当前课程知识点:数字信号处理 > 三 时域离散信号与系统DFT分析 > 3-4 离散傅里叶变换的性质 > 3-4 视频
大家好
这节课我们学习
离散傅里叶变换的性质
主要内容包括
DFT的线性性质
循环移位性质
循环卷积定理
复共轭序列的离散傅里叶变换
以及离散傅里叶变换的共轭对称性
首先是线性性质
假设序列x1(n)和x2(n)的长度
分别为N1和N2
并且N是大于等于N1和N2中的大值
如果两个序列的离散傅里叶变换
分别是X1(k)和X2(k)
那么线性性质如公式(1)所示
也就是序列的线性组合的
离散傅里叶变换
是序列离散傅里叶变换的线性组合
其中a b是常数
第二个是循环移位性质
我们先来看一下什么是循环移位
长度为M的有限长序列x(n)
它的循环移位序列是y(n)
和x(n)的关系如公式(2)所示
由公式(2)可以得到
循环移位的步骤
先将x(n)以N为周期进行周期延拓
得到周期序列
注意延拓周期
要大于等于序列的长度M
再进行移位
m大于0是进行左移
小于0是进行右移
最后取主值序列
下面我们看一个例子
已知序列x(n)长度是6
N也等于6
求其循环左移一位的序列
首先画出序列x(n)
然后对x(n)进行周期延拓
得到周期序列
对周期序列左移一位
然后取主值
这样就得到了循环左移一位的序列
这个就是序列循环移位的过程
比较序列x(n)和它的移位序列
可以发现
序列从左边移出主值区间的值
又从右边移进来了
所以叫做循环移位
这是N等于6的情况
如果N大于6呢
这时需要先对序列补0到N长
然后再进行循环移位
如果序列在时域进行了循环移位
那么循环移位序列
和原序列的DFT之间的关系
是由时域循环移位定理来描述的
设长度为M的有限长序列为x(n)
它的循环移位序列是y(n)
如果x(n)的离散傅里叶变换是X(k)
那么
y(n)的离散傅里叶变换Y(k)
和X(k)的关系如公式(3)所示
也就是Y(k)
是X(k)乘以一个复指数序列
同样有频域循环移位定理
如果Y(k)是X(k)的循环移位
y(n)和x(n)的关系如公式(4)所示
也就是y(n)
是x(n)乘以一个复指数序列
这就是循环移位定理
第三个是循环卷积定理
我们首先看时域循环卷积定理
假设有限长序列x1(n)
和x2(n)的N点离散傅里叶变换
分别是X1(k)和X2(k)
如果X1(k)和X2(k)相乘等于X(k)
那么X(k)的N点离散傅里叶反变换x(n)
就是序列x1(n)和x2(n)的循环卷积
如公式(5)所示
循环卷积的符号
是用*加一个圈表示
或者用一个数字加一个圈表示
那我们注意
如果频域是两个离散傅里叶变换相乘
时域是两个序列的循环卷积
在模块二中
我们学习过时域卷积定理
就是两个序列在时域是线性卷积
那么它们的傅里叶变换
是相乘的关系
所以 线性卷积
和循环卷积是有区别的
需要满足一定条件才能相等
我们在后面进行介绍
频域循环卷积定理的内容是
如果序列x(n)是两个序列相乘得到的
那么它的离散傅里叶变换
是两个序列离散傅里叶变换的
循环卷积除以N
也就是公式(6)
第四个
是复共轭序列的离散傅里叶变换
假设有限长序列是x(n)
它的离散傅里叶变换是X(k)
那么x(n)的复共轭序列的
离散傅里叶变换是X(N-k)的共轭
如公式(7)所示
并且由于X(k)具有隐含周期性
所以X(N)是等于X(0)
同样X(N-n)的共轭
它的离散傅里叶变换是X(k)的共轭
第五个是离散傅里叶变换的
共轭对称性
首先看有限长序列的共轭对称定义
有限长共轭对称序列
用xep(n)来表示
有限长共轭反对称序列
用xop(n)来表示
它们的定义分别是
公式(9)和公式(10)
需要注意的是
在这里的对称性
是关于n等于N/2的对称
也就是对称轴是N/2
在模块二中
我们学习过共轭对称序列
这种序列它是关于n等于0对称的
这是二者的区别
任何有限长序列x(n)都可以写成
有限长共轭对称分量
和有限长共轭反对称分量之和的形式
也就是公式(11)
把这个式子当中的x(n)的变量n
换成N-n
再取共轭
就可以得到(12)式
利用(11)式和(12)式
可以得到由x(n)
求xep(n)和xop(n)的公式
我们来看一个例子
已知序列x(n)
其中1+j对应着n等于0这一点
所以在它的下面画了一条小横线
利用(11)式和(12)式
可以计算出xep(n)和xop(n)
我们可以看出
对于有限长共轭对称序列
在n等于0这一点
是没有点和它对称的
在n等于1和n等于N-1这两点
是共轭对称的
n等于2和n等于N-2
这两点是共轭对称的
对于xop(n)
它是共轭反对称的
这个对称性都是关于N/2的对称
有了有限长共轭对称的定义
我们来分析
离散傅里叶变换的共轭对称性
如果将序列分为
实部加j乘以虚部的形式
也就是x(n)等于xr(n)加jxi(n)
x(n)的N点离散傅里叶变换是X(k)
