2.2 矩阵的运算（二）在线视频

同学们好

今天我们来学习矩阵的第三讲

矩阵的运算(二)

本讲内容包括矩阵的转置

方阵的行列式和线性变换

首先 我们来介绍矩阵的转置

定义8

将矩阵A的行换成同序数的列所得的矩阵

称为A的转置

记作A右上角T

比如矩阵A为行向量

转置后为列向量

矩阵B的第一行元素1 2 2

转置后排在第一列

同理 第二行的元素4 5 8

转置后为第二列

同学们

行列式与其转置相等

那么矩阵与其转置矩阵是否相等呢

不难验证

矩阵转置具有如下性质

(1)矩阵A的转置再转置又等于矩阵A

(2)和(3)是关于矩阵转置的线性性质

请留意性质4

矩阵乘积的转置将交换乘积因子的顺序

并且可以推广到多个乘积因子的情形

下面 我们举例进行验证

例5 已知矩阵A B

求乘积AB的转置

利用矩阵乘法 我们先计算AB

得到两行三列的矩阵

再取转置得到乘积结果为三行两列的矩阵

同时

如果先对矩阵B A分别取转置

然后计算两个转置矩阵的乘积

比较发现

两个乘积结果确实相等

定义9

设A为n阶方阵

若A的转置等于A

我们称A为对称矩阵

例如矩阵A第一行的元素12 6 1

与第一列的元素对应相等

类似地

第二行第三行的元素分别与第二列第三列的元素对应相等

所以A是对称矩阵

关于对称矩阵我们做如下说明

(1) 对称矩阵的元素关于主对角线对应相等

即元素aᵢⱼ=aⱼᵢ

(2) 两个对称矩阵的和仍为对称矩阵

(3) 如果矩阵A的转置等于-A

则称A为反对称矩阵

例6 设A为 n 阶方阵

试证明

A+A的转置为对称矩阵

A-A的转置为反对称矩阵

利用转置的性质

两个矩阵之和的转置等于转置之和

可得A+A的转置为对称矩阵

同理可得 A-A的转置为反对称矩阵

同学们 如果将这两个对称矩阵和反对称矩阵相加

结果又等于多少呢

事实上

例6说明

任意方阵均可以表示为一个对称矩阵

与一个反对称矩阵之和

同时 方阵与行列式之间

又存在哪些区别和联系呢

现在 我们来定义方阵的行列式

由n 阶方阵A的元素所构成的行列式

称为A的行列式记作A加两条竖线

比如 二阶矩阵

它的行列式等于-2

同学们请问

矩阵的数乘5A的行列式

是否等于5倍A的行列式呢

其实 5A的行列式等于-50

显然 两者并不相等

下列性质进一步阐明了矩阵和行列式的联系

(1) 方阵和其转置的行列式相等

这是因为矩阵和行列式定义了相同的转置方法

并且行列式等于其转置

(2) n阶方阵的数乘kA的行列式

等于kⁿ乘以A的行列式

(3) 方阵乘积的行列式等于因子行列式的乘积

即满足交换律

请同学们准确理解并记牢这些基本性质

请同学们完成下列关于方阵行列式的练习

接下来 我们学习线性变换

设变量x₁ x₂ … xₙ与y₁ y₂ … yₙ之间的关系式如下

称为x₁ x₂ … xₙ到y₁ y₂ … yₙ的线性变换

其中由变换系数aᵢⱼ构成的矩阵A称为系数矩阵

则线性变换也可表示为y=Ax

其中x y均为列向量

如果系数矩阵为单位矩阵即A=E

我们称y=Ex为恒等变换

比如

例7 设线性变换y=Ax

其中A和x已知

求向量y 并说明变换的几何意义

由矩阵乘法可知

y是元素为3 1的向量

如果将向量x y分别画在直角坐标平面上

比较发现

线性变换y=Ax是对向量x的缩放与旋转

类似地

请同学们完成下列关于线性变换的练习

最后

我们做一个小结

本讲我们学习了矩阵的转置

方阵的行列式和线性变换的概念

好的

今天就讲到这里

希望同学们完成思考与练习