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大家好

这节课我们学习

离散傅里叶变换的另一个应用

利用离散傅里叶变换对信号进行谱分析

主要内容包括

对连续信号进行谱分析

谱分析的参数选择

对序列进行谱分析

谱分析误差问题及解决方法

在信号处理领域中

通常需要对信号进行分析

例如语音信号 心电信号

地震信号等等

可以通过对它们进行傅里叶变换

了解其频谱分布特点的

但是连续信号的傅里叶变换

不适宜在计算机中直接计算

所以可以采用时域和频域

都进行了离散化的DFT来近似

这也是DFT的一个重要应用

由傅里叶变换理论我们知道

如果信号持续时间有限长

则其频谱无限宽

如果信号频谱有限宽

则其持续时间无限长

严格来说

持续时间有限的带限信号是不存在的

而DFT要求时域和频域都是有限长的

所以在利用DFT进行谱分析的时候

要先进行预处理

图1是模拟信号数字处理框图

在进行模数转换之前

需要进行预滤波

滤除高于折叠频率Fs/2的频率成分

防止采样后发生频谱混叠现象

另外对于持续时间很长的信号

需要在时域截取有限个点进行处理

在工程中

滤除掉幅度很小的高频成分

以及截取一部分幅度很小的信号

是可以的

所以利用离散傅里叶变换

来进行谱分析是近似的

近似程度和信号带宽 采样频率

截取长度都是有关系的

例如对语音信号进行分析时

因为语音信号的频率

主要是在4000Hz以下

为了避免采样后发生频谱混叠

采样频率一般是大于等于8000Hz

图2(a)中是语音的时域波形

因为点数很多

所以画成了连续的形式

(b)是(a)的离散傅里叶变换

因为语音序列是实序列

所以X(k)是共轭对称的

k从0到N-1

对应的频率从0到Fs

根据采样定理

信号最高频率是Fs/2

所以在分析的时候

只看一半就可以了

也就是图(c)

由于语音信号长时间是非平稳的

但是在10到30ms的短时间内

是近似平稳的

所以语音信号通常是做短时分析

也就是截取有限个点

作为一帧来进行分析

图3(a)和(c)

分别是语音的浊音帧和清音帧

(b)和(d)分别是它们的频谱

在时域和频域

都可以看出它们的区别和特点

下面我们来看利用DFT

分析连续信号谱的过程

连续信号xa(t)进行傅里叶变换

得到它的频谱Xa(jΩ)

如图4(a)所示

在这个图中

是以频率f为自变量的

对连续信号进行采样

得到的采样值组成了序列x(n)

它的傅里叶变换是X(e^jω)

根据模块二中学的内容

时域离散信号的傅里叶变换

是模拟信号频谱的周期延拓

那么这一部分表示了

模拟信号频谱的周期延拓

如图(b)所示

对延拓的频谱在区间0到Fs之间

进行N点等间隔采样

就得到了这个采样值

那么这个采样值乘以1/T

就是x(n)的离散傅里叶变换X(k)

也就是公式(1)

其中F是频率采样间隔

T是时域采样间隔

公式(1)说明了

连续信号的频谱采样

可以通过对连续信号进行采样

离散傅里叶变换

再乘以T的方法得到

利用频率采样

可以恢复连续信号的频谱

利用离散傅里叶变换

进行连续信号谱分析时

参数的选择要遵循一定的原则

所以我们来看一下参数之间的关系

连续时间信号进行谱分析

有两个重要的参数

一个是谱分析范围

0到Fs/2

它是和采样频率有关的

根据时域采样定理可以得出

可以分析的信号的最高频率

要小于等于Fs/2

另一个是频率分辨率

是由频率采样间隔F来表示的

频率分辨率

表示了谱分析中能够分辨的

两个频谱分量的最小间隔

F越小

就越接近于原信号的频谱

所以F越小

频率分辨率越高

除了这两个参数以外

还有其它几个参数

时域采样间隔T

也就是隔多长时间采一个样点

它和采样频率Fs是成倒数的关系

记录点数

也叫采样点数N

记录时间Tp

等于N乘以T

频域采样间隔是F

它等于Fs/N

要提高频谱分辨率

就是要减小F

如果N不变

就要降低采样频率

这样的话

会使谱分析范围变小

如果希望谱分析范围不变

也就是Fs不变

那么可以增加采样点数N

增加时域记录时间Tp

下面我们看参数选择的原则

就是根据参数之间的关系

来确定参数选择原则

可以得到

最小的采样点数等于2fc/F

最小记录时间等于1/F

最大采样间隔等于1/2fc

我们来举一个例子

对实信号进行谱分析

要求频率分辨率F小于等于10Hz

信号最高频率fc等于2.5kHz

试确定最小记录时间

最大采样间隔

最少采样点数

为了进行快速运算

要求采样点数为2的整数幂

如果fc不变

要求频率分辨率提高1倍

最少的采样点数和最小记录时间是多少

根据参数选择原则

我们可以得出

最小记录时间Tpmin等于1/F

等于0.1秒

最大采样间隔Tmax等于1/2fc

等于0.2乘以10的-3次方秒

最少采样点数Nmin等于2fc/F

等于500

因为要取2的整次幂

所以N取512

fc不变

为使频率分辨率提高一倍

F等于5Hz

这样我们可以得到

最小记录时间是0.2秒

最少采样点数是1000

取2的整次幂是1024

比较一下所得结果

可以得到刚才的结论

要想提高频率分辨率

且谱分析范围不变

也就是时域采样间隔不变

需要增加记录时间Tp

增大采样点数N

我们再来看利用DFT

对序列进行谱分析

x(n)的离散傅里叶变换X(k)