写成有限长共轭对称分量
和有限长共轭反对称分量之和的形式
分别对x(n)的实部和j乘以虚部
进行离散傅里叶变换
得到的就是X(k)的
有限长共轭对称分量
和有限长共轭反对称分量
如果把序列分成
有限长共轭对称分量
和有限长共轭反对称分量的形式
也就是x(n)等于xep(n)加上xop(n)
那么
有限长共轭对称分量
和共轭反对称分量的
离散傅里叶变换
分别是x(n)的离散傅里叶变换
X(k)的实部和j乘以虚部
我们总结一下
如果序列在时域
写成实部加j乘以虚部的形式
那么
实部和j乘以虚部的
离散傅里叶变换
分别是x(n)离散傅里叶变换的
有限长共轭对称部分
和有限长共轭反对称部分
如果序列在时域
分成有限长共轭对称部分
和有限长共轭反对称部分
分别对它们进行离散傅里叶变换
就是x(n)的离散傅里叶变换的
实部和j乘以虚部
如果序列是实序列
长度为N
序列的离散傅里叶变换是X(k)
那么X(k)是共轭对称的
如果序列是实序列
并且关于N/2偶对称
那么它的离散傅里叶变换
也是实偶序列
如果序列是实序列
并且关于N/2奇对称
那么它的离散傅里叶变换
是纯虚的奇对称序列
例如序列x1(n)和x2(n)
它们都是实偶序列
所以对它们进行离散傅里叶变换
得到的结果也应该是实偶对称的
我们看X1(k)
k等于0这一点
没有点和它对称
其余的值是两两偶对称的
X2(k)也是一样的
注意
x3(n)是实序列
但它不是关于N/2的偶对称
所以它的离散傅里叶变换
不应该是实偶对称的
我们看它的结果
是不满足我们刚才说的这个性质的
但是因为它是实序列
所以它的离散傅里叶变换
是共轭对称的
序列x4(n)和x5(n)
都是实奇对称序列
在n等于0这一点
因为没有点和它对称
所以这一点的值必须是等于0的
那么这两个序列的
离散傅里叶变换X4(k)和X5(k)
都是纯虚的奇对称序列
对于x5(n)
因为N等于4
n等于2这一点也没有点和它对称
因此这一点的值也必须是0
也就是说
如果序列对N/2成奇对称
并且N是偶数
那么N/2这点的值是0
同样需要注意的是
x6(n)是实序列
但是它不是关于N/2的奇对称序列
所以它的离散傅里叶变换
也仅仅是共轭对称的
但不是纯虚的奇对称序列
和前面的x4(n) x5(n)的
离散傅里叶变换是有区别的
离散傅里叶变换的共轭对称性质
可以用于减少
实序列离散傅里叶变换的运算量
第一种应用
就是对一个实序列进行
离散傅里叶变换
利用共轭对称性减少运算量
提高运算效率
只需要计算出前半部分的值
后半部分的值
利用实序列离散傅里叶变换
是共轭对称的这个性质
就可以减少近一半的工作量
例如 假设序列x(n)是6点的序列
它的离散傅里叶变换是X(k)
已知X(1)和X(2)
求X(k)的其它几点值
因为k等于0以及N/2的时候
是没有点和它对应的
所以我们要计算
k等于0以及k等于3的时候的值
当k等于0的时候
利用离散傅里叶变换的定义式
可以得到
X(0)是等于序列的所有值之和
也就是28
当k等于3的时候
X(3)等于x(n)乘以-1的n次方求和
也就是序列的值加一项 减一项
就是2减5 加7减4 加3减7
等于-4
那么其余的两点值
就可以利用
实序列的离散傅里叶变换
是共轭对称的这个性质
来进行计算
X(4)等于X(2)的共轭
等于 -5-j5.196
X(5)等于X(1)的共轭
等于 -1+j1.732
所以后一半的值
就可以利用这个公式进行计算
这样后一半的值
是利用对称性得到的
而不用再去进行这种求和运算
第二种应用
就是利用共轭对称性质
通过计算一次N点离散傅里叶变换
得到两个不同实序列的
N点离散傅里叶变换
两个实序列分别进行离散傅里叶变换
是需要两次DFT的
那么如何用一次DFT实现呢
因为两个序列都是实序列
所以可以由它们组成一个复序列x(n)
一个作为实部
另外一个作为虚部
对x(n)进行一次
离散傅里叶变换得到X(k)
根据共轭对称性质
序列实部的离散傅里叶变换X1(k)
它是X(k)的
有限长共轭对称分量Xep(k)
虚部乘以j的离散傅里叶变换是jX2(k)
它的离散傅里叶变换
它是X(k)的
有限长共轭反对称分量Xop(k)
对于这个式子
两边同时除以一个j
就可以得到X2(k)
Xep(k)和Xop(k)都可以由X(k)求出来
这样就利用了一次离散傅里叶变换
计算了两个实序列的DFT
从而减少运算量
这节课我们学习了
离散傅里叶变换的线性性质
序列的循环移位
以及时域和频域循环移位性质
时域 频域循环卷积定理
复共轭序列的离散傅里叶变换
以及DFT的共轭对称性
这节课的内容
我们就学习到这里 再见
-课程简介
-1-0 内容简介
--1-0 视频
-1-1 时域离散信号的表示与运算
--1-1 视频
-1-2 LTI时域离散系统
--1-2 视频
-1-3 系统初始状态对输出的影响
