3.1 消元法示例在线视频

同学们好

从本次课开始

我们将进入《线性代数》 第三章

线性方程组的学习

线性方程组是线性代数的重要内容

矩阵是研究线性方程组的有力工具

事实上

线性方程组的近代处理

是从德国数学家莱布尼兹开始的

到20世纪40年代

哈佛大学教授列昂惕夫

利用线性方程组研究投入产出模型

并因此获得诺贝尔经济学奖

此后

线性方程组理论广泛应用于经济管理

电力系统

交通规划和智能控制等领域

线性方程组的主要内容包含

消元法

方程组的解的判定

向量组的线性组合

线性相关性

向量组的秩

和线性方程组解的结构

本章的重点是

线性方程组解的判定

向量组的线性相关性

向量组的秩

和线性方程组解的结构

今天

我们来学习第一讲

消元法示例

本讲内容包括

消元法简介和消元法示例

首先

我们来看消元法简介

实际问题中可能遇到如下类型的线性方程组

观察发现

方程组的系数行列式等于零

克莱姆法则失效

那这种方程组应该怎么求解呢

实际上

我国的重要数学古籍《九章算术》第八章

方程

就有使用加减消元进行求解的描述

本质上是将线性方程组的

系数矩阵化为下三角矩阵

再进一步化为对角矩阵进行求解

实际问题中我们还可能遇到

这种类型的线性方程组

方程个数不等于未知量个数

不能生成系数行列式

克莱姆法则失效

那又应该怎么求解呢

下面

我们介绍一种

更一般的求解线性方程组的消元法

该方法

是由具有数学王子之称的

德国数学家高斯建立

故也称为高斯消元法

现在我们进一步举例说明消元法

求解三元线性方程组

观察第一个方程的x₁的系数不为零

则用第一个方程消去第二三个方程中的x₁

接下来

交换第二三个方程的位置

并简化公因数-5

类似地

再消去第三个方程中的 x₂

得到阶梯形方程组

同学们

你们发现了吗

整个变换过程中

只有未知量的系数和常值项在变化

因此

我们提取

方程组未知量的系数和常值项

构成矩阵

称该矩阵为方程组的增广矩阵

虚线左边是系数矩阵

右边是常值项

那么

第一次消去第二三个方程中的 x₁

相当于对增广矩阵进行初等行变换

将第一列的元素3 2 化为零

第二次消去新方程组的

第三个方程的 x₂

相当于继续进行初等行变换消元

将矩阵化为一个行阶梯形矩阵

并且它是第三个方程组对应的增广矩阵

阶梯形方程组的第三个方程仅含有 x₃

继续简化第三个方程的系数

得到一个更简单的方程组

接下来

我们将第三个方程回代

可消去第一二个方程中的 x₃

同理

再用第二个方程回代

消去第一个方程中的 x₂

显然

方程组具体的解就得到了

类似地

逐步回代的过程

也相当于对方程组的增广矩阵

依次做相应的初等行变换

不难发现

最后得到的是一个行最简形矩阵

下面

我们就在增广矩阵上实现消元法的变换过程

解如下线性方程组

首先写出方程组的增广矩阵

按照消元法的顺序

进行初等行变换

用第一列的元素1

将第一列的2 3化为零

新得到的矩阵第二列的

第二三个元素都为零

于是看第三列的第二三个元素

用第三列的元素1

将第三列的-3化为0

可得阶梯形矩阵

据此

可以写出原方程组的阶梯形方程组

接下来

继续进行回代

将行阶梯形矩阵

继续进行初等行变换

化为行最简形矩阵

类似地

可以写出相应的最简方程组

不妨选 x₂ 为自由未知量

并取值任意常数 c

代入最简方程组可得解

依次为

2-3c

c

-3

5

另外

结合向量的加法和数乘

可得一般解的向量形式为

现在归纳一下消元法的步骤

先根据方程组写出增广矩阵

再对增广矩阵

进行初等行变换化成行阶梯形矩阵

然后继续进行初等行变换

化成行最简形矩阵

最后写出同解方程组

解出一般解

同学们

线性方程组的消元法过程中

对增广矩阵能进行初等列变换吗

类似地

请同学们完成一个

消元法解线性方程组的练习

最后我们做一个小结

本讲我们主要学习了

消元法简介

和线性方程组的消元法示例

好的

今天就讲到这里

希望同学们认真完成思考与练习

谢谢