当前课程知识点：线性代数 > 第一章 行列式 > 第 4 讲 行列式的展开 > 1.4 行列式的展开
同学们好
今天我们来学习
行列式的第四讲
行列式的展开
本讲内容包括
行列式的行(列)展开和利用降阶法计算行列式
首先
我们来介绍行列式的行或列展开
定义7
在n阶行列式中
划去元素aᵢⱼ所在的第i行和第j列
余下的元素组成的n-1阶行列式称为元素aᵢⱼ的余子式
记为Mᵢⱼ
同时
我们记大Aᵢⱼ=(-1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ
称为元素aᵢⱼ的代数余子式
比如
求如下行列式的代数余子式
如果我们划去第一行第二列的元素
所得的余子式M₁₂为二阶行列式
结果等于3
同时
对应的代数余子式A₁₂等于-3
同学们
你能求出其余的代数余子式了吗
比如
A₂₃
引理
如果行列式中第i行的元素除aᵢⱼ外都为0
则行列式等于元素aᵢⱼ与其对应的代数余子式的乘积
即D=aᵢⱼAᵢⱼ
由行列式的定义
容易证明这个结论
同时
引理说明
如果行列式的某行或列仅含有一个非零元
则可以实现行列式的降阶求值
对于更一般的行列式
我们有
定理3
n阶行列式等于它的任意一行或者列的各元素
与其对应的代数余子式的乘积之和
即D=ΣaᵢₖAᵢₖ
这是按行列式的第i行展开式
同理也可将行列式按第j列进行展开
即 D=ΣaₖⱼAₖⱼ
其中i j等于1 2 ... n
下面我们来证明行展开式
将行列式的第i行的元素aᵢₖ分别添加n-1个0
并依次将元素aᵢₖ置于第k个加数的位置
然后
我们利用行列式的性质将第i行依次拆开
得到的第一个行列式第i行的元素除aᵢ₁之外全为0
第二个行列式第i行的元素除aᵢ₂之外全为0
第n个行列式第i行的元素除aᵢₙ之外全为0
由引理可知
它们依次等于第i行各非零元素
与其对应代数余子式的乘积之和
类似地
关于行列式的列展开公式留给同学们自己证明
下面
我们举例说明
行列式的展开方法
例2
计算如下的四阶行列式D
同学们
由于第三行含有零元
并且元素相对简单
我们不妨利用行列式的性质将该行的元素尽量化零
然后
再按照第3行的元素进行展开
可以得到一个三阶行列式
类似地
继续对第3列的元素化0
再按第3列的元素进行展开
降阶可得到二阶行列式
结果等于40
请注意
为了简化运算
在化零的方法中
尽量选择含有0或者1较多的行与列进行展开
同学们
请观察如下四阶行列式的特征
并进行计算
现在
我们举例进一步说明降阶法计算行列式
例3
计算如下的n阶行列式
本行列式主对角线上的元素全为a
并且第一行第n列和第n行第一列的元素为b
其余的元素为零
我们不妨按照第一列展开
可得a乘一个n-1阶的对角行列式
加上(-1)ⁿb乘以另一个n-1阶的行列式
而后者的第一行仅含有一个非零元素b
再按照第一行降阶可得(–b)²乘以一个n-2阶的对角行列式
结果等于aⁿ⁻²(a²-b²)
同学们
本例中第二行仅含有一个非零元
请问
如果我们直接按照第二行进行降阶
是否会简单一些呢
事实上
按照第二行展开可得aD(n-1)
等于a²D(n-2)
依次类推
利用递推公式可以一直降阶到aⁿ⁻²D₂
利用行列式的结构特点建立递推关系
也是一种计算行列式的重要方法
例4
试证明范德蒙德行列式Dₙ
