个重要的参数
一个是谱分析范围
0到Fs/2
它是和采样频率有关的
根据时域采样定理可以得出
可以分析的信号的最高频率
要小于等于Fs/2
另一个是频率分辨率
是由频率采样间隔F来表示的
频率分辨率
表示了谱分析中能够分辨的
两个频谱分量的最小间隔
F越小
就越接近于原信号的频谱
所以F越小
频率分辨率越高
除了这两个参数以外
还有其它几个参数
时域采样间隔T
也就是隔多长时间采一个样点
它和采样频率Fs是成倒数的关系
记录点数
也叫采样点数N
记录时间Tp
等于N乘以T
频域采样间隔是F
它等于Fs/N
要提高频谱分辨率
就是要减小F
如果N不变
就要降低采样频率
这样的话
会使谱分析范围变小
如果希望谱分析范围不变
也就是Fs不变
那么可以增加采样点数N
增加时域记录时间Tp
下面我们看参数选择的原则
就是根据参数之间的关系
来确定参数选择原则
可以得到
最小的采样点数等于2fc/F
最小记录时间等于1/F
最大采样间隔等于1/2fc
我们来举一个例子
对实信号进行谱分析
要求频率分辨率F小于等于10Hz
信号最高频率fc等于2.5kHz
试确定最小记录时间
最大采样间隔
最少采样点数
为了进行快速运算
要求采样点数为2的整数幂
如果fc不变
要求频率分辨率提高1倍
最少的采样点数和最小记录时间是多少
根据参数选择原则
我们可以得出
最小记录时间Tpmin等于1/F
等于0.1秒
最大采样间隔Tmax等于1/2fc
等于0.2乘以10的-3次方秒
最少采样点数Nmin等于2fc/F
等于500
因为要取2的整次幂
所以N取512
fc不变
为使频率分辨率提高一倍
F等于5Hz
这样我们可以得到
最小记录时间是0.2秒
最少采样点数是1000
取2的整次幂是1024
比较一下所得结果
可以得到刚才的结论
要想提高频率分辨率
且谱分析范围不变
也就是时域采样间隔不变
需要增加记录时间Tp
增大采样点数N
我们再来看利用DFT
对序列进行谱分析
x(n)的离散傅里叶变换X(k)
是在区间0到2π上
对序列傅里叶变换的N点等间隔采样
也就是在采样点上
二者的值是相等的
因此可以利用X(k)
表示序列的傅里叶变换
频率分辨率是采样间隔2π/N
如果序列是周期序列
只要截取整数个周期
进行离散傅里叶变换
就可以得到它的频谱结构
幅度扩大m倍
取m个周期的离散傅里叶变换
和一个周期的离散傅里叶变换的关系
如公式(5)所示
图6是截取一个 两个
三个周期的序列
和它们的离散傅里叶变换幅度特性
从图中可以看出
不管取几个周期
频率分量的个数
和对应的频率是不变的
也就是X(k)
是可以表示周期序列的频谱的
那么这个频率可以通过公式(6)
根据k的值计算出来
在实际中利用DFT进行谱分析
要对连续信号进行采样和截断
因此可能会引起误差
下面我们对谱分析误差问题
和解决方法进行讨论
一个是混叠现象
采样频率Fs应该满足采样定理
否则会在折叠频率Fs/2附近
发生频谱混叠现象
解决的方法
就是先对信号进行低通滤波
滤除掉高于折叠频率的成分
第二个是栅栏效应
DFT在频域是离散的
所以只能得到离散点上的频谱
而采样点之间的频谱
就是离散谱线之间的频谱是看不到的
这就好像从栅栏缝隙中
观察连续信号的频谱
只能够得到缝隙中看到的频谱值
这种现象叫做栅栏效应
解决的方法
就是对于有限长序列
为了使频域抽样更密
可以在原数据末尾加0
对于无限长序列
可以增加时域截取长度
也就是增加有效的采样值
例如有限长序列x(n)
是一个6点的序列
x1(n)是在x(n)后面补了六个0
那么我们来看一下
补0前后的序列和它的DFT幅度特性
如图7所示
从图中可以看出
X1(k)是在X(k)的两条谱线之间
又增加了一条谱线
也就是能够看到的频谱分量更多了
第三个是截断效应
由于实际中的信号
可能持续时间很长的信号
所以要把采集到的时域信号进行截断
就相当于在时域中乘了一个窗函数
比如矩形窗
在时域中是相乘
那么在频域
