2.4 分块矩阵在线视频

同学们好

今天我们来学习

矩阵的第五讲分块矩阵

本讲内容包括

矩阵分块方法和分块矩阵的性质

首先

我们介绍常用的矩阵分块方法

为了简化高阶矩阵的表示或运算

通常将矩阵按行分块 列分块

分出零子块或单位子块

比如

将矩阵A按行分块为以A₁ A₂ A₃为子块的分块矩阵

同理

也可将矩阵A按列分块为以列向量α₁α₂α₃α₄

为子块的分块矩阵

类似地

四阶矩阵可以分为四个二阶子块的分块矩阵

在左下角和右上角分别得到单位子块和零子块

下面

我们结合矩阵的运算加以说明

第一 分块矩阵的和

设A B为同型矩阵

并采用相同的分块方法

那么

得到的子块A₁₁ B₁₁也是同型矩阵

可以定义加法运算

同样

其它的子块也对应为同型子块

依然可以定义加法运算

第二 分块矩阵的数乘

相当于将常数λ分别乘到每个子块上

比如

已知三阶矩阵A

求数乘2A

不妨将矩阵按列分块

再将常数2依次乘到分块矩阵的第一列 第二列 第三列

然后

对每一子块再做数乘

整理可以得到相应答案

同学们

你认为矩阵的分块简化了数乘运算吗

第三 分块矩阵的乘法

对满足乘积条件的矩阵A B适当分块

使得分块矩阵也满足矩阵乘积条件

并且左乘矩阵第i行的子块Aᵢ₁ … Aᵢₜ

与右乘矩阵第j列的子块B₁ⱼ … Bₜⱼ

对应乘积的代数和

等于乘积矩阵C的第i行第j列的子块

接下来

我们举例说明分块矩阵对乘法的简化

例2 已知两个四阶矩阵A和B

求乘积AB

先将矩阵A B分块为四个二阶子块

其中A的分块矩阵中包含一个零子块和两个单位子块

B的分块矩阵中包含一个单位子块

利用分块矩阵的乘法计算AB

结果显示

我们只需分别计算两个二阶矩阵A₁B₁₁+B₂₁

和A₁+B₂₂即可

然后

再按分块矩阵乘积中的位置还原相应子块运算的结果

便可得到AB的乘积

同学们

例2显示

零子块和单位子块在一定程度上能够简化高阶矩阵的乘积

现在

我们来学习分块矩阵的性质

(Ⅰ) 分块矩阵的转置

等于将行子块换为同序数的列子块

再对每个子块取转置

此外

方阵列分块后与行列式的计算又有什么联系呢

例3 设A为三阶矩阵

并且行列式等于-4

如果将矩阵A按列分块

计算关于分块列向量的行列式

利用行列式的性质

先对第一列的减号拆开

对第一个行列式先提出第二列的公因子3

再交换其第一列和第三列

第二个行列式中含有两个相同的列向量

结果等于零

经整理可得行列式等于12

(ⅠⅠ) 如果A的分块矩阵仅在主对角线上有非零子块

我们称A为分块对角矩阵

并且A的行列式等于对应子块行列式的乘积

例4 设A B C O为四个矩阵

其中A B可逆

试证明

分块矩阵H可逆

并求其逆矩阵

因为H是分块上三角矩阵

其行列式类似于上三角行列式

等于子块A B行列式的乘积

又因为A B可逆

即对应的行列式不等于零

所以H可逆

我们假设H的逆矩阵子块依次为X Z W Y

则由逆矩阵的定义和分块矩阵的乘法

并结合矩阵的相等

依次可得AX+CW=E等四个矩阵方程

从第四个方程BY=E可知Y为B的逆矩阵

再由BW=O和B的逆矩阵存在

可得W=O

然后

将Y和W依次代入前面两个方程

可以得到子块X和Z

我们将子块X Y Z W放回假设待定的位置

即可得到H的逆矩阵仍为分块上三角矩阵

特别地

当子块C=O时

H转化为分块对角矩阵

其逆矩阵等于主对角线上依次为A的逆

B的逆的分块对角矩阵

同时

该结论可以进一步推广到更一般的分块对角矩阵

同学们

你学会了求解对角矩阵的逆矩阵了吗

类似地

请同学们完成下列关于分块矩阵性质的练习

最后

我们做一个小结

本讲我们学习了常用的矩阵分块方法

即按行 列分块

分出零子块或单位子块

以及分块矩阵的相关性质

好的

今天就讲到这里

希望同学们认真完成思考与练习

谢谢