等于所有满足条件i 不难发现 行列式的特征是第j列的元素依次为xⱼ的零次幂 一次幂 逐次增加到(n-1)次幂 下面 我们由数学归纳法进行证明 当n=2时 二阶行列式D₂=x₂-x₁ 结论显然成立 假设当k=n-1时 结论也成立 那么 当k=n时 我们从第n行开始 依次用rᵢ-x₁rᵢ₋₁ 可以逐次将Dₙ中的第一列的元素除第一行之外化为0 再按第一列进行降阶 并分别提出各列的公因子可得 (x₂-x₁) (x₃-x₁) 一直乘到(xₙ-x₁) 再乘以一个n-1阶的行列式 然后 我们再利用k=n-1时的假设 经整理可得到相应的结论 同学们 你记住范德蒙德行列式的特点和结论了吗 事实上 行列式还具有如下推论 行列式中任意一行的元素 与另一行元素对应代数余子式的乘积之和等于零 证明思路是 如果将行列式按第j行进行展开 并将第j行的元素aⱼₖ依次换成第i行对应的元素aᵢₖ 那么右端的行列式中将有i j两行的元素对应相同 所以 行列式的结果等于零 因此 代数余子式具有如下的重要性质 ΣaᵢₖAⱼₖ当i=j时等于行列式D 否则 和式的结果等于零 比如 已知如下的四阶行列式D 求第4行各元素的代数余子式之和 由定理3 如果将代数余子式之和 视为行列式D中第4行元素等于1的展开式 那么 可用1 1 1 1去替换原来行列式D中的第4行的元素 所得到的行列式中有两行元素对应相同 因此 该行列式等于零 类似地 请同学们完成下列关于行列式的练习 最后 我们做一个小结 本讲我们学习了 行列式的行(列)展开定理和降阶法计算行列式 好的 今天就讲到这里 希望同学们认真完成思考与练习 谢谢
-第 1 讲 二三阶行列式
--随堂测试
-第 2 讲 n 阶行列式
--随堂测试
-第 3 讲 行列式的性质
--随堂测试
-第 4 讲 行列式的展开
--随堂测试
-第 5 讲 克莱姆法则
--随堂测试
-第 6 讲 重点习题选讲
--随堂测试
-第 7 讲 递推与数学归纳法
--随堂测试
-第 1 讲 矩阵的概念
--随堂测试
-第 2 讲 矩阵的运算（一）
--随堂测试
-第 3 讲 矩阵的运算（二）
--随堂测试
-第 4 讲 逆矩阵
--2.3 逆矩阵
--随堂测试
-第 5 讲 分块矩阵
--2.4 分块矩阵
--随堂测试
-第 6 讲 矩阵的初等变换（一）
--随堂测试
-第 7 讲 矩阵的初等变换（二）
--随堂测试
-第 8 讲 矩阵的秩
--2.6 矩阵的秩
--随堂测试
-第 9 讲 重点习题选讲
--重点习题选讲
--随堂测试
-第 10 讲 伴随矩阵的性质
--随堂测试
-第 1 讲 消元法示例
--随堂测试
-第 2 讲 线性方程组解的判定
--随堂测试
-第 3 讲 向量组的线性组合
--随堂测试
-第 4 讲 向量组的线性相关性
--随堂测试
-第 5 讲 向量组的秩
--随堂测试
-第 6 讲 齐次线性方程组的通解
--随堂测试
-第 7 讲 非齐次线性方程组的通解
--随堂测试
-第 8 讲 向量空间
--3.8 向量空间
--随堂测试
-第 9 讲 重点习题选讲
--随堂测试
-第 10 讲 线性方程组解的证明
--随堂测试
-第 1 讲 向量的内积
--随堂测试
-第 2 讲 矩阵的特征值与特征向量
--随堂测试
-第 3 讲 相似矩阵与对角化
--随堂测试
-第 4 讲 实对称矩阵的对角化
--随堂测试
-第 5 讲 重点习题选讲
--随堂测试
-第 6 讲 相似对角化的逆问题
--随堂测试
-第 1 讲 二次型及其矩阵
--随堂测试
-第 2 讲 二次型的标准形
--随堂测试
-第 3 讲 正定二次型
--随堂测试
-第 4 讲 重点习题选讲
--随堂测试
-第 5 讲 正定矩阵的应用
--随堂测试
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-期末考试题 A1 卷（在线）