是在区间0到2π上

对序列傅里叶变换的N点等间隔采样

也就是在采样点上

二者的值是相等的

因此可以利用X(k)

表示序列的傅里叶变换

频率分辨率是采样间隔2π/N

如果序列是周期序列

只要截取整数个周期

进行离散傅里叶变换

就可以得到它的频谱结构

幅度扩大m倍

取m个周期的离散傅里叶变换

和一个周期的离散傅里叶变换的关系

如公式(5)所示

图6是截取一个 两个

三个周期的序列

和它们的离散傅里叶变换幅度特性

从图中可以看出

不管取几个周期

频率分量的个数

和对应的频率是不变的

也就是X(k)

是可以表示周期序列的频谱的

那么这个频率可以通过公式(6)

根据k的值计算出来

在实际中利用DFT进行谱分析

要对连续信号进行采样和截断

因此可能会引起误差

下面我们对谱分析误差问题

和解决方法进行讨论

一个是混叠现象

采样频率Fs应该满足采样定理

否则会在折叠频率Fs/2附近

发生频谱混叠现象

解决的方法

就是先对信号进行低通滤波

滤除掉高于折叠频率的成分

第二个是栅栏效应

DFT在频域是离散的

所以只能得到离散点上的频谱

而采样点之间的频谱

就是离散谱线之间的频谱是看不到的

这就好像从栅栏缝隙中

观察连续信号的频谱

只能够得到缝隙中看到的频谱值

这种现象叫做栅栏效应

解决的方法

就是对于有限长序列

为了使频域抽样更密

可以在原数据末尾加0

对于无限长序列

可以增加时域截取长度

也就是增加有效的采样值

例如有限长序列x(n)

是一个6点的序列

x1(n)是在x(n)后面补了六个0

那么我们来看一下

补0前后的序列和它的DFT幅度特性

如图7所示

从图中可以看出

X1(k)是在X(k)的两条谱线之间

又增加了一条谱线

也就是能够看到的频谱分量更多了

第三个是截断效应

由于实际中的信号

可能持续时间很长的信号

所以要把采集到的时域信号进行截断

就相当于在时域中乘了一个窗函数

比如矩形窗

在时域中是相乘

那么在频域

就是信号的频谱和窗函数频谱的卷积

卷积的结果

和原来信号的频谱会有差别

图8是序列加矩形窗的示意图

红色的是矩形窗的示意图

实际上矩形窗是矩形序列

为了方便观察

我们把它画成了这种形式

图9是矩形窗函数的幅度谱

从-2π/N到2π/N这一部分是主瓣

其余的是旁瓣

图10(a)是窗函数的幅度谱

(b)是单一频率的余弦序列的频谱

图(c)是加窗以后的这个幅度谱

那么加窗以后会产生两个问题

一个是频谱泄漏

也就是原来序列的频谱

是离散的谱线

经过时域截断以后

原来的离散谱线向附近展宽了

那么这种展宽就叫做泄漏

泄漏使频谱变模糊

使谱分辨率降低

还有一个是谱间干扰

也就是在主谱线两边形成了很多旁瓣

这样的话会引起不同分量间的干扰

影响频率分辨率

特别是强信号谱的旁瓣

可能会淹没弱信号的主谱线

或者把强信号谱的旁瓣

认为是另外一个信号的谱线

从而造成假信号

使谱分析产生比较大的偏差

因为频谱泄漏

和窗函数幅度谱的主瓣宽度相关

比如矩形窗的主瓣宽度是4π/N

所以增大窗的长度N

可以减少主瓣的宽度

减少泄漏

在N相同的情况下

相对于其它窗函数

矩形窗的主瓣是最窄的

谱间干扰

是由旁瓣引起来的

矩形窗的旁瓣是最大的

所以如果要减小谱间干扰

就需要改变窗函数的形状

使窗谱旁瓣的能量更小

在FIR设计模块

我们会学习各种窗函数及特点

比如汉宁窗 汉明窗

布莱克曼窗等等

这节课我们学习了

利用离散傅里叶变换

对信号进行谱分析的方法

这个模块的内容就全部学习完了

下面我们对本模块的知识点进行总结

一 序列的离散傅里叶变换

包括DFT的意义

利用定义计算离散傅里叶变换

DFT变换区间长度不同

所得的结果也是不一样的

二 DFT与Z变换 傅里叶变换的关系

离散傅里叶变换

是对序列的Z变换

在单位圆上的N点等间隔采样

也是对序列的傅里叶变换

在0到2π区间的等间隔采样

三 离散傅里叶变换的隐含周期性

离散傅里叶变换

虽然是有限长序列

但是它具有隐含周期性

四 离散傅里叶变换的性质

包括线性性质

循环移位性质

循环卷积定理

DFT的共轭对称性等

五 循环卷积的计算

包括图解法 矩阵法

以及利用DFT计算循环卷积的方法

六 频率域采样

在频域进行采样

时域序列产生周期延拓

当频率采样点数

大于等于原序列长度的时候

能够由频域采样还原出原来的序列

七 离散傅里叶变换的应用

一个是利用DFT计算线性卷积

循环卷积是线性卷积的周期延拓的

主值序列

当循环卷积的点数

大于等于线性卷积的点数时

二者相等

这时候可以利用

计算循环卷积的DFT法

来计算线性卷积

第二个应用

是利用DFT对信号进行谱分析

利用DFT对连续信号进行谱分析

是近似的

分析的时候要进行参数的选择

在实际中由于对信号要进行采样

截断等处理

可能会引起误差

因此要采用相应的方法进行解决

这节课的内容

我们就学习到这里 再见