4.3 相似矩阵与对角化在线视频

同学们好

今天我们来学习特征值问题的第三讲

相似矩阵与对角化

本讲内容包括相似矩阵和矩阵的对角化

首先

我们来介绍相似矩阵

设A B均为n阶方阵

若存在可逆矩阵P使得P⁻¹AP=B

则称矩阵A与B相似

记为A∽B

同时

称P⁻¹AP为对矩阵A进行相似变换

P为相似变换矩阵

从定义可知

两个相似的矩阵一定等价

但两个等价的矩阵却不一定相似

因矩阵等价具有反身性

对称性和传递性

所以

相似矩阵也具有这些性质

除此之外

相似矩阵之间是否还存在更重要的性质呢

定理3

相似矩阵有相同的特征值

假设A∽B

即B=P⁻¹AP

我们可先表示B的特征多项式

结合相似矩阵的定义

构造P⁻¹(λE)P

按左右分别提取公因子

再取行列式

等于A的特征多项式

进一步可得相似矩阵有相同的特征值

下面 我们举例说明

例1

若n阶方阵A与对角阵相似

求A的特征值

我们先求解对角阵的特征方程

得到对角阵的特征值恰好为

其主对角线上的元素λ₁ λ₂ ...λₙ

因为A与对角矩阵相似

故有相同的特征值

因此

则A的特征值也是λ₁ λ₂ ...λₙ

接下来

我们介绍相似矩阵其它的一些性质

假设矩阵A∽B

|A|=|B|

(2) A的k次幂与B的k次幂相似

此处k为正整数

由相似的定义

表示B的k次幂

利用矩阵乘积的结论即可证明

若取k=0时

我们规定任意方阵的0次幂等于单位阵

取k=-1时

我们记为逆矩阵

此时该性质也成立

(3) tr(A)=tr(B)

(4) r(A)=r(B)

(5) 相似矩阵的转置也相似

例如

已知A B为相似的三阶方阵

其中含有x y两个未知数

求x和y

由相似矩阵的迹相同

即对角线元素之和相等

得到关于x y的一个方程2+x=5+y

同时

利用|A|=|B|

得到另一个方程

求解该方程组即得x y的值

类似地

请同学们完成下面关于相似矩阵的练习

现在

我们来学习矩阵的对角化

设A为n阶方阵

若存在可逆矩阵P

使得P⁻¹AP=Λ

即A与对角阵相似

则称A可对角化

同学们

请注意

并不是所有矩阵都可对角化

n阶方阵可对角化的充要条件是

存在n个线性无关的特征向量

证明

假设A可对角化

即存在可逆矩阵P使得P⁻¹AP=Λ

整理得AP=PΛ

我们将P按列分块

等式左端引入分块矩阵的乘积

右端PΛ=(λ₁α₁,λ₂α₂,...,λₙαₙ)

因此

我们得到Aαᵢ=λᵢαᵢ

即αᵢ 为A的属于λᵢ 的特征向量

又因为P可逆

所以α₁ α₂ ...αₙ线性无关

即A有n个线性无关的特征向量

该定理的充分性类似可证

接下来

我们介绍两个关于对角化的结论

定理5

属于不同特征值的特征向量是线性无关的

定理6

若λ为A的k重特征值

则属于λ 的线性无关的特征向量最多有k个

综上所述

我们得到可对角化的判定方法

(1) 若A的特征值全为单根

则A可对角化

(2) 若A的特征值为k重根

且对应线性无关的特征向量个数为k

则A可对角化

下一讲

我们将介绍实对称阵也一定能对角化

例如

判断三阶方阵A是否能对角化

我们先求出A的特征值均等于1

即为三重特征值

再求解对应的基础解系

结果仅有一个线性无关的特征向量

因此A不能对角化

我们简单归纳对角化的步骤

(1) 求出矩阵所有特征值

(2) 求出每一个特征值对应的线性无关的特征向量

(3) 如果每一个特征值的重数都等于其基础解系中向量的个数

则A可对角化

否则不能对角化

同时

若A可对角化

则矩阵P由所有线性无关的特征向量依次排列构成

比如

判断三阶方阵A能否对角化

若能对角化

求可逆矩阵P

使得P⁻¹AP=Λ

我们先求出A的特征值λ₁=λ₂=1

λ₃=-2

其中1为二重特征值

当λ₁=λ₂=1时

代入方程组

求解对应的基础解系为α₁ α₂

同理

当λ₃=-2时

求出对应的基础解系为α₃

因此

三阶方阵A有三个线性无关的特征向量

即A可对角化

再令P=(α₁,α₂,α₃)

可得到对角化的结果

请注意

矩阵P的列向量

与对角阵中特征值的位置相互对应

请同学们完成下面关于矩阵对角化的练习

最后

我们做一个小结

本讲我们学习了相似矩阵的定义和性质

矩阵对角化的判定和方法

好的

今天就讲到这里

希望同学们认真完成思考与练习

谢谢