当前课程知识点:数字信号处理 > 三 时域离散信号与系统DFT分析 > 3-6 频率域采样 > 3-6 视频
大家好
这节课我们来学习频率域采样
主要内容包括
频域采样定理
频域内插公式
以及案例分析
我们首先来看频域采样定理
设序列x(n)的Z变换为X(z)
并且收敛域包含单位圆
对X(z)在单位圆上
进行N点等间隔采样得到X(k)
采样点是z等于e^(j2πk/N)
把它代到X(z)的正变换式当中
就可以得到公式(1)
其中k是0到N-1
公式(1)还可以简写成
下面这种形式
公式(1)说明了
X(k)是在单位圆上
对序列的Z变换的N点等间隔采样
而单位圆上的Z变换
又是序列的傅里叶变换
所以X(k)也是在区间0到2π上
对序列傅里叶变换的N点等间隔采样
对X(k)进行N点的离散傅里叶反变换
得到序列xN(n)
那么这个序列
和原序列x(n)是什么关系呢
二者是否是相等的
下面我们来进行分析
xN(n)和X(k)
是一对离散傅里叶变换
对它们以N为周期进行周期延拓
得到时域和频域的周期序列
时域和频域的周期序列
是一对离散傅里叶级数
而周期序列的主值序列
又是时域的有限长序列
这个公式是IDFS公式
在这个公式中
求和范围是k从0到N-1
周期序列在这个区间就是X(k)
而X(k)是在单位圆上
对Z变换进行等间隔采样得到的
也就是公式(1)
把公式(1)代入到下面的公式中
因为在IDFS这个公式里面
有变量n了
所以公式(1)当中的变量n
换成变量m
改变公式中求和的次序
并且把两项系数合并成一项
得到公式(2)
在公式(2)中
WN的k(m-n)次方求和
我们看它的结果是什么
当m-n等于rN的时候
由于WN的N次方等于1
所以WN的krN次方也是等于1的
因此这一项就是N个1相加
结果是N
因为m是从负无穷到正无穷
所以r也是从负无穷到正无穷
当m-n不等于rN的时候
利用等比级数求和
结果是0
所以对于中括号里面的这一项来讲
当m等于n+rN的时候
这个值是1/N乘以N等于1
当m不等于n+rN的时候
中括号里面的值是等于0
也就是说
只有当m等于n+rN的时候
公式(2)才会有值
因此
可以把公式(2)写成∑x(n+rN)
r等于负无穷到正无穷
这是一个周期序列
对周期序列取主值
就得到了xN(n)
也就是公式(3)
公式(3)描述了原序列x(n)
和xN(n)之间的关系
xN(n)是原序列
以N为周期进行周期延拓
再取主值得到的
我们总结一下这个过程
序列x(n)进行Z变换
或者是傅里叶变换
然后进行频域采样
得到X(k)
对X(k)进行N点的离散傅里叶反变换
得到xN(n)
xN(n)和x(n)的关系就是公式(3)
所以频域采样
原序列x(n)是要周期延拓的
而有这个周期延拓
就可能有混叠
所以xN(n)和x(n)不一定是相等的
那么在什么条件下二者会相等呢
这个就是频域采样定理研究的内容
假设序列长度是M
频域采样点数是N
也是序列x(n)的延拓周期
对于一个长度为M的序列
只有当延拓周期
大于等于序列长度的时候
才不会发生混叠现象
也就是N大于等于M的时候
由X(k)恢复的序列
才会和原来序列相等
这个就是频域采样定理的内容
在第一个模块里面
我们学习了时域采样定理
也就是时域采样
会导致频域的周期延拓
要想频谱不发生混叠的话
就需要满足这个条件
采样频率要大于等于
二倍的信号最高频率
这个时候才能够由时域采样序列
不失真的还原出原来的连续信号
而频域采样会导致时域的周期延拓
要想不发生时域混叠现象
就要求频域采样点数
大于等于序列的长度
这个就是时域采样定理
和频域采样定理
由于X(k)是对X(z)和X(e^jω)的采样
所以在满足频域采样定理的情况下
可以用内插公式
由X(k)恢复出X(z)和X(e^jω)
把X(k)的离散傅里叶反变换式
带入到x(n)的Z变换式中
就可以得到X(k)和X(z)的关系式