就是信号的频谱和窗函数频谱的卷积
卷积的结果
和原来信号的频谱会有差别
图8是序列加矩形窗的示意图
红色的是矩形窗的示意图
实际上矩形窗是矩形序列
为了方便观察
我们把它画成了这种形式
图9是矩形窗函数的幅度谱
从-2π/N到2π/N这一部分是主瓣
其余的是旁瓣
图10(a)是窗函数的幅度谱
(b)是单一频率的余弦序列的频谱
图(c)是加窗以后的这个幅度谱
那么加窗以后会产生两个问题
一个是频谱泄漏
也就是原来序列的频谱
是离散的谱线
经过时域截断以后
原来的离散谱线向附近展宽了
那么这种展宽就叫做泄漏
泄漏使频谱变模糊
使谱分辨率降低
还有一个是谱间干扰
也就是在主谱线两边形成了很多旁瓣
这样的话会引起不同分量间的干扰
影响频率分辨率
特别是强信号谱的旁瓣
可能会淹没弱信号的主谱线
或者把强信号谱的旁瓣
认为是另外一个信号的谱线
从而造成假信号
使谱分析产生比较大的偏差
因为频谱泄漏
和窗函数幅度谱的主瓣宽度相关
比如矩形窗的主瓣宽度是4π/N
所以增大窗的长度N
可以减少主瓣的宽度
减少泄漏
在N相同的情况下
相对于其它窗函数
矩形窗的主瓣是最窄的
谱间干扰
是由旁瓣引起来的
矩形窗的旁瓣是最大的
所以如果要减小谱间干扰
就需要改变窗函数的形状
使窗谱旁瓣的能量更小
在FIR设计模块
我们会学习各种窗函数及特点
比如汉宁窗 汉明窗
布莱克曼窗等等
这节课我们学习了
利用离散傅里叶变换
对信号进行谱分析的方法
这个模块的内容就全部学习完了
下面我们对本模块的知识点进行总结
一 序列的离散傅里叶变换
包括DFT的意义
利用定义计算离散傅里叶变换
DFT变换区间长度不同
所得的结果也是不一样的
二 DFT与Z变换 傅里叶变换的关系
离散傅里叶变换
是对序列的Z变换
在单位圆上的N点等间隔采样
也是对序列的傅里叶变换
在0到2π区间的等间隔采样
三 离散傅里叶变换的隐含周期性
离散傅里叶变换
虽然是有限长序列
但是它具有隐含周期性
四 离散傅里叶变换的性质
包括线性性质
循环移位性质
循环卷积定理
DFT的共轭对称性等
五 循环卷积的计算
包括图解法 矩阵法
以及利用DFT计算循环卷积的方法
六 频率域采样
在频域进行采样
时域序列产生周期延拓
当频率采样点数
大于等于原序列长度的时候
能够由频域采样还原出原来的序列
七 离散傅里叶变换的应用
一个是利用DFT计算线性卷积
循环卷积是线性卷积的周期延拓的
主值序列
当循环卷积的点数
大于等于线性卷积的点数时
二者相等
这时候可以利用
计算循环卷积的DFT法
来计算线性卷积
第二个应用
是利用DFT对信号进行谱分析
利用DFT对连续信号进行谱分析
是近似的
分析的时候要进行参数的选择
在实际中由于对信号要进行采样
截断等处理
可能会引起误差
因此要采用相应的方法进行解决
这节课的内容
我们就学习到这里 再见
-课程简介
-1-0 内容简介
--1-0 视频
-1-1 时域离散信号的表示与运算
--1-1 视频
-1-2 LTI时域离散系统
--1-2 视频
-1-3 系统初始状态对输出的影响
--1-3视频
-1-4 模拟信号数字处理方法
--1-4 视频
-第一模块测试题
--第一模块测试-作业
-2-0 内容简介
--2-0 视频
-2-1 序列的傅里叶变换
--2-1视频
-2-2 序列傅里叶变换的性质
--2-2 视频-1
--2-2 视频-2
-2-3 周期序列离散傅里叶级数与傅里叶变换的表示
--2-3 视频
-2-4 时域离散信号FT与模拟信号FT之间的关系
--2-4视频
-2-5 序列的Z变换及其逆变换
--2-5视频
-2-6 序列Z变换的性质
--2-6 视频
-2-7 利用Z变换求解差分方程
--2-7 视频
-2-8 利用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性
--2-8 视频
-2-9 利用Z变换定性分析系统特性
--2-9 视频
-第二模块测试题
