2.6 矩阵的秩在线视频

同学们好

今天我们来学习

矩阵的第八讲

矩阵的秩

本讲内容包括

矩阵秩的概念和秩的性质

同学们知道

矩阵经过有限次初等变换可以得到一系列不同的等价矩阵

那么

这些不同的等价矩阵之间是否存在某种不变的特征呢

要回答这个问题

首先

我们来介绍矩阵秩的概念

定义16

在矩阵A中任选k行k列

将位于这些行和列交叉处的k²个元素

依次按照原来的次序生成的行列式

称为矩阵A的k阶子式

记为Dₖ

显然

一个m行n列的矩阵

它的k阶子式总数为Cₘ(k)乘Cₙ(k)

定义17

设矩阵A中存在一个r阶子式不等于零

如果还存在r+1阶子式

并且所有的r+1阶子式全为零

我们称Dᵣ为矩阵A的最高阶非零子式

并称r为矩阵A的秩

记为r(A)

请注意

零矩阵中不存在非零子式

所以零矩阵的秩等于零

任意矩阵的秩都大于等于零

并且小于等于行数和列数的最小值

下面 我们举例进行说明

例1

求矩阵B的秩

不难发现

B是4×5的行梯形矩阵

并且第四行为零行

故所有的四阶子式全为零

所以

我们选前面三行

并在每个阶梯上选一列

即第一 二 四列交叉处元素得到的三阶子式为上三角行列式

显然不等于零

因此

矩阵B的秩等于3

同学们请问

若矩阵的r阶子式全为零

能否推导出r+1阶子式也为零呢

例2

试证明n阶矩阵可逆的充分必要条件是秩等于n

我们先证充分性

若矩阵A的秩为n

则存在A的n阶子式

即A的行列式不等于零

所以A为非奇异矩阵

故A可逆

再证必要性

若矩阵A可逆

则行列式不等于零

即A中存在n阶非零子式

因此

矩阵A的秩等于n

关于矩阵的秩

我们做如下说明

对m×n的矩阵A

如果秩等于行数m

则称A为行满秩矩阵

如果秩等于列数n

则称A为列满秩矩阵

请同学们完成下列关于矩阵秩的练习

并判定该矩阵是否可逆

现在 我们来学习

矩阵秩的相关性质

定理5

初等变换不改变矩阵的秩

即如果矩阵A与B等价

则r(A)=r(B)

简而言之

等价矩阵等秩

矩阵的秩具有如下性质

(1) 矩阵A与其转置矩阵的秩相等

(2) 矩阵A+B的秩小于等于A与B的秩之和

(3) 乘积AB的秩小于等于A与B的秩的最小值

(4) 分块矩阵A B的秩介于

子块A B秩的最大值与A B秩的和之间

接下来

我们举例进一步说明矩阵秩的求法

例3

已知矩阵A

求A的秩及一个最高阶非零子式

由定理5

初等变换不改变矩阵的秩

并且在行阶梯形矩阵中比较容易求得最高阶非零子式

因此

我们不妨对矩阵A作初等行变换

将其化为行阶梯形矩阵

我们先交换矩阵的第一行和第四行

并发现第一列有两个元素3

可用第四行元素的-1倍将第二行的3化为0

然后

再用初等行变换分别将第三 四行第一列的元素化为零

类似地

用第二行各元素的-3倍 -4倍

分别将第三行和第四行的元素-12和-16化为0

并得到一个包含零行的行阶梯形矩阵

与例1相似

行阶梯形矩阵中含有三个非零行

不难验证r(A)=3

那么

如何求解矩阵A的一个最高阶非零子式呢

事实上

由于矩阵A与行阶梯形矩阵等价

而行阶梯形矩阵显示

选取第一 二 四列容易得到不为零的上三角行列式

因此

我们在矩阵A中取前面三行

取第一 二 四列交叉处的元素生成三阶子式D₃

经验证

不等于零

即为A的一个最高阶非零子式

同学们

定理5和例3说明

矩阵的秩等于行阶梯形或行最简形矩阵中的非零行数

并且矩阵的最高阶非零子式可能并不唯一

类似地

请同学们完成下列关于矩阵秩的练习

最后

我们做一个小结

本讲我们学习了

矩阵秩的概念

秩的性质和求矩阵秩的初等变换法

好的

今天就讲到这里

希望同学们认真完成思考与练习

谢谢