1.6 重点习题选讲在线视频

同学们好

今天

我们来学习行列式的第六讲

本章的重点习题选讲

本讲内容包括

行列式的重难点释疑和典型习题选讲

首先

我们来回顾一下本章的重难点

行列式的重点是

行列式的概念

行列式的性质和行(列)展开

难点是行列式的展开和Cramer法则

其中

计算行列式是本章的重要内容

主要方法有

(1)对角线法

该方法仅适用于二阶 三阶行列式

(2)定义法

主要利用零元和每一项乘积元素

取遍所有行与列的特点进行计算

(3)三角化方法

主要利用行列式的性质和三角形行列式的结论进行计算

(4)降阶法

主要利用行列式的性质进行化零和降阶展开

下面

我们分别举例说明行列式的定义

性质和行(列)展开方法

例1 设多项式f(x)为四阶行列式

求其中的常数项

由行列式的定义

每一项都不重复的取遍所有的行与列

常数项就意味着第四列只能取元素2

请注意 该元素也在第三行

同时 第一行只有取元素1才可能不为零

然而

第二行和第四行的元素取法并不唯一

我们只能分开讨论吗

事实上

如果将第二行加到第四行上

可以将原来第四行的元素-2化为0

此时

第四行也就只能取元素2

并且

第二行也只能取元素2

再结合列标排列的奇偶性可以确定常数项为8

同学们

你知道f(0)等于多少吗

例2 计算如下的n阶行列式

我们发现 除最后一行的元素为1外

行列式主对角线上的元素及其后的元素正好相反

如果逐项向后作和可以将其化为零元

因此

利用行列式的性质

将第i列的元素逐次加到第i+1列上

可以得到一个下三角行列式

答案为nb₁b₂ … bₙ₋₁

例3 计算四阶行列式

本行列式第一列和第四列的零元较多

我们不妨选第一列进行降阶展开

可以得到一个三阶行列式

和另一个下三角行列式

对于前者

继续按第一列降阶可得到两个二阶行列式之和

而后者为下三角行列式

结果等于主对角线上的元素乘积

进一步化简可得λ的4次多项式

例4 计算如下的四阶行列式

本行列式的特征是大部分的元素为1

并且前后两行的变量不相同

我们不妨将第二行

第四行的元素乘以-1

分别加到第一行和第三行

可以消去第一 三两行所有的元素1

并且变量x和y并没有跨行出现

同时

我们注意到

第一 二列

第三 四列分别有三个元素对应相同

所以继续将第一列 第三列的元素乘以-1

并分别加到第二列和第四列

得到的行列式第一行仅含有一个x

再按第一行降阶可得一个三阶行列式

继续进行降阶可得x²y²

同学们

例3和例4说明

在行列式中选零元较多的行或者列进行降阶

计算可能会相对简单

类似地

请同学们完成下列关于四阶行列式的练习

现在

我们举例进一步说明

n阶行列式的降阶法和拆项计算

例5 计算n阶行列式Dₙ

本行列式的特征是

第一列的元素依次为a₀ a₁ … aₙ₋₁

除第一行外主对角线上的元素为x

并且 x上方的元素为-1

我们不妨选仅含有两个非零元的第一行展开

得到一个上三角行列式和另外一个n-1阶的行列式

并且后者除第一列的元素缺少a₀之外

仍然具有原来行列式的结构特征

可以记为Dₙ₋₁

因此 我们得到递推关系式Dₙ=a₀xⁿ⁻¹+Dₙ₋₁

以此类推

可得到a₀xⁿ⁻¹+a₁xⁿ⁻²+Dₙ₋₂

同学们

你能根据这个递推关系式写出答案了吗

例6 计算n阶行列式Dₙ

本行列式的特征是

主对角线上的元素为2

其下方的元素为-1

第n列的元素全为2

为了显示该行列式的结构特点

我们先还原第三行的元素

再按第一列展开

可得到两个n-1阶的行列式之和

第一个行列式与原行列式的结构相同

而后者的第一行仅含有一个非零元素2

继续降阶并整理得到Dₙ=2Dₙ₋₁+2

以此类推

我们得到Dₙ=2²Dₙ₋₂+2²+2

并且可以一直降阶到D₂

又因为二阶行列式D₂=6

所以Dₙ=2(2ⁿ-1)

同学们

你还能构造其他的递推公式吗

事实上

我们也可以构造

Dₙ+2=2(Dₙ₋₁+2)=…=2ⁿ⁻²(D₂+2)

例7 计算如下的n阶行列式

本行列式的特征是

主对角线上元素为1+aᵢ

其余的元素为1

为了将大部分的元素1化为0

我们不妨将第一行的元素乘以-1

并依次加到其余各行

可以得到一个箭形行列式

因为它的第一列含有元素a₁

所以

通过构造加法并拆项

可以得到一个上三角行列式

和另一个更为简单的箭形行列式

对于后者

逐次选择主对角线上的元素aᵢ

可以将第一列的元素-1化为0

进一步得到上三角行列式

然后

将两个上三角行列式的结果相加

并整理可得a₁ a₂ ... aₙ[1+∑(1/aᵢ)]

最后

我们做一个小结

本讲我们归纳了行列式的重点

难点和行列式的计算方法

并选讲了部分典型习题

好的

今天就讲到这里

希望同学们认真完成思考与练习

谢谢