1.2 n 阶行列式在线视频

同学们好

今天

我们来学习

行列式的第二讲

n阶行列式

本讲内容包括

排列与逆序数

n阶行列式的概念

首先

我们来介绍 排列与逆序数

定义3

将n个不同的元素组成一个有序数组

称为这n个元素的一个n级排列

不难验证

n级排列的所有可能总数为n的阶乘

定义4

在n级排列中

我们规定由小到大为一个标准次序

若两个元素与标准次序不同

则构成一个逆序

在排列中

所有元素的逆序总数称为

排列的逆序数

并且逆序数为奇数的排列称为

奇排列

反之

称为偶排列

下面

我们举例加以说明

例1

求排列3 2 5 1 4的逆序数

同学们

元素的逆序因为两个元素的比较而产生

我们不妨将选定元素都和它前面的元素进行比较

在排列3 2 5 1 4中

元素3排在首位

向前没有元素可以比较

故逆序为0

元素2前面只有一个3

因为3 2与标准次序不同

所以

元素2产生了一个逆序

5是本排列中最大的数

前面的元素都比它小

故逆序为0

同理可得

元素1和4的逆序

因此

排列3 2 5 1 4的逆序数等于5

是奇排列

同时

将排列中的任意两个元素互换

其余元素的位置保持不变

称为对换

如果将两个相邻的元素进行互换

则称为相邻对换

定理1

将一个排列中的任意两个元素

做一次对换

排列改变奇偶性

比如

在例1中

排列3 2 5 1 4的逆序数为5

是奇排列

我们交换元素3和5之后

排列5 2 3 1 4的逆序数为6

是偶排列

请同学们完成

下列关于排列逆序数和奇偶性的练习

现在

我们来定义n阶行列式

先回忆一下

三阶行列式

是按照对角线法则展开的

其中

主对角线或平行于主对角线

方向的元素乘积项取正号

次对角线或平行于次对角线

方向的元素乘积取负号

不难发现

任意展开项

都是位于不同行

不同列的三个元素的乘积

即不重复的取遍了所有的行与列

(2)

主对角线方向的展开项

a₁₂ a₂₃ a₃₁符号为正

其列标排列2 3 1的逆序数为2

是偶排列

然而

次对角线方向的展开项

a₁₂ a₂₁ a₃₃符号为负

其列标排列2 1 3的逆序为1

是奇排列

那么

列标排列的逆序

与对应展开项的符号之间

是否存在某种联系呢

下面

我们给出n阶行列式的定义

定义5

由n行n列个数构成的

n阶行列式等于所有取自不同行

不同列的n个数的乘积的代数和

即Dₙ 等于Σ(-1)的τ次方

乘以a_(1q₁) a_(2q₂)…a_(nqₙ)

其中q₁ q₂…qₙ为自然数

1 2到n的一个排列

τ(q₁ q₂…qₙ)表示列标排列的逆序数

n阶行列式可以简单记为det(aᵢⱼ)

或∣aᵢⱼ∣

其中aᵢⱼ表示第i行第j列的元素

关于行列式我们做如下说明

(1) 行列式是特定的表达式

主要用于分析矩阵和解线性方程组

(2) n阶行列式

为n的阶乘项

元素乘积的代数和

(3) 每一项都是位于不同行

不同列的n个元素的乘积

这是行列式的主要特点

也是利用定义计算行列式的

主要依据

(4) 所谓行标确定

是指将展开项的行标记为标准次序排列

则列标排列的奇偶性

将确定该展开项的正负号

我们举例进一步说明

例3

确定下列行列式展开项的符号

(1) a₁₃ a₂₁ a₃₂

列标排列 3 1 2 的逆序数为2

是偶排列

故该展开项的符号为正

同理可得

第二个四阶行列式的展开项符号为负

例4

计算n阶上三角行列式

即主对角线下方的元素全为0的行列式

由于行列式第一行的n个元素

可能不为零

所以

在行列式的定义式中

如果我们先取第一行的元素a_(1q₁)

则可能不为零的项共有n种情形

为了简化讨论

不妨先取第n行的元素a_(nqₙ)

再结合上三角行列式的特点

第n行不为零的数只有aₙₙ

即qₙ=n

又因为每一项都不重复的取遍所有的行与列

则第n-1行也只能取qₙ₋₁

等于n-1才可能不为零

依此类推

可取q₂=2 q₁=1

所以

可能不为零的项只有a₁₁ a₂₂…aₙₙ

同时

该展开项的行标

与列标排列都为标准次序

是偶排列

因此

得到的上三角行列式D=a₁₁ a₂₂…aₙₙ

类似地

请同学们完成下列

关于下三角和次对角行列式的练习

事实上

n阶行列式也可定义为

Dₙ等于Σ(-1)的τ次方

乘以a_(p₁q₁) a_(p₂q₂)…a_(pₙqₙ)

即展开项的符号

由行标排列与列标排列的逆序数之和

共同确定

由此可得推论

若列标确定

即将列标排列成标准次序

行列式的展开项的符号

将会由行标排列的奇偶性确定

推论2

行列式展开项中的乘积元素

可以按照行或列标进行重排

并且不改变该项的符号

同学们

你知道为何

重排元素不改变展开项的符号吗

最后

我们做一个小结

本讲我们学习了排列与逆序数

n阶行列式的概念和三角形行列式

好的

今天就讲到这里

希望同学们认真完成思考与练习

谢谢