--第二模块测试题-作业
-3-0 内容简介
--3-0 视频
-3-1 序列的离散傅里叶变换
--3-1 视频
-3-2 DFT与Z变换、傅里叶变换的关系
--3-2视频
-3-3 离散傅里叶变换的隐含周期性
--3-3 视频
-3-4 离散傅里叶变换的性质
--3-4 视频
-3-5 循环卷积计算
--3-5 视频
-3-6 频率域采样
--3-6 视频
-3-7 利用DFT计算线性卷积
--3-7 视频
-3-8 利用DFT对信号进行谱分析
--3-8 视频
-第三模块测试题
--第三模块测试-作业
-4-0 内容简介
--4-0 视频
-4-1 采用快速傅里叶变换的原因
--4-1 视频
-4-2 减少DFT运算量的途径
--4-2 视频
-4-3 时域抽取法基2FFT
--4-3视频
-4-4 频域抽取法基2FFT
--4-4 视频
-4-5 基2FFT算法运算量及运算规律
--4-5视频
-4-6 进一步减少运算量的措施
--4-6 视频
-第四模块测试题
--第四模块测试-作业
-5-0 内容简介
--5.0视频
-5-1 数字滤波器介绍
--5.1视频
-5-2 滤波器技术指标
--5.2视频
-5-3 巴特沃斯模拟低通滤波器
--5.3视频
-5-4 切比雪夫模拟低通滤波器
--5.4视频
-5-5 脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器
--5.5视频
-5-6 双线性变换法设计IIR数字低通滤波器
--5.6视频
-5-7 数字各型滤波器的设计
--5.7视频
-5-8 由信号流图求网络系统函数
--5.8视频
-5-9 IIR系统基本网络结构
--5.9视频
-5-10 IIR数字滤波器的工程应用
--5.10视频
-5-11 IIR数字滤波器的量化误差
--5.11视频
-第五模块测试题
--第五模块测试-作业
-6-0 引言
--6-0 视频
-6-1 线性相位FIR滤波器的条件与特点
--6-1 视频
-6-2 线性相位FIR滤波器的零点分布
--6-2 视频
-6-3 FIR数字滤波器的基本实现结构
--6-3 视频
-6-4 FIR数字滤波器的频率采样结构
--6-4 视频
-6-5 格型网络结构
--6-5视频
-6-6 窗函数法设计线性相位FIR滤波器的原理
--6-6 视频
-6-7 典型窗函数及其特性
--6-7 视频
-6-8 窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器步骤
--6-8 视频
-6-9 频率采样法设计线性相位FIR滤波器
--6-9 视频
-6-10 频率采样法的逼近误差及其改进措施
--6-10 视频
-6-11 等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器
--6-11 视频
-6-12 FIR数字滤波器的工程应用
--6-12 视频
-6-13 FIR滤波器和IIR滤波器比较
--6-13 视频
-第六模块测试题
--第六模块测试-作业
-实验一
--实验一 视频
--实验一指导书
-实验二
--实验二 视频
--实验二指导书
-实验三
--实验三指导书
--实验三视频
-实验四
--实验四指导
-模拟信号数字处理 学案
-DFT应用 学案
--DFT应用 学案
-课程拓展讨论
--模块一 讨论1
--模块一 讨论2
--模块二讨论1
--模块二讨论2
--模块三讨论1
--模块三讨论2
--模块四讨论1
--模块四讨论2
--模块五讨论1
--模块五讨论2
--模块五讨论3
--模块五讨论4
--模块六讨论1
--模块六讨论2
--模块六讨论3
--模块六讨论4
--模块六讨论5
-微课
--DFT
--梳状滤波器
-课后拓展内容
--采样与混叠实例
--离散时间调制
--FFT应用
--反馈实例
--吉布斯效应