--1-3视频
-1-4 模拟信号数字处理方法
--1-4 视频
-第一模块测试题
--第一模块测试-作业
-2-0 内容简介
--2-0 视频
-2-1 序列的傅里叶变换
--2-1视频
-2-2 序列傅里叶变换的性质
--2-2 视频-1
--2-2 视频-2
-2-3 周期序列离散傅里叶级数与傅里叶变换的表示
--2-3 视频
-2-4 时域离散信号FT与模拟信号FT之间的关系
--2-4视频
-2-5 序列的Z变换及其逆变换
--2-5视频
-2-6 序列Z变换的性质
--2-6 视频
-2-7 利用Z变换求解差分方程
--2-7 视频
-2-8 利用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性
--2-8 视频
-2-9 利用Z变换定性分析系统特性
--2-9 视频
-第二模块测试题
--第二模块测试题-作业
-3-0 内容简介
--3-0 视频
-3-1 序列的离散傅里叶变换
--3-1 视频
-3-2 DFT与Z变换、傅里叶变换的关系
--3-2视频
-3-3 离散傅里叶变换的隐含周期性
--3-3 视频
-3-4 离散傅里叶变换的性质
--3-4 视频
-3-5 循环卷积计算
--3-5 视频
-3-6 频率域采样
--3-6 视频
-3-7 利用DFT计算线性卷积
--3-7 视频
-3-8 利用DFT对信号进行谱分析
--3-8 视频
-第三模块测试题
--第三模块测试-作业
-4-0 内容简介
--4-0 视频
-4-1 采用快速傅里叶变换的原因
--4-1 视频
-4-2 减少DFT运算量的途径
--4-2 视频
-4-3 时域抽取法基2FFT
--4-3视频
-4-4 频域抽取法基2FFT
--4-4 视频
-4-5 基2FFT算法运算量及运算规律
--4-5视频
-4-6 进一步减少运算量的措施
--4-6 视频
-第四模块测试题
--第四模块测试-作业
-5-0 内容简介
--5.0视频
-5-1 数字滤波器介绍
--5.1视频
-5-2 滤波器技术指标
--5.2视频
-5-3 巴特沃斯模拟低通滤波器
--5.3视频
-5-4 切比雪夫模拟低通滤波器
--5.4视频
-5-5 脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器
--5.5视频
-5-6 双线性变换法设计IIR数字低通滤波器
--5.6视频
-5-7 数字各型滤波器的设计
--5.7视频
-5-8 由信号流图求网络系统函数
--5.8视频
-5-9 IIR系统基本网络结构
--5.9视频
-5-10 IIR数字滤波器的工程应用
--5.10视频
-5-11 IIR数字滤波器的量化误差
--5.11视频
-第五模块测试题
--第五模块测试-作业
-6-0 引言
--6-0 视频
-6-1 线性相位FIR滤波器的条件与特点
--6-1 视频
-6-2 线性相位FIR滤波器的零点分布
--6-2 视频
-6-3 FIR数字滤波器的基本实现结构
--6-3 视频
-6-4 FIR数字滤波器的频率采样结构
--6-4 视频
-6-5 格型网络结构
--6-5视频
-6-6 窗函数法设计线性相位FIR滤波器的原理
--6-6 视频
-6-7 典型窗函数及其特性
--6-7 视频
-6-8 窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器步骤
--6-8 视频
-6-9 频率采样法设计线性相位FIR滤波器
--6-9 视频
-6-10 频率采样法的逼近误差及其改进措施
--6-10 视频
-6-11 等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器
--6-11 视频
-6-12 FIR数字滤波器的工程应用
--6-12 视频
-6-13 FIR滤波器和IIR滤波器比较
--6-13 视频
-第六模块测试题
--第六模块测试-作业
-实验一
--实验一 视频
--实验一指导书
-实验二
--实验二 视频
--实验二指导书
-实验三
--实验三指导书
--实验三视频
-实验四
--实验四指导
-模拟信号数字处理 学案
-DFT应用 学案
--DFT应用 学案
-课程拓展讨论
--模块一 讨论1
--模块一 讨论2
--模块二讨论1
--模块二讨论2
--模块三讨论1
--模块三讨论2
--模块四讨论1
--模块四讨论2
--模块五讨论1
--模块五讨论2
--模块五讨论3
--模块五讨论4
--模块六讨论1
--模块六讨论2
--模块六讨论3
--模块六讨论4
--模块六讨论5
-微课
--DFT
--梳状滤波器
-课后拓展内容
--采样与混叠实例
--离散时间调制
--FFT应用
--反馈实例
--吉布斯效应