中括号里的这一项是φk(z)
是复频域内插函数
整个公式
也就是公式(5)
是复频域内插公式
就是由X(k)恢复出X(z)的公式
当z于e^jω的时候
还可以得到x(n)的傅里叶变换的
频域内插函数和内插公式
公式(6)是由X(k)
恢复X(e^jω)的内插公式
其中
φ(ω)公式(7)是频域内插函数
下面我们来举例分析
已知稳定序列x1(n)的Z变换是X1(z)
设x2(n)是一个长度为N的序列
它的N点离散傅里叶变换是X2(k)
并且已知X2(k)和X1(z)的关系
让我们来求x2(n)
下面我们来分析一下这个过程
序列是x1(n)
它的Z变换是X1(z)
根据X2(k)和X1(z)的这个关系式
我们可以知道
X2(k)就是X1(z)
在单位圆上的N点等间隔采样
也就是进行了频域采样
对X2(k)进行N点离散傅里叶反变换
得到x2(n)
这个过程和我们前面讲的过程
是一样的
所以x2(n)和x1(n)的关系是什么呢
x2(n)就是x1(n)
以N为周期进行周期延拓
再取主值
这样的话
如果我们有了x1(n)
根据这种关系就可以得到x2(n)了
已知的是X1(z)
我们来求x1(n)
X1(z)等于1/(1-7/8z^(-1))
所以它的极点是z等于7/8
因为是稳定序列
所以收敛域是大于7/8
那么这个序列
应该是一个因果序列
x1(n)等于7/8的n次方u(n)
根据频域采样定理
x2(n)应该等于x1(n)以N为周期
进行周期延拓
再取主值
把x1(n)带到这个公式里面来
对于阶跃序列
括号里面的变量
应该是大于等于0的时候
序列会有值
所以r就应该是从0到无穷
因此
公式就变成了∑(7/8的n+rN次方)
r从0到无穷
把7/8的n次方
提到求和号的外面来
然后进行级数求和
就可以得到最终的结果
x2(n)等于(7/8)^n除以1-(7/8)^N
n是从0到N-1
那么我们比较一下
x2(n)和x1(n)
这两个式子是不相等的
根据频域采样定理
当频域采样点数大于等于
序列的长度的时候
二者才会完全相等
但是x1(n)它是一个无限长的序列
所以这两个序列不相等
但是N的值越大
它就会越接近于原来的序列
但是N的值也不可能无限制的加大
所以在实际计算当中
对于持续时间很长的信号
由于采样点数太多
会导致无法在计算机中进行计算
所以一般都会进行截断处理
也就是说取有限个点来进行处理
这节课我们学习了频域采样定理
频域采样
时域会产生周期延拓
当频域采样点数
大于等于原序列长度的时候
才能由频域采样恢复出原序列
否则会产生时域混叠现象
使恢复出来的序列和原序列不相等
这节课的内容
我们就学习到这里 再见
-课程简介
-1-0 内容简介
--1-0 视频
-1-1 时域离散信号的表示与运算
--1-1 视频
-1-2 LTI时域离散系统
--1-2 视频
-1-3 系统初始状态对输出的影响
--1-3视频
-1-4 模拟信号数字处理方法
--1-4 视频
-第一模块测试题
--第一模块测试-作业
-2-0 内容简介
--2-0 视频
-2-1 序列的傅里叶变换
--2-1视频
-2-2 序列傅里叶变换的性质
--2-2 视频-1
--2-2 视频-2
-2-3 周期序列离散傅里叶级数与傅里叶变换的表示
--2-3 视频
-2-4 时域离散信号FT与模拟信号FT之间的关系
--2-4视频
-2-5 序列的Z变换及其逆变换
--2-5视频
-2-6 序列Z变换的性质
--2-6 视频
-2-7 利用Z变换求解差分方程
--2-7 视频
-2-8 利用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性
--2-8 视频
-2-9 利用Z变换定性分析系统特性
--2-9 视频
-第二模块测试题
--第二模块测试题-作业
-3-0 内容简介
--3-0 视频
