当前课程知识点：线性代数 > 第三章 线性方程组 > 第 10 讲 线性方程组解的证明 > 附3：线性方程组解的证明
同学们好
线性方程组解的性质和结构
一直是研究生入学考试的主要内容
关于线性方程组解的证明
又是其中的难点
今天
我们将重点学习
关于基础解系和线性方程组解的
线性相关性证明
首先
我们来介绍关于基础解系的证明
设向量组η₁ η₂ ...ηₛ
为n元线性方程组的基础解系
则需要满足如下三个条件
(1) 每个向量都是方程组的解
(2) 向量组线性无关
(3) 方程组的任一解
都可由该向量组线性表示
或者向量组中解向量的个数等于
未知量的个数
n-r(A)
显然
条件三提供了两种证明基础解系的方法
下面我们举例进行说明
例1 已知
η₁ η₂ η₃
是齐次线性方程组的基础解系
试证明
任意两者之和
也是该方程组的一个基础解系
证明
由齐次线性方程组解的性质
不难验证
η₁+η₂ η₂+η₃ η₃+η₁是齐次方程组的解
(2) 设k₁ k₂ k₃使得
三个和式的线性组合等于零
整理可得
(k₁+k₃)η₁
加上( k₁+k₂)η₂
再加(k₂+k₃)η₃=0
因为η₁ η₂ η₃是基础解系
所以线性无关
我们利用线性组合的系数全为零
可得如下的齐次线性方程组
不难验证
其系数行列式不等于0
所以方程组仅有零解
因此
η₁+η₂
η₂+η₃
η₃+η₁线性无关
(3) 由已知
基础解系含有3个解向量
而η₁+η₂
η₂+η₃
η₃+η₁也为3个线性无关的解向量
因此
也是Ax=0的基础解系
例2
设n元齐次线性方程组
对应系数矩阵A的行列式等于0
如果某个代数余子式Aᵢⱼ≠0
试证明
代数余子式所在的列向量为方程组的基础解系
证明 (1)
因为∣A∣=0
所以
AA的伴随矩阵
等于零矩阵
我们将伴随矩阵按列分块为
α₁ α₂ … αₙ
并代入等式得到
Aα₁ Aα₂ … Aαₙ
等于零矩阵的列分块矩阵
再由Aᵢⱼ≠0可知
αᵢ 是方程组Ax=0的一个非零解
(2) 因为∣A∣=0
且Aᵢⱼ≠0
即A中存在一个n-1阶的子式不等于零
并且n阶子式等于零
所以
A的秩等于n-1
从而
方程组的基础解系中仅含有一个解向量
因此
任意一个非零解都是Ax=0的基础解系
同学们
例2同时证明了
当矩阵A的秩为n-1时
对应伴随矩阵的秩为1
那么
你还能记得其余两种情形
关于伴随矩阵秩的结论吗
现在
我们来证明线性方程组解的相关性
我们知道
一个向量能否由另一个向量组
线性表示的问题
可以转化为
非齐次线性方程组
是否有解的问题来讨论
下面
我们证明本章的定理6
如果向量组
α₁ α₂ …αₘ线性无关
添加向量β后线性相关
则向量β可由
α₁ α₂ …αₘ线性表示
并且表示唯一
证明
因为添加向量β后的向量组线性相关性
即存在不全为零的系数
使得Σkᵢαᵢ+kβ=0
如果k=0
则存在不全为零的kᵢ
使得Σkᵢαᵢ=0
这与已知矛盾
所以
k≠0
则β可由
α₁ α₂ …αₘ线性表示
同时
我们假设
还存在另一组系数为lᵢ的线性表示
将两者相减可得线性组合等于零
再结合α₁ α₂ …αₘ线性无关
可得两者的表示系数对应相等
即线性表示唯一
同学们
其实这个定理相当于线性方程组
Ax=β
存在唯一解的情形
接下来
我们进一步说明解向量的线性相关性
例3
设α是非齐次线性方程组的一个解
η₁ η₂ ...ηₛ为其导出组的基础解系
试证明α
α+η₁
α+η₂ … α+ηₛ
为Ax=b解向量的极大无关组
证明
设k k₁ k₂ … kₛ关于向量组的线性组合等于零
整理可得关于α和ηᵢ 的和式等于零
在等式两端左乘矩阵A
并结合Aηᵢ =0可得
第二个和式等于零
因为Aα≠0
所以k与所有kᵢ之和等于0
再代入上面的和式可得
k₁η₁+k₂η₂+…+kₛηₛ=0
又因为η₁ η₂ ...ηₛ为基础解系
所以线性无关
故所有kᵢ恒为零
进一步可得k=0
因此
α α+η₁ … α+ηₛ线性无关
同时
Ax=b的通解
都可以表示为α
α+η₁ … α+ηₛ的线性组合
故结论成立
例4
已知三阶方阵和列向量η₁
求解满足方程的解向量η₂ 和η₃
(2) 证明η₁ η₂ η₃ 线性无关
(1) 我们对增广矩阵进行初等行变换
化为行阶梯形矩阵
可以得到Ax=η₁ 的通解η₂
类似地
可以求出A²x=η₁ 的通解η₃
下面
我们证明η₁ η₂ η₃ 线性无关
因为向量η₁ η₂ η₃ 的维数也等于3
若按列构成行列式
并将第二行加到第一行
降阶展开得到结果不等于零
因此
线性无关
最后
我们做一个小结
本讲我们学习了
关于基础解系和线性方程组解的线性相关性证明
好的
今天就讲到这里
希望同学们认真完成思考与练习
谢谢
-第 1 讲 二三阶行列式
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-第 2 讲 n 阶行列式
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-第 3 讲 行列式的性质
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-第 4 讲 行列式的展开
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-第 5 讲 克莱姆法则
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-第 6 讲 重点习题选讲
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-第 7 讲 递推与数学归纳法
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-第 1 讲 矩阵的概念
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-第 2 讲 矩阵的运算（一）
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-第 3 讲 矩阵的运算（二）
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-第 4 讲 逆矩阵
--2.3 逆矩阵
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-第 5 讲 分块矩阵
--2.4 分块矩阵
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-第 6 讲 矩阵的初等变换（一）
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-第 7 讲 矩阵的初等变换（二）
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-第 8 讲 矩阵的秩
--2.6 矩阵的秩
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-第 9 讲 重点习题选讲
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-第 10 讲 伴随矩阵的性质
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-第 1 讲 消元法示例
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-第 2 讲 线性方程组解的判定
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-第 3 讲 向量组的线性组合
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-第 5 讲 向量组的秩
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-第 8 讲 向量空间
--3.8 向量空间
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-第 1 讲 向量的内积
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