-3-1 序列的离散傅里叶变换
--3-1 视频
-3-2 DFT与Z变换、傅里叶变换的关系
--3-2视频
-3-3 离散傅里叶变换的隐含周期性
--3-3 视频
-3-4 离散傅里叶变换的性质
--3-4 视频
-3-5 循环卷积计算
--3-5 视频
-3-6 频率域采样
--3-6 视频
-3-7 利用DFT计算线性卷积
--3-7 视频
-3-8 利用DFT对信号进行谱分析
--3-8 视频
-第三模块测试题
--第三模块测试-作业
-4-0 内容简介
--4-0 视频
-4-1 采用快速傅里叶变换的原因
--4-1 视频
-4-2 减少DFT运算量的途径
--4-2 视频
-4-3 时域抽取法基2FFT
--4-3视频
-4-4 频域抽取法基2FFT
--4-4 视频
-4-5 基2FFT算法运算量及运算规律
--4-5视频
-4-6 进一步减少运算量的措施
--4-6 视频
-第四模块测试题
--第四模块测试-作业
-5-0 内容简介
--5.0视频
-5-1 数字滤波器介绍
--5.1视频
-5-2 滤波器技术指标
--5.2视频
-5-3 巴特沃斯模拟低通滤波器
--5.3视频
-5-4 切比雪夫模拟低通滤波器
--5.4视频
-5-5 脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器
--5.5视频
-5-6 双线性变换法设计IIR数字低通滤波器
--5.6视频
-5-7 数字各型滤波器的设计
--5.7视频
-5-8 由信号流图求网络系统函数
--5.8视频
-5-9 IIR系统基本网络结构
--5.9视频
-5-10 IIR数字滤波器的工程应用
--5.10视频
-5-11 IIR数字滤波器的量化误差
--5.11视频
-第五模块测试题
--第五模块测试-作业
-6-0 引言
--6-0 视频
-6-1 线性相位FIR滤波器的条件与特点
--6-1 视频
-6-2 线性相位FIR滤波器的零点分布
--6-2 视频
-6-3 FIR数字滤波器的基本实现结构
--6-3 视频
-6-4 FIR数字滤波器的频率采样结构
--6-4 视频
-6-5 格型网络结构
--6-5视频
-6-6 窗函数法设计线性相位FIR滤波器的原理
--6-6 视频
-6-7 典型窗函数及其特性
--6-7 视频
-6-8 窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器步骤
--6-8 视频
-6-9 频率采样法设计线性相位FIR滤波器
--6-9 视频
-6-10 频率采样法的逼近误差及其改进措施
--6-10 视频
-6-11 等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器
--6-11 视频
-6-12 FIR数字滤波器的工程应用
--6-12 视频
-6-13 FIR滤波器和IIR滤波器比较
--6-13 视频
-第六模块测试题
--第六模块测试-作业
-实验一
--实验一 视频
--实验一指导书
-实验二
--实验二 视频
--实验二指导书
-实验三
--实验三指导书
--实验三视频
-实验四
--实验四指导
-模拟信号数字处理 学案
-DFT应用 学案
--DFT应用 学案
-课程拓展讨论
--模块一 讨论1
--模块一 讨论2
--模块二讨论1
--模块二讨论2
--模块三讨论1
--模块三讨论2
--模块四讨论1
--模块四讨论2
--模块五讨论1
--模块五讨论2
--模块五讨论3
--模块五讨论4
--模块六讨论1
--模块六讨论2
--模块六讨论3
--模块六讨论4
--模块六讨论5
-微课
--DFT
--梳状滤波器
-课后拓展内容
--采样与混叠实例
--离散时间调制
--FFT应用
--反馈实例
--吉